2024屆廣西柳州鐵路第一中學高二上數學期末綜合測試試題含解析

2024屆廣西柳州鐵路第一中學高二上數學期末綜合測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖①所示，將一邊長為1的正方形沿對角線折起，形成三棱錐，其主視圖與俯視圖如圖②所示，則左視圖的面積為（）A. B.C. D.2．已知F為橢圓的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且垂直于x軸．若直線AB的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.3．已知實數，滿足，則的最小值是（）A. B.C. D.4．不等式表示的平面區(qū)域是一個（）A.三角形 B.直角三角形C.矩形 D.梯形5．若雙曲線的一條漸近線方程為.則（）A. B.C.2 D.46．從全體三位正整數中任取一數，則此數以2為底的對數也是正整數的概率為（）A. B.C. D.以上全不對7．設橢圓C：的左、右焦點分別為、，P是C上的點，⊥，∠=，則C的離心率為A. B.C. D.8．直線的傾斜角為（）A. B.C. D.9．設雙曲線的離心率為，則下列命題中是真命題的為（）A.越大，雙曲線開口越小 B.越小，雙曲線開口越大C.越大，雙曲線開口越大 D.越小，雙曲線開口越大10．為了更好地研究雙曲線，某校高二年級的一位數學老師制作了一個如圖所示的雙曲線模型.已知該模型左、右兩側的兩段曲線（曲線與曲線）為某雙曲線（離心率為2）的一部分，曲線與曲線中間最窄處間的距離為，點與點，點與點均關于該雙曲線的對稱中心對稱，且，則（）A. B.C. D.11．已知向量，，且與互相垂直，則（）A. B.C. D.12．一組“城市平安建設”的滿意度測評結果，，…，的平均數為116分，則，，…，，116的（）A.平均數變小 B.平均數不變C.標準差不變 D.標準差變大二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．射擊隊某選手命中環(huán)數的概率如下表所示：命中環(huán)數10987概率0.320.280.180.120.1該選手射擊兩次，兩次命中環(huán)數相互獨立，則他至少命中一次9環(huán)或10環(huán)的概率為_________________.(結果用小數表示)14．將4名志愿者分配到3個不同的北京冬奧場館參加接待工作，每個場館至少分配一名志愿者的方案種數為________．（用數字作答）15．如圖，在正方體中，、分別是、的中點，則異面直線與所成角的大小是____________．16．函數在區(qū)間上的最小值為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓經過點，橢圓E的一個焦點為（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l過點且與橢圓E交于A，B兩點.求的最大值18．（12分）在所有棱長均為2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°，求證:（1）AB1⊥BC；（2）A1C⊥平面AB1C1.19．（12分）已知命題p：實數x滿足（其中）；命題q：實數x滿足（1）若，為真命題，求實數x的取值范圍；（2）若p是q的充分條件，求實數的取值范圍20．（12分）已知是等差數列，是各項都為正數的等比數列，，再從①；②；③這三個條件中選擇___________，___________兩個作為已知.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.21．（12分）已知函數（1）求函數的圖象在點處的切線方程；（2）求函數的極值22．（10分）已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，點在拋物線C上（1）求拋物線C的方程；（2）過拋物線C焦點F的直線l交拋物線于P，Q兩點，若求直線l的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由視圖確定該幾何體的特征，即可得解.【詳解】由主視圖可以看出，A點在面上的投影為的中點，由俯視圖可以看出C點在面上的投影為的中點，所以其左視圖為如圖所示的等腰直角三角形，直角邊長為，于是左視圖的面積為故選：A.2、D【解析】根據題意表示出點的坐標，再由直線AB的斜率為，列方程可求出橢圓的離心率【詳解】由題意得，，當時，，得，由題意可得點在第一象限，所以，因為直線AB的斜率為，所以，化簡得，所以，，得（舍去），或，所以離心率，故選：D3、A【解析】將化成，即可求出的最小值【詳解】由可化為，所以，解得，因此最小值是故選：A4、D【解析】作出不等式組所表示平面區(qū)域，可得出結論.【詳解】由可得或，作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分區(qū)域所示：由圖可知，不等式表示的平面區(qū)域是一個梯形.故選：D.5、C【解析】求出漸近線方程為，列出方程求出.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，因為，所以，所以.故選：C6、B【解析】利用古典概型的概率求法求解.