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九年級第二十七章相似一、知識點集結(jié)考點課

求知識與技能目標了解理解掌握靈活應(yīng)用圖形的相似比例的基本性質(zhì),線段的比。成比例線段∨認識圖形的相似,探索相似圖形的性質(zhì)∨相似多邊形的對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例,面積的比等于對應(yīng)邊比的平方∨兩個三角形相似的概念,圖形的位似∨探索兩個三角形相似的條件∨利用位似將一個圖形放大或縮小∨考點的引發(fā)、思維的拓展考點一、比例的基本性質(zhì),線段的比。考點內(nèi)容分解:1、比例式與比例系數(shù)。1、……=k2、比例的基本性質(zhì):兩內(nèi)項之積等于兩外項之積;2、①黃金分割與比例中項。②3、等比性質(zhì)。3、……=k4、合分比性質(zhì)。4、例01.已知,求的值。變式:線段,滿足,求的值例02.已知,求的值例03.已知兩數(shù)4和8,試寫出第三個數(shù),使這三個數(shù)中,其中一個數(shù)是其余兩個數(shù)的比例中項,第三個數(shù)是________。例04.設(shè),求的值變式1.如果,則的值為。變式2.若,則的值是__________變式3.已知:如圖,在中,,,,且(1)求的長;(2)求證:考點二、認識圖形的相似,探索相似圖形的性質(zhì)考點內(nèi)容分解:⑴對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個三角形是相似三角形。⑵對應(yīng)邊的比值是相似三角形的相似比。⑶基本性質(zhì)定理:對應(yīng)角相等;對應(yīng)邊成比例,面積的比等于對應(yīng)邊比的平方。例01.已知:的三邊長分別是3,4,5,與其相似的的最大邊長是15,則面積為。變式1.已知:如圖,,,,(1)當與,之間滿足怎樣的關(guān)系時,∽;(2)當與,之間滿足怎樣的關(guān)系時,∽;(3)當與,之間滿足怎樣的關(guān)系時,這兩個三角形相似??键c三、探索兩個三角形相似的條件考點內(nèi)容分解:①如果有兩個角對應(yīng)相等,那么這兩個三角形相似;②如果三條邊對應(yīng)成比例,那么這兩個三角形相似;③如果有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,那么這兩個三角形相似。例01、如圖所示,已知平行四邊形ABCD中,E為AD延長線上一點,,BE交DC于F,指出圖中各對相似三角形及相似比.例02.已知:如圖,在四邊形中,,.求證:∽例03.如圖,在中,,,;在中,,,,試判斷這兩個三角形是否相似.例04.已知:如圖,在中,,、分別是、上的兩點,并且求證:變式1.如圖,已知為內(nèi)一點,為外一點,且,,求證:∽變式2.如圖1-1,在大小為4×4的正方形方格中,△ABC的頂點A、B、C在單位正方形的頂點上,請在圖中畫一個△A1B1C1,使△A1B1C1∽△ABC(相似比不為1),且點A1、B1、C1都在單位正方形的頂點上。變式3、已知:如圖,在正方形ABCD中,F(xiàn)是BC上的點,且BF=3FC,Q是CD的中點.求證:△ADQ∽△QCF.考點四、探索兩個三角形相似的類型考點內(nèi)容分解:1、“寶塔”型(“A字”)與“8字”型:①與“平行線”互相依存,對應(yīng)點在同一直線上;②平行線所分線段對應(yīng)成比例。2、“交錯”型與“雙交錯”型:①對應(yīng)點相互錯開,對應(yīng)線段相互錯開;②一般是通過“兩個角對應(yīng)相等”或“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等”來證明。3、“母子”型(“雙垂直”):①“母子”相似;②“雙垂直”定理(“射影”定理)。例1、如圖,平行四邊形ABCD中,G是BC延長線上一點,AG與BD交于點E,與DC交于F,則圖中相似三角形共有對。例2.如圖,梯形ABCD中,,且,,則_______,________.例3.(河北省,2001)在中,D為BC邊的中點,E為AC邊上任意一點,BE交AD于點O,某學(xué)生在研究這一問題時,發(fā)現(xiàn)了如下的事實:(1)當時,有(如圖)(2)當時,有(如圖)(3)當時,有(如圖)在下圖中,當時,參照上述研究結(jié)論,請你猜想用表示的一般結(jié)論,并給出證明(其中是正整數(shù)).例4.如圖,,是是高,求證:例5.如圖,已知:是的斜邊上的高,為上任意一點,,垂足為求證:變式1.如圖,H為□ABCD中AD邊上一點,且,AC和BH交于點K,則()A.B.C.D.變式2.已知:如圖,在中,,,ED的延長線交BC的延長線于N,則的值是()A.B.C.D.變式3.如圖,已知:在中,,于,在上,若于。求證:變式4.如圖,D在BC上,且,E是AD的中點,BE的延長線交AC于F,求.