人教版初中數(shù)學(xué)第27章相似

九年級(jí)第二十七章相似一、知識(shí)點(diǎn)集結(jié)考點(diǎn)課

標(biāo)

要

求知識(shí)與技能目標(biāo)了解理解掌握靈活應(yīng)用圖形的相似比例的基本性質(zhì)，線(xiàn)段的比。成比例線(xiàn)段∨認(rèn)識(shí)圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)∨相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，面積的比等于對(duì)應(yīng)邊比的平方∨兩個(gè)三角形相似的概念，圖形的位似∨探索兩個(gè)三角形相似的條件∨利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小∨考點(diǎn)的引發(fā)、思維的拓展考點(diǎn)一、比例的基本性質(zhì)，線(xiàn)段的比?？键c(diǎn)內(nèi)容分解：1、比例式與比例系數(shù)。1、……=k2、比例的基本性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積；2、①黃金分割與比例中項(xiàng)。②3、等比性質(zhì)。3、……=k4、合分比性質(zhì)。4、例01．已知，求的值。變式：線(xiàn)段，滿(mǎn)足，求的值例02．已知，求的值例03．已知兩數(shù)4和8，試寫(xiě)出第三個(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)中，其中一個(gè)數(shù)是其余兩個(gè)數(shù)的比例中項(xiàng)，第三個(gè)數(shù)是________。例04．設(shè)，求的值變式1．如果，則的值為。變式2．若，則的值是__________變式3．已知：如圖，在中，，，，且（1）求的長(zhǎng)；（2）求證：考點(diǎn)二、認(rèn)識(shí)圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)考點(diǎn)內(nèi)容分解：⑴對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形是相似三角形。⑵對(duì)應(yīng)邊的比值是相似三角形的相似比。⑶基本性質(zhì)定理：對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)邊成比例，面積的比等于對(duì)應(yīng)邊比的平方。例01．已知：的三邊長(zhǎng)分別是3，4，5，與其相似的的最大邊長(zhǎng)是15，則面積為。變式1．已知：如圖，，，，（1）當(dāng)與，之間滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系時(shí)，∽；（2）當(dāng)與，之間滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系時(shí)，∽；（3）當(dāng)與，之間滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系時(shí)，這兩個(gè)三角形相似?？键c(diǎn)三、探索兩個(gè)三角形相似的條件考點(diǎn)內(nèi)容分解：①如果有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。例01、如圖所示，已知平行四邊形ABCD中，E為AD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，，BE交DC于F，指出圖中各對(duì)相似三角形及相似比．例02．已知：如圖，在四邊形中，，.求證：∽例03．如圖，在中，，，；在中，，，，試判斷這兩個(gè)三角形是否相似.例04．已知：如圖，在中，，、分別是、上的兩點(diǎn)，并且求證：變式1．如圖，已知為內(nèi)一點(diǎn)，為外一點(diǎn)，且，，求證：∽變式2．如圖1-1，在大小為4×4的正方形方格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C在單位正方形的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)一個(gè)△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC(相似比不為1)，且點(diǎn)A1、B1、C1都在單位正方形的頂點(diǎn)上。變式3、已知：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是BC上的點(diǎn)，且BF＝3FC，Q是CD的中點(diǎn)．求證：△ADQ∽△QCF．考點(diǎn)四、探索兩個(gè)三角形相似的類(lèi)型考點(diǎn)內(nèi)容分解：1、“寶塔”型（“A字”）與“8字”型：①與“平行線(xiàn)”互相依存，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一直線(xiàn)上；②平行線(xiàn)所分線(xiàn)段對(duì)應(yīng)成比例。2、“交錯(cuò)”型與“雙交錯(cuò)”型：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)相互錯(cuò)開(kāi)，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相互錯(cuò)開(kāi)；②一般是通過(guò)“兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”或“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等”來(lái)證明。3、“母子”型（“雙垂直”）：①“母子”相似；②“雙垂直”定理（“射影”定理）。例1、如圖，平行四邊形ABCD中，G是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，AG與BD交于點(diǎn)E，與DC交于F，則圖中相似三角形共有對(duì)。例2．如圖，梯形ABCD中，，且，，則_______，________.例3．（河北省，2001）在中，D為BC邊的中點(diǎn)，E為AC邊上任意一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)O，某學(xué)生在研究這一問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了如下的事實(shí)：（1）當(dāng)時(shí)，有（如圖）（2）當(dāng)時(shí)，有（如圖）（3）當(dāng)時(shí)，有（如圖）在下圖中，當(dāng)時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請(qǐng)你猜想用表示的一般結(jié)論，并給出證明（其中是正整數(shù)）.例4．如圖，，是是高，求證：例5．如圖，已知：是的斜邊上的高，為上任意一點(diǎn)，，垂足為求證：變式1．如圖，H為□ABCD中AD邊上一點(diǎn)，且，AC和BH交于點(diǎn)K，則（）A．B．C．D．變式2．已知：如圖，在中，，，ED的延長(zhǎng)線(xiàn)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于N，則的值是（）A．