2024屆湖南省校級聯(lián)考數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題含解析

2024屆湖南省校級聯(lián)考數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知定義在上的函數(shù)滿足下列三個條件：①當(dāng)時，；②的圖象關(guān)于軸對稱；③，都有.則、、的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.2．某大學(xué)數(shù)學(xué)系共有本科生1500人，其中一、二、三、四年級的人數(shù)比為，要用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個容量為300的樣本，則應(yīng)抽取的三年級學(xué)生的人數(shù)為（）A.20 B.40C.60 D.803．若拋物線y2=4x上一點P到x軸的距離為2，則點P到拋物線的焦點F的距離為（）A.4 B.5C.6 D.74．拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C. D.5．頂點在原點，關(guān)于軸對稱，并且經(jīng)過點的拋物線方程為（）A. B.C. D.6．設(shè)m，n是兩條不同直線，，是兩個不同平面，則下列說法錯誤的是（）A.若，，則； B.若，，則；C.若，，則； D.若，，則7．橢圓的（）A.焦點在x軸上，長軸長為2 B.焦點在y軸上，長軸長為2C.焦點在x軸上，長軸長為 D.焦點在y軸上，長軸長為8．從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，兩數(shù)和為偶數(shù)的概率為（）A. B.C. D.9．已知雙曲線的焦點在y軸上，且實半軸長為4，虛半軸長為5，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝110．已知向量，，且，則實數(shù)等于（）A1 B.2C. D.11．已知直線與圓相切，則的值是（）A. B.C. D.12．?dāng)?shù)列的一個通項公式為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若，則實數(shù)m的值是___________.14．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上面一層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……．設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，其中，，，則______15．在空間直角坐標(biāo)系中，點到x軸的距離為___________.16．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是________；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項和分別是，滿足，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列對任意都有恒成立，求.18．（12分）已知函數(shù).（1）若與在處有相同的切線，求實數(shù)的取值；（2）若時，方程在上有兩個不同的根，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知圓C經(jīng)過點，，且它的圓心C在直線上.（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的兩條切線，切點分別為M，N，求三角形PMN的面積.20．（12分）已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，m為實數(shù)（1）當(dāng)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)時，求m的值；（2）當(dāng)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限時，求m的取值范圍21．（12分）三棱錐中，，，，直線與平面所成的角為，點在線段上.（1）求證：；（2）若點在上，滿足，點滿足，求實數(shù)使得二面角的余弦值為.22．（10分）已知橢圓的右焦點為，短軸長為4，設(shè)，的左右有兩個焦點求橢圓C的方程；若P是該橢圓上的一個動點，求的取值范圍；是否存在過點的直線l與橢圓交于不同的兩點C，D，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明兩點

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】推導(dǎo)出函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合已知條件可得出，，，利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)在上為減函數(shù)，由此可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則，故，，又因為，都有，所以，，所以，，，，因為當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，且不恒為零，故函數(shù)在上為減函數(shù)，因為，則，故.故選：A.2、C【解析】根據(jù)給定條件利用分層抽樣的抽樣比直接計算作答.【詳解】依題意，三年級學(xué)生的總?cè)藬?shù)為，從1500人中用分層隨機(jī)抽樣抽取容量為300的樣本的抽樣比為，所以應(yīng)抽取的三年級學(xué)生的人數(shù)為.故選：C3、A【解析】根據(jù)拋物線y2=4x上一點P到x軸的距離為2，得到點P(3，±2)，然后利用拋物線的定義求解.【詳解】由題意，知拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1，∵拋物線y2=4x上一點P到x軸的距離為2，則P(3，±2)，∴點P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3+1=4，∴點P到拋物線的焦點F的距離為4.故選：A.4、C【解析】根據(jù)拋物線方程求出焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，即可得解；【詳解】解：因為拋物線方程為，所以焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為，所以焦點到準(zhǔn)線的距離為；故選：C5、C【解析】根據(jù)題意，設(shè)拋物線的方程為，進(jìn)而待定系數(shù)求解即可.