學(xué)科之間的綜合應(yīng)用及數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)探索相似中的證明技巧考點內(nèi)容分解:1、“乘積式”與“平方式”的證明;2、利用“中間比”進行轉(zhuǎn)化;3、“倍分式”關(guān)系的證明。例01.如圖,已知:在中,,,是角平分線,求證:。例02.如圖,P是ABCD的對角線AC上的任一點,EF,MN是過點P的兩直線與ABCD的邊分別交于E,F(xiàn),M,N.求證:.例03.如圖,已知:在中,,和是的高。求證:例04已知:如圖,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D.求證:BC2=2CD·AC.例05.已知,如圖(1),,,垂足分別為,,和相交于點,,垂足為,我們可以證明成立(不要求證明)AABADBACBAEBAFBAAABADACDAEDAFDA(1)(2)若將上圖中的垂直改為斜交,如圖(2),,、相交于點,過作,交于點,則:(1)還成立嗎?如果成立,請給出證明;如果不成立,請說明理由(2)請找出,和間的關(guān)系式,并給出證明.變式1.如圖,已知:在梯形中,,,,,且求證:變式2.如圖,為的角平分線,垂直于的延長線于,于,,的延長線交于點,求證:變式3.如圖,AD是中BC邊上中線,從C引射線交AD于E,AB于F.求證:.變式4.如圖,梯形ABCD中,,E,F(xiàn)分別是AD,BC的中點,,(),求GH的值.變式5.過ABCD的頂點A作任一直線與BD,BC及DC延長線于E,F(xiàn),G,求證:.課時作業(yè)(根據(jù)學(xué)生情況設(shè)置)綜合測試(100分單元測試)填空題(每小題3分,共30分)1、如圖1,在△ABC中,AB:DB=1:2,DE∥BC,若△ABC的面積為9,則四邊形DBCE的面積為。AABCDE圖12、由三角形三邊中位線所圍成的三角形的面積是原三角形面積的。3、圖2中,x=。11()30°45°x30°)(105°圖224、在△ABC中,AB>BC>AC,D是AC的中點,過D作直線l,使截得的三角形與原三角形相似,這樣的直線l有條。5、已知M是線段AB延長線上的一點,且AM:BM=7:3,那么AM:AB=。6、雨后天晴,一學(xué)生在運動場上玩耍,從他前面2m遠處的一塊小積水里,他看到了旗桿頂端的倒影,如果旗桿底端到積水處的距離為40m,該學(xué)生的眼部高度為1.5m,那么旗桿的高為。7、已知兩個相似多邊形的周長比為1:2,它們的面積和為25,則這兩個多邊形的面積分別是和。8、如圖3,已知在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,四邊形EFDH為內(nèi)接正方形,則AE:AB=。AABCDFEH圖39、如果點C是線段AB靠近B的黃金分割點,且AC=2,那么AB=。10、如圖4,將矩形ABCD沿直線AE折疊,頂點D恰好落在BC邊上F點處,已知CE=3cm,AB=8cm,則圖中陰影部分面積為cm2。AABCFED圖4選擇題(每小題4分,共40分)11、如圖5,點A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格紙上的格點,為使△DEM∽△ABC,則點M應(yīng)是F、G、H、K四點中的()A、FB、GC、HD、K··ABCCKHGFDE12、已知△ABC∽△DEF,AB:DE=1:2,則△ABC與△DEF的周長比等于()A、1:2B、1:4C、2:1D、4:113、(2006年天津)如圖6,AB∥CD,AE∥FD,AE、FD分別交BC于點G、H,則圖中共有相似三角形()4對B、5對C、6對D、7對AABCDEGHF圖614、已知==,且a-b+c=10,則a+b-c的值為()A、6B、5C、4D、315、兩個相似五邊形,一組對應(yīng)邊的長分別為3cm和4.5cm,如果它們的面積之和是78cm2,則較大的五邊形面積是()cm2。A、44.8B、52C、54D、4216、如圖7所示,它是小孔成像的原理,根據(jù)圖中尺寸(AB∥CD),如果已知物體AB=30,則CD的長應(yīng)是()A、15B、30C、20D、10AABCDO圖71212363617、有同一三角形地塊的甲、乙兩地圖,比例尺分別為1:100和1:500,那么甲地圖與乙地圖表示這一地塊的三角形的面積之比是()A、25:1B、5:1C、1:25D、1:518、如圖8,在等邊△ABC中,P為BC上一點,D為AC上一點,且∠APD=60°,BP=1,CD=,則△ABC的邊長是()ABABCDP)60°圖819、一個鋼筋三角架三邊長分別為20cm、50cm、60cm,現(xiàn)要再做一個與其相似的鋼筋三角架,而只有長為30cm和50cm的兩根鋼筋,要求以其中的一根為一邊,從另一根截下兩段(允許有余料)作為另兩邊,則不同的截法有()種一B、二C、三D、四20、如圖9,在正方形ABCD中,點E、F分別在邊BC、CD上,如果AE=4,EF=3,AF=5,那么正方形ABCD的面積等于()AABECFD圖9A、B、C、D、解答題(每小題7分,共35分)(1)若=,判斷代數(shù)式-+1值的符號若==,求的值。