【詳解】從全體三位正整數中任取一數共有900種取法，以2為底的對數也是正整數的三位數有，共3個，所以以此數以2為底的對數也是正整數的概率為，故選：B7、D【解析】詳解】由題意可設|PF2|＝m，結合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故離心率e＝選D.點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.8、D【解析】若直線傾斜角為，由題設有，結合即可得傾斜角的大小.【詳解】由直線方程，若其傾斜角為，則，而，∴.故選：D9、C【解析】根據雙曲線的性質結合離心率對雙曲線開口大小的影響即可得解.【詳解】解：對于A，越大，雙曲線開口越大，故A錯誤；對于B，越小，雙曲線開口越小，故B錯誤；對于C，由，越大，則越大，雙曲線開口越大，故C正確；對于D，越小，則越小，雙曲線開口越小，故D錯誤.故選：C.10、D【解析】依題意以雙曲線的對稱中心為坐標原點建系，設雙曲線的方程為，根據已知求得，點縱坐標代入計算即可求得橫坐標得出結果.【詳解】以雙曲線的對稱中心為坐標原點，建立平面直角坐標系，因為雙曲線的離心率為2，所以可設雙曲線的方程為，依題意可得，則，即雙曲線的方程為.因為，所以的縱坐標為18.由，得，故.故選：D.11、D【解析】根據垂直關系可得，由向量坐標運算可構造方程求得結果.【詳解】，，又與互相垂直，，解得：.故選：D.12、B【解析】利用平均數、方差的定義和性質直接求出，，…，，116的平均數、方差從而可得答案.【詳解】，，…，的平均數為116分，則，，…，，116的平均數為設，，…，的方差為則所以則，，…，，116的方差為所以，，…，，116的平均數不變，方差變小.標準差變小.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、84【解析】先求出該選手射擊兩次，兩次命中的環(huán)數都低于9環(huán)的概率，由對立事件的概率可得答案.【詳解】該選手射擊一次，命中的環(huán)數低于9環(huán)的概率為該選手射擊兩次，兩次命中的環(huán)數都低于9環(huán)的概率為所以他至少命中一次9環(huán)或10環(huán)的概率為故答案：0.8414、36【解析】先將4人分成2、1、1三組，再安排給3個不同的場館，由分步乘法計數原理可得.【詳解】將4人分到3個不同的體育場館，要求每個場館至少分配1人，則必須且只能有1個場館分得2人，其余的2個場館各1人，可先將4人分為2、1、1的三組，有種分組方法，再將分好的3組對應3個場館，有種方法，則共有種分配方案.故答案為：3615、【解析】分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，設，則，，即異面直線A1M與DN所成角的大小是考點：異面直線所成的角16、【解析】先對函數求導判斷其單調性，然后利用單調性求函數的最小值【詳解】解：由，得，當且僅當時取等號，即取等號，因為，所以函數在區(qū)間上單調遞增，所以當時，函數取得最小值0，故答案為：0三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用代入法，結合焦點的坐標、橢圓中的關系進行求解即可；（2）根據直線l是否存在斜率分類討論，結合一元二次方程根的判別式、根與系數關系、弦長公式、基本不等式進行求解即可.【小問1詳解】依題意：，解得，，∴橢圓E的方程為；【小問2詳解】當直線l的斜率存在時，設，，由得由得．由，得當且僅當，即時等號成立當直線l的斜率不存在時，，∴的最大值為18、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）通過計算·=0來證得AB1⊥BC.（2）通過證明A1C⊥AC1、A1C⊥AC1來證得A1C⊥平面AB1C1.【詳解】證明：（1）易知<>=120°，=+，則·=(+)·=·+·=2×2×+2×2×=0.所以AB1⊥BC.（2）易知四邊形AA1C1C為菱形，所以A1C⊥AC1.因為·=(-)·(-)=(-)·(--)=·-·-·-·+·+·=·-·-·+·=2×2×-4-2×2×+4=0，所以AB1⊥A1C，又AC1∩AB1=A，所以A1C⊥平面AB1C1.19、（1）（2）【解析】（1）由得命題p：，然后由為真命題求解；（2）由得，再根據是的充分條件求解.小問1詳解】當時，，解得：，由為真命題，，解得；【小問2詳解】由（其中）可得，因為是的充分條件，則，解得：20、答案見解析【解析】（1）根據題設條件可得關于基本量的方程組，求解后可得的通項公式.（2）利用公式法可求數列的前項和.【詳解】解：選擇條件①和條件②（1）設等差數列的公差為，∴解得：，.∴，.（2）設等比數列的公比為，，∴解得，.設數列的前項和為，∴.選擇條件①和條件③：（1）設等差數列的公差為，∴解得：，.∴.（2），設等比數列的公比為，.∴，解得，.設數列的前項和為，∴.選擇條件②和條件③：（1）設等比數列的公比為，，∴，解得，，.設等差數列的公差為，∴，又，故.∴.（2）設數列的前項和為，由（1）可知.【點睛】方法點睛：等差數列或等比數列的處理有兩類基本方法：（1）利用基本量即把數學問題轉化為關于基本量的方程或方程組，再運用基本量解決與數列相關的問題；（2）利用數列的性質求解即通過觀察下標的特征和數列和式的特征選擇合適的數列性質處理數學問題21、（1）（2）極大值為12，極小值-15【解析】（1）利用導數的幾何意義求解即可.（2）利用導數求解極值即可.【小問1詳解】，，切點為，故切線方程為，即；【小問2詳解】令，得或列表：-12+0-0+單調遞增12單調遞減-15單調遞增函數的極大值為，函數的極小值為.22、（1）