2024屆江蘇省明德實(shí)驗(yàn)學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆江蘇省明德實(shí)驗(yàn)學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則=（）A.26 B.19C.11 D.92．如圖，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.3．下列語(yǔ)句中是命題的是A.周期函數(shù)的和是周期函數(shù)嗎？ B.C. D.梯形是不是平面圖形呢？4．已知向量與向量垂直，則實(shí)數(shù)x的值為（）A.﹣1 B.1C.﹣6 D.65．傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒和石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類(lèi)，若：三角形數(shù)、、、、，正方形數(shù)、、、、等等.如圖所示為正五邊形數(shù)，將五邊形數(shù)按從小到大的順序排列成數(shù)列，則此數(shù)列的第4項(xiàng)為（）A. B.C. D.6．已知空間向量，，若，則實(shí)數(shù)的值是（）A. B.0C.1 D.27．過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作直線(xiàn)l，交拋物線(xiàn)與A、B兩點(diǎn)，若線(xiàn)段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，則等于（）A.10 B.8C.6 D.48．青花瓷是中華陶瓷燒制工藝的珍品，也是中國(guó)瓷器的主流品種之一．如圖，是一青花瓷花瓶，其外形上下對(duì)稱(chēng)，可看成是雙曲線(xiàn)的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面．若該花瓶的瓶口直徑為瓶身最小直徑的2倍，花瓶恰好能放入與其等高的正方體包裝箱內(nèi)，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.9．如果在一實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得的四組數(shù)值分別是，則y與x之間的回歸直線(xiàn)方程是（）A. B.C. D.10．已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為A.2 B.3C.4 D.511．如果，那么下面一定成立的是（）A. B.C. D.12．已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)垂直，則直線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S＝__.14．若球的大圓的面積為，則該球的表面積為_(kāi)__________.15．1202年意大利數(shù)學(xué)家列昂那多－斐波那契以兔子繁殖為例，引人“兔子數(shù)列”，又稱(chēng)斐波那契數(shù)列.即該數(shù)列中的數(shù)字被人們稱(chēng)為神奇數(shù)，在現(xiàn)代物理，化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列各項(xiàng)被3除后的余數(shù)構(gòu)成一新數(shù)列，則數(shù)列的前2022項(xiàng)的和為_(kāi)_______.16．已知點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為該橢圓的左、右焦點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.18．（12分）已知橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)相同，且D的離心率為.（1）求C與D的方程；（2）若，直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)，且直線(xiàn)PA，PB的斜率都存在.①求m的取值范圍.②試問(wèn)這直線(xiàn)PA，PB的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）有時(shí)候一些東西吃起來(lái)口味越好，對(duì)我們的身體越有害.下表給出了不同品牌的一些食品所含熱量的百分比記為和一些美食家以百分制給出的對(duì)此種食品口味的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)記為：食品品牌12345678910所含熱量的百分比25342019262019241914百分制口味評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)88898078757165626052參考數(shù)據(jù)：，，，參考公式：，（1）已知這些品牌食品的所含熱量的百分比與美食家以百分制給出的對(duì)此種食品口味的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)具有相關(guān)關(guān)系.試求出回歸方程（最后結(jié)果精確到）；（2）某人只能接受食品所含熱量百分比為及以下的食品.現(xiàn)在他想從這些食品中隨機(jī)選取兩種購(gòu)買(mǎi)，求他所選取的兩種食品至少有一種是美食家以百分制給出的對(duì)此種食品口味的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)為分以上的概率.20．（12分）求下列不等式的解集：（1）；（2）.21．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，分別是上的點(diǎn)且（1）求證：；（2）求平面與平面的夾角的余弦值22．（10分）已知橢圓（）的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為原點(diǎn)，直線(xiàn)（）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.證明：是等腰直角三角形.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】先求得，然后求得.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以.故選：D2、A【解析】利用空間向量的三角形法則可得，結(jié)合平行六面體的性質(zhì)分析解答【詳解】平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，，，，則有：，所以.故選：A3、B【解析】命題是能判斷真假的語(yǔ)句，疑問(wèn)句不是命題，易知為命題，故選B4、B【解析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算公式代入可得的值【詳解】解：向量，與向量垂直，則，由數(shù)量積的坐標(biāo)公式可得：，解得，故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及數(shù)量積的坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題5、D【解析】根據(jù)前三個(gè)五邊形數(shù)可推斷出第四個(gè)五邊形數(shù).【詳解】第一個(gè)五邊形數(shù)為，第二個(gè)五邊形數(shù)為，第三個(gè)五邊形數(shù)為，故第四個(gè)五邊形數(shù)為.故選：D.6、C【解析】根據(jù)空間向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因此?故選：C7、B【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求解【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，設(shè)，則，所以，故選：B8、C【解析】由題意作出軸截面，最短直徑為2a，根據(jù)已知條件點(diǎn)（2a，2a）在雙曲線(xiàn)上，代入雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系可求得離心率e的值【詳解】由題意作出軸截面如圖：M點(diǎn)是雙曲線(xiàn)與截面正方形的交點(diǎn)之一，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為：最短瓶口直徑為A1A2＝2a，則由已知可得M是雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，且M（2a，2a）故，整理得4a2＝3b2＝3（c2﹣a2），化簡(jiǎn)后得，解得故選：C9、B【解析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)求樣本中心點(diǎn)，由樣本中心點(diǎn)在回歸直線(xiàn)上，將其代入各選項(xiàng)的回歸方程驗(yàn)證即可.