已知四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′相似,且AB:BC:CD:DA=20:15:9:8,四邊形A′B′C′D′的周長為26,求四邊形A′B′C′D′各邊的長。23、如圖10,為了測量一棵樹AB的高度,測量者在D點立一高CD等于2m的標桿,現(xiàn)測量者從E處可以看到標桿頂點C與樹頂A在同一條直線上,如果測得BD=20m,F(xiàn)D=4m,EF=1.8m,求樹高。AABCDEF圖10△△AABCDEF圖1124、如11圖,在平行四邊形ABCD中,過點B作BE⊥CD,垂足為E,連結(jié)AE,F(xiàn)為AE上一點,且∠BFE=∠C求證:△ABF∽△EAD若AB=4,SABCD=,求AE的長在(1)、(2)條件下,若AD=3,求BF的長(計算結(jié)果可含根號)25、如圖12,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,點D是BC上一個動點(不與B、C重合),在AC上取E點,使∠ADE=45°求證:△ABD∽△DCE設(shè)BD=x,AE=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式AABCDE圖12AABCDEF圖13拓廣探索題(共15分)26、(7分)已知,如圖13,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分別為B、D,AD和BC交于點E,EF⊥BD,垂足為F,我們可以證明+=成立,若將圖13中的垂直改為斜交,如圖14,AB∥CD,AB與BC交于點E,過點E作EF∥AB交BD于F,則+=還成立嗎?如果成立,給出證明;如果不成立,請說明理由。請找出S△ABC,S△BED和S△BDC間的關(guān)系,并給出證明。AABCDEF圖1427、(8分)若矩形的一個短邊與長邊的比值為,(黃金分割數(shù)),我們把這樣的矩形叫做黃金矩形操作:請你在如圖15所示的黃金矩形ABCD(AB>AD)中,以短邊AD為一邊作正方形AEFD。探究:在(1)中的四邊形EBCF是不是黃金矩形?若是,請予以證明;若不是,請說明理由。歸納:通過上述操作及探究,請概括出具體有一般性的結(jié)論(不需證明)AABCD圖15填空題1~108247:4305,201+30提示:4、如圖1,過D分別作BC、AB的平分線有兩條,另外,作∠ADE=∠ABC又一條,作∠CDF=∠ABC又一條,共4條AABCDEF圖18、====9、∵==,又∵=∴=∴BC=-1∴AB=2+-1=1+10、如題圖:EF=DE=8-3=5∵EC=3,∴FC=4,易證△ABF∽△EFC∴BF:3=8:4BF=6∴S陰影=·6·8+·4·3=30選擇題11~20CACACDAABC提示:18、∵△ABC為等邊三角形∴∠B=∠C=60°,又∠APD=60°∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPD=120°,∴∠BAP=∠DPC,∴△APB∽△PCD∴:1=(AB-1):AB∴AB=320、∵AE2+EF2=42+32=52=AF2∴∠AEF=90°,∴易證△ABE∽△EFC∴AB:EC=4:3設(shè)AB=xx:(x-)=4:3∴x2=解答題21、解:(1)設(shè)==k,則a=bk,c=dk,代入,得,求值式=-+1=k-k+1=1>0,故所求式的符號為正(2)當a+b+c≠0時,因為abc≠0,所以由等比性質(zhì)得:===所以a+b=2c,b+c=2a,c+a=2b,代入得,求式==8當a+b+c=0,a+b=--c,b+c=-a,c+a=-b,代入所求式==-122、解:∵四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′相似,且AB:BC:CD:DA=20:15:9:8,∴A′B′:B′C′:C′D′:D′A′=20:15:9:8設(shè)A′B′=20x,B′C′=15x,C′D′=9x,D′A′=8x,由四邊形A′B′C′D′的周長為26,得20x+15x+9x+8x=26,解得x=∴A′B′=10,B′C′=7.5,C′D′=4.5,D′A′=423、解:如圖2,過E作EN⊥AB,交AB于N點交CD于M點,由題意知,MN=BD=20,EM=FD=4,MB=MD=EF=1.8,則CM=0.2ABCDEF圖2△ABCDEF圖2△△MN∴CM:AN=EM:EN∴AN==1.2∴AB=AN+NB=1.2+1.8=3所以樹高為3m24、證明:(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴∠BAF=∠AED∠C+∠D=180°,∴∠C=∠BFE,∠BFE+∠BFA=180°,∴∠D

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