排列與組合.參考教案.學生版

PAGE排列與組合排列與組合高考要求高考要求要求層次重難點加法原理、乘法原理分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理B分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理①理解分類加法計數(shù)原理和分類乘法計數(shù)原理；②會用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題．用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題C要求層次重難點排列與組合排列、組合的概念B排列與組合①理解排列、組合的概念．②能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．③能解決簡單的實際問題．排列數(shù)公式、組合數(shù)公式C用排列與組合解決一些簡單的實際問題C知識內容知識內容1．基本計數(shù)原理⑴加法原理分類計數(shù)原理：做一件事，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種方法，……，在第類辦法中有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱加法原理．⑵乘法原理分步計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成個子步驟，做第一個步驟有種不同的方法，做第二個步驟有種不同方法，……，做第個步驟有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱乘法原理．⑶加法原理與乘法原理的綜合運用如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類計數(shù)原理．如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分步計數(shù)原理．分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是推導排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎，也是求解排列、組合問題的基本思想方法，這兩個原理十分重要必須認真學好，并正確地靈活加以應用．2．排列與組合⑴排列：一般地，從個不同的元素中任取個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．（其中被取的對象叫做元素）排列數(shù)：從個不同的元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示．排列數(shù)公式：，，并且．全排列：一般地，個不同元素全部取出的一個排列，叫做個不同元素的一個全排列．的階乘：正整數(shù)由到的連乘積，叫作的階乘，用表示．規(guī)定：．⑵組合：一般地，從個不同元素中，任意取出個元素并成一組，叫做從個元素中任取個元素的一個組合．組合數(shù)：從個不同元素中，任意取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中，任意取出個元素的組合數(shù)，用符號表示．組合數(shù)公式：，，并且．組合數(shù)的兩個性質：性質1：；性質2：．（規(guī)定）⑶排列組合綜合問題解排列組合問題，首先要用好兩個計數(shù)原理和排列組合的定義，即首先弄清是分類還是分步，是排列還是組合，同時要掌握一些常見類型的排列組合問題的解法：1．特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；2．分類分步法：對于較復雜的排列組合問題，常需要分類討論或分步計算，一定要做到分類明確，層次清楚，不重不漏．3．排除法，從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法．4．捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個”元素，與其它元素進行排列，然后再給那“一捆元素”內部排列．5．插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空．6．插板法：個相同元素，分成組，每組至少一個的分組問題——把個元素排成一排，從個空中選個空，各插一個隔板，有．7．分組、分配法：分組問題（分成幾堆，無序）．有等分、不等分、部分等分之別．一般地平均分成堆（組），必須除以！，如果有堆（組）元素個數(shù)相等，必須除以！8．錯位法：編號為1至的個小球放入編號為1到的個盒子里，每個盒子放一個小球，要求小球與盒子的編號都不同，這種排列稱為錯位排列，特別當，3，4，5時的錯位數(shù)各為1，2，9，44．關于5、6、7個元素的錯位排列的計算，可以用剔除法轉化為2個、3個、4個元素的錯位排列的問題．1．排列與組合應用題，主要考查有附加條件的應用問題，解決此類問題通常有三種途徑：①元素分析法：以元素為主，應先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；②位置分析法：以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；③間接法：先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)．求解時應注意先把具體問題轉化或歸結為排列或組合問題；再通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理；然后分析題目條件，避免“選取”時重復和遺漏；最后列出式子計算作答．2．具體的解題策略有：①對特殊元素進行優(yōu)先安排；②理解題意后進行合理和準確分類，分類后要驗證是否不重不漏；③對于抽出部分元素進行排列的問題一般是先選后排，以防出現(xiàn)重復；④對于元素相鄰的條件，采取捆綁法；對于元素間隔排列的問題，采取插空法或隔板法；⑤順序固定的問題用除法處理；分幾排的問題可以轉化為直排問題處理；⑥對于正面考慮太復雜的問題，可以考慮反面．⑦對于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問題，需要構造模型．典例分析典例分析版塊一.加法原理高二年級一班有女生人，男生人，從中選取一名學生作代表，參加學校組織的調查團，問選取代表的方法有幾種．若、是正整數(shù)，且，則以為坐標的點共有多少個？用到這個數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（）A． B． C． D．