【詳解】由題設(shè)，，因?yàn)榛貧w直線(xiàn)方程過(guò)樣本點(diǎn)中心，A：，排除；B：，滿(mǎn)足；C：，排除；D：，排除.故選：B10、D【解析】拋物線(xiàn)焦點(diǎn)在軸上，開(kāi)口向上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，所以點(diǎn)A到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，所以點(diǎn)A與拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為5.考點(diǎn)：本小題主要考查應(yīng)用拋物線(xiàn)定義和拋物線(xiàn)上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評(píng)：拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，這條性質(zhì)在解題時(shí)經(jīng)常用到，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.11、C【解析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，以及特例法和作差比較法，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，，所以不正確；對(duì)于B中，因?yàn)?，根?jù)不等式的性質(zhì)，可得，對(duì)于C中，由，可得可得，所以，所以正確；對(duì)于D中，由，可得，則，所以，所以不正確.故選：C.12、A【解析】求出直線(xiàn)斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線(xiàn)的方程.【詳解】直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的斜率為，故直線(xiàn)的方程為，即.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，即可求解得答案【詳解】解：S＝S+＝S+，第一次循環(huán)，S＝1+1﹣，k＝2；第二次循環(huán)，S=1+1﹣，k＝3；第三次循環(huán)，S＝1+1，k＝4；第四次循環(huán)，S＝1，k＝5；第五次循環(huán)，S＝1+1，k＝6，循環(huán)停止，輸出；故答案為：.14、【解析】設(shè)球的半徑為，則球的大圓的半徑為，根據(jù)圓的面積公式列方程求出，再由球的表面積公式即可求解.【詳解】設(shè)球的半徑為，則球的大圓的半徑為，所以球的大圓的面積為，可得，所以該球的表面積為.故答案為：.15、【解析】由數(shù)列各項(xiàng)除以3的余數(shù)，可得為，知是周期為8的數(shù)列，即可求出數(shù)列的前2022項(xiàng)的和.【詳解】由數(shù)列各項(xiàng)除以3的余數(shù)，可得為，是周期為8的數(shù)列，一個(gè)周期中八項(xiàng)和為，又，數(shù)列的前2022項(xiàng)的和.故答案為：.16、【解析】利用正弦定理表示出，再求t，再利用求的最大值即可.【詳解】在中，由正弦定理得，所以，，即求的最大值，也就是求t的最小值，而，即最大時(shí)，由橢圓的性質(zhì)知當(dāng)P為橢圓上頂點(diǎn)時(shí)最大，此時(shí)，，所以，所以的最大值是1，，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題，考查正弦定理的應(yīng)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)；（2），a的取值范圍為.【解析】（1）先連結(jié)，由為等邊三角形，得到，，；再由橢圓定義，即可求出結(jié)果；（2）先由題意得到，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)存在，當(dāng)且僅當(dāng)，，，根據(jù)三個(gè)式子聯(lián)立，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）連結(jié)，由等邊三角形可知：在中，，，，于是，故橢圓C的離心率為；（2）由題意可知，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)存在，當(dāng)且僅當(dāng)，，，即①②③由②③以及得，又由①知，故；由②③得，所以，從而，故；當(dāng)，時(shí)，存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn).故，a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查求橢圓的離心率，以及橢圓中存在定點(diǎn)滿(mǎn)足題中條件的問(wèn)題，熟記橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可求解，考查計(jì)算能力，屬于中檔試題.18、（1）C：；D：；（2）①且；②見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)D的離心率為，求出從而求出雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，再由橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)相同，即可求出，即可求出C與D的方程；（2）①根據(jù)題意容易得出，然后聯(lián)立方程，消元，利用即可求出m的取值范圍；②設(shè)，由①得：，計(jì)算出，判斷其是否為定值即可.【詳解】解：（1）因?yàn)镈的離心率為，即，解得：，所以D的方程為：；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又因橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)相同，所以，所以，所以C的方程為：；（2）①如圖：因?yàn)橹本€(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)，且直線(xiàn)PA，PB的斜率都存在，所以，聯(lián)立，消化簡(jiǎn)得：，所以，解得，所以且；②設(shè)，由①得：，，所以，故直線(xiàn)PA，PB的斜率之積不是是定值.【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓與雙曲線(xiàn)的方程、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中跟定直有關(guān)的問(wèn)題，難度較大.19、（1）（2）【解析】（1）首先求出、、，即可求出，從而求出回歸直線(xiàn)方程；（2）由表可知某人只能接受的食品共有種，評(píng)價(jià)為分以上的有種可記為，，另外種記為，，，，用列舉法列出所有的可能結(jié)果，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)所求的回歸方程為，由，，，，所求的回歸方程為：.【小問(wèn)2詳解】解：由表可知某人只能接受的食品共有種，其中美食家以百分制給出的對(duì)此種食品口味的評(píng)價(jià)為分以上的有種可記為，，另外種記為，，，.任選兩種分別為：，，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)基本事件.記“所選取的兩種食品至少有一種是美食家以百分制給出的對(duì)此食品口味的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)為分以上”為事件，則事件包含，，，，，，，，共個(gè)基本事件，故事件發(fā)生的概率為.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求得不等式的解集.（2）根據(jù)分式不等式的解法求得不等式的解集.【小問(wèn)1詳解】不等式等價(jià)于，解得.∴不等式的解集為.【小問(wèn)2詳解】不等式等價(jià)于，解得或.∴不等式的解集為.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系后得到相關(guān)向量，再運(yùn)用數(shù)量積證明；（2）求出相關(guān)平面的法向量，再運(yùn)用夾角公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，，，，，∴，故.【小問(wèn)2詳解】，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，令，則，取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為