【詳解】解：由題，設(shè)拋物線的方程為，因為在拋物線上，所以，解得，即所求拋物線方程為故選：C6、C【解析】直接由直線平面的定理得到選項正確；對于選項，m，n可能平行、相交或異面，所以該選項錯誤；對于選項，與內(nèi)一直線l，所以，因為l為內(nèi)一直線，所以．所以該選項正確.【詳解】對于選項，若，，則，所以該選項正確；對于選項，若，，則，所以該選項正確；對于選項，若，，則m，n可能平行、相交或異面，所以該選項錯誤；對于選項，若，，則與內(nèi)一直線l，所以，因為l為內(nèi)一直線，所以．所以該選項正確.故選：C【點睛】本題主要考查空間直線平面位置關(guān)系判斷，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.7、B【解析】把橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷焦點位置和求出長軸長.【詳解】橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，且，所以橢圓焦點在軸上，，長軸長為.故選：B.8、B【解析】利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】從中任取個不同的數(shù)的方法有，共種，其中和為偶數(shù)的有共種，所以所求的概率為.故選：B【點睛】本小題主要考查古典概型概率計算，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】雙曲線的焦點在y軸上，且實半軸長為4，虛半軸長為5，可得a＝4，b＝5，所以雙曲線方程為：＝1.故選：D.10、C【解析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計算即可得解【詳解】因向量，，且，則，解得，所以實數(shù)等于.故選：C11、D【解析】直線與圓相切，直接通過求解即可.【詳解】因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，所以，.故選：D12、A【解析】根據(jù)規(guī)律，總結(jié)通項公式，即可得答案.【詳解】根據(jù)規(guī)律可知數(shù)列的前三項為，所以該數(shù)列一個通項公式為故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】結(jié)合已知條件和空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：.14、15【解析】由分析可知每次小球數(shù)量剛好是等差數(shù)列的求和，最后直接公式即可算出答案.【詳解】由題意可知,，所以，故答案為：1515、【解析】由空間直角坐標(biāo)系中點到軸的距離為計算可得【詳解】解：空間直角坐標(biāo)系中，點到軸的距離為故答案為：16、【解析】函數(shù)，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減∴在區(qū)間上恒成立即，解得:，當(dāng)時，經(jīng)檢驗適合題意故答案為【點睛】f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)≠0.應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)已知遞推關(guān)系式再寫一式，然后兩式相減，由等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義即可求解；（2）根據(jù)已知遞推關(guān)系式再寫一式，然后兩式相減，求出，最后利用錯位相減法即可得答案.【小問1詳解】解：因為，，所以，，得，所以是以2為首項2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項2為公差的等差數(shù)列，所以，，所以；因為，所以，又由得，所以是以2為首項2為公比的等比數(shù)列，所以.【小問2詳解】解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，得，即，記，則,,則.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)在處的切線方程，再由有相同的切線這一條件即可求解；（2）先分離，再研究函數(shù)的單調(diào)性，最后運用數(shù)形結(jié)合的思想求解即可.【小問1詳解】設(shè)公切線與的圖像切于點，f'(x)=1+lnx?f由題意得：；【小問2詳解】當(dāng)時，，①，①式可化為為，令令，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，當(dāng)時，由題意知：19、（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)知，設(shè)圓心，應(yīng)用兩點距離公式列方程求參數(shù)a，進(jìn)而確定圓心坐標(biāo)、半徑，寫出圓C的方程；（2）利用兩點距離公式、切線的性質(zhì)可得、，再應(yīng)用三角形面積公式求三角形PMN的面積.【小問1詳解】由已知，可設(shè)圓心，且，從而有，解得.所以圓心，半徑.所以，圓C的方程為.【小問2詳解】連接PC，CM，CN，MN，由（1）知：圓心，半徑.所以.又PM，PN是圓C的切線，所以，，則，，所以，所以.20、（1）4（2）【解析】（1）根據(jù)純虛數(shù)，實部為零，虛部不為零列式即可；（2）根據(jù)第三象限，實部小于零，虛部小于零，列式即可.【小問1詳解】因為為純虛數(shù),所以解得或，且且綜上可得,當(dāng)為純虛數(shù)時;【小問2詳解】因為在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限,解得或，且即,故的取值范圍為.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）設(shè)，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可得出關(guān)于實數(shù)的等式，即可解得實數(shù)的值.【小問1詳解】證明：因為，，則且，，平面，所以為直線與平面所成的線面角，即，，故，，，平面，平面，因此，.【小問2詳解】解：設(shè)，由（1）可知且，，因為平面，，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，則，由已知可得，解得.當(dāng)點為線段的中點時，二面角的平面角為銳角，合乎題意.綜上所述，.22、（1）（2）（3）滿足條件的直線不存在，詳見解析【解析】根據(jù)條件直接求出,進(jìn)而求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;設(shè),表示出,求出其范圍;設(shè)CD的中點為;由,則;得到其斜