用數(shù)字組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為（）A． B． C． D．用這個數(shù)字，可以組成____個大于，小于的數(shù)字不重復的四位數(shù)．版塊二.乘法原理公園有個門，從一個門進，一個門出，共有_____種不同的走法．將個不同的小球放入個盒子中，則不同放法種數(shù)有_______．如果在一周內（周一至周日）安排三所學校的學生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學校，要求甲學校連續(xù)參觀兩天，其余兩所學校均只參觀一天，那么不同的安排方法共有種．高二年級一班有女生人，男生人，從中選取一名男生和一名女生作代表，參加學校組織的調查團，問選取代表的方法有幾種．六名同學報名參加三項體育比賽，每人限報一項，共有多少種不同的報名結果？板塊三.基本計數(shù)原理的綜合應用用，，，，排成無重復字的五位數(shù)，要求偶數(shù)字相鄰，奇數(shù)字也相鄰，則這樣的五位數(shù)的個數(shù)是_________．（用數(shù)字作答）若自然數(shù)使得作豎式加法均不產生進位現(xiàn)象．則稱為“可連數(shù)”．例如：是“可連數(shù)”，因不產生進位現(xiàn)象；不是“可連數(shù)”，因產生進位現(xiàn)象．那么，小于的“可連數(shù)”的個數(shù)為（）A． B． C． D．由正方體的8個頂點可確定多少個不同的平面？如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種．（以數(shù)字作答）如圖，一環(huán)形花壇分成四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（）A．96 B．84 C．60 D．48板塊四.排列數(shù)組合數(shù)的計算與證明解不等式證明：．解方程．解不等式．解方程：解不等式：．版塊五.排列組合問題的常見模型三個女生和五個男生排成一排⑴如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？⑵如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？⑶如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？個人站成一排：⑴其中甲、乙兩人必須相鄰有多少種不同的排法？⑵其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？⑶其中甲、乙兩人不站排頭和排尾有多少種不同的排法？⑷其中甲不站排頭，且乙不站排尾有多少種不同的排法？12名同學合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調整到前排，其他人的相對順序不變，則不同調整的方法的總數(shù)有（）A．B．C．D．兩部不同的長篇小說各由第一、二、三、四卷組成，每卷本，共本．將它們任意地排成一排，左邊本恰好都屬于同一部小說的概率是_______．給定數(shù)字、、、、、，每個數(shù)字最多用一次，⑴可能組成多少個四位數(shù)？⑵可能組成多少個四位奇數(shù)？⑶可能組成多少個四位偶數(shù)？⑷可能組成多少個自然數(shù)？用0到9這10個數(shù)字，可組成多少個沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)？本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？⑴一堆一本，一堆兩本，一堆三本；⑵甲得一本，乙得兩本，丙得三本；⑶一人得一本，一人得二本，一人得三本；⑷平均分給甲、乙、丙三人；⑸平均分成三堆．有6本不同的書⑴甲、乙、丙3人每人2本，有多少種不同的分法？⑵分成3堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？⑷分給甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？⑸分給甲1本、乙1本、丙4本，有多少種不同的分配方法？⑹分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少種不同的分堆方法？⑺擺在3層書架上，每層2本，有多少種不同的擺法？如圖，正五邊形中，若把頂點A、B、C、D、E染上紅、黃、綠三種顏色中的一種，使得相鄰頂點所染顏色不相同，則不同的染色方法有（）A．30種 B．27種 C．24種 D．21種將填入的方格中，要求每行、每列都沒有重復數(shù)字，右面是一種填法，則不同的填寫方法共有____________．版塊六.排列組合問題的常用方法總結從名外語系大學生中選派名同學參加廣州亞運會翻譯、交通、禮儀三項義工活動，要求翻譯有人參加，交通和禮儀各有人參加，則不同的選派方法共有．北京《財富》全球論壇期間，某高校有名志愿者參加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班人，每人每天最多值一班，則開幕式當天不同的排班種數(shù)為A．B．C．D．在平面直角坐標系中，軸正半軸上有個點，軸正半軸有個點，將軸上這個點和軸上這個點連成條線段，這條線段在第一象限內的交點最多有（）A．個B．個C．個D．個一個口袋內有個不同的紅球，個不同的白球，⑴從中任取個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？⑵若取一個紅球記分，取一個白球記分，從中任取個球，使總分不少于分的取法有多少種？已知集合，，，從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中點的坐標，則確定的不同點的個數(shù)為（）A．B．C．D．甲、乙、丙人站到共有級的臺階上，若每級臺階最多站人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是（用數(shù)字作答）．，則含有五個元素，且其中至少有兩個偶數(shù)的的子集個數(shù)為_____．有20個不加區(qū)別的小球放入編號為1，2，3的三個盒子里，要求每個盒子內的球數(shù)不少編號數(shù)，問有多少種不同的方法？不定方程中不同的正整數(shù)解有組，非負整數(shù)解有組．三個人坐在一排個座位上，若每個人左右兩邊都有空位，則坐法種數(shù)為_______．要排一張有6個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰，排法種數(shù)有____種．停車站劃出一排個停車位置，今有輛不同型號的車需要停放