B．C．D．變式3．如圖，已知：在中，，于，在上，若于。求證：變式4．如圖，D在BC上，且，E是AD的中點(diǎn)，BE的延長(zhǎng)線(xiàn)交AC于F，求.學(xué)科之間的綜合應(yīng)用及數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)探索相似中的證明技巧考點(diǎn)內(nèi)容分解：1、“乘積式”與“平方式”的證明；2、利用“中間比”進(jìn)行轉(zhuǎn)化；3、“倍分式”關(guān)系的證明。例01．如圖，已知：在中，，，是角平分線(xiàn)，求證：。例02．如圖，P是ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上的任一點(diǎn)，EF，MN是過(guò)點(diǎn)P的兩直線(xiàn)與ABCD的邊分別交于E，F(xiàn)，M，N.求證：.例03．如圖，已知：在中，，和是的高。求證：例04已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求證：BC2＝2CD·AC．例05．已知，如圖(1)，，，垂足分別為，，和相交于點(diǎn)，，垂足為，我們可以證明成立（不要求證明）AABADBACBAEBAFBAAABADACDAEDAFDA(1)(2)若將上圖中的垂直改為斜交，如圖(2)，，、相交于點(diǎn)，過(guò)作，交于點(diǎn)，則：（1）還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由（2）請(qǐng)找出，和間的關(guān)系式，并給出證明.變式1．如圖，已知：在梯形中，，，，，且求證：變式2．如圖，為的角平分線(xiàn)，垂直于的延長(zhǎng)線(xiàn)于，于，，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，求證：變式3．如圖，AD是中BC邊上中線(xiàn)，從C引射線(xiàn)交AD于E，AB于F.求證：.變式4．如圖，梯形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，，（），求GH的值.變式5．過(guò)ABCD的頂點(diǎn)A作任一直線(xiàn)與BD，BC及DC延長(zhǎng)線(xiàn)于E，F(xiàn)，G，求證：.課時(shí)作業(yè)（根據(jù)學(xué)生情況設(shè)置）綜合測(cè)試（100分單元測(cè)試）填空題（每小題3分，共30分）1、如圖1，在△ABC中，AB：DB=1：2，DE∥BC，若△ABC的面積為9，則四邊形DBCE的面積為。AABCDE圖12、由三角形三邊中位線(xiàn)所圍成的三角形的面積是原三角形面積的。3、圖2中，x=。11（）30°45°x30°）（105°圖224、在△ABC中，AB＞BC＞AC，D是AC的中點(diǎn)，過(guò)D作直線(xiàn)l，使截得的三角形與原三角形相似，這樣的直線(xiàn)l有條。5、已知M是線(xiàn)段AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且AM：BM=7：3，那么AM：AB=。6、雨后天晴，一學(xué)生在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上玩耍，從他前面2m遠(yuǎn)處的一塊小積水里，他看到了旗桿頂端的倒影，如果旗桿底端到積水處的距離為40m，該學(xué)生的眼部高度為1.5m，那么旗桿的高為。7、已知兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)比為1：2，它們的面積和為25，則這兩個(gè)多邊形的面積分別是和。8、如圖3，已知在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，四邊形EFDH為內(nèi)接正方形，則AE：AB=。AABCDFEH圖39、如果點(diǎn)C是線(xiàn)段AB靠近B的黃金分割點(diǎn)，且AC=2，那么AB=。10、如圖4，將矩形ABCD沿直線(xiàn)AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上F點(diǎn)處，已知CE=3cm，AB=8cm，則圖中陰影部分面積為cm2。AABCFED圖4選擇題(每小題4分，共40分)11、如圖5，點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格紙上的格點(diǎn)，為使△DEM∽△ABC，則點(diǎn)M應(yīng)是F、G、H、K四點(diǎn)中的（）A、FB、GC、HD、K··ABCCKHGFDE12、已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比等于（）A、1：2B、1：4C、2：1D、4：113、（2006年天津）如圖6，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分別交BC于點(diǎn)G、H，則圖中共有相似三角形（）4對(duì)B、5對(duì)C、6對(duì)D、7對(duì)AABCDEGHF圖614、已知==，且a-b+c=10，則a+b-c的值為（）A、6B、5C、4D、315、兩個(gè)相似五邊形，一組對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)分別為3cm和4.5cm，如果它們的面積之和是78cm2，則較大的五邊形面積是（）cm2。A、44.8B、52C、54D、4216、如圖7所示，它是小孔成像的原理，根據(jù)圖中尺寸(AB∥CD)，如果已知物體AB=30，則CD的長(zhǎng)應(yīng)是（）A、15B、30C、20D、10AABCDO圖71212363617、有同一三角形地塊的甲、乙兩地圖，比例尺分別為1：100和1：500，那么甲地圖與乙地圖表示這一地塊的三角形的面積之比是（）A、25：1B、5：1C、1：25D、1：518、如圖8，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD=60°，BP=1，CD=，則△ABC的邊長(zhǎng)是（）ABABCDP）60°圖819、一個(gè)鋼筋三角架三邊長(zhǎng)分別為20cm、50cm、60cm，現(xiàn)要再做一個(gè)與其相似的鋼筋三角架，而只有長(zhǎng)為30cm和50cm的兩根鋼筋，要求以其中的一根為一邊，從另一根截下兩段（允許有余料）作為另兩邊，則不同的截法有（）種一B、二C、三D、四20、如圖9，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面積等于（）AABECFD圖9A、B、C、D、解答題（每小題7分，共35分）（1）若=，判斷代數(shù)式-+1值的符號(hào)若==，求的值。已知四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′相似，且AB：BC：CD：DA=20：15：9：8，四邊形A′B′C′D′的周長(zhǎng)為26，求四邊形A′B′C′D′各邊的長(zhǎng)。23、如圖10，為了測(cè)量一棵樹(shù)AB的高度，測(cè)量者在D點(diǎn)立一高CD等于2m的標(biāo)桿，現(xiàn)測(cè)量者從E處可以看到標(biāo)桿頂點(diǎn)C與樹(shù)頂A在同一條直線(xiàn)上，如果測(cè)得BD=20m，F(xiàn)D=4m，EF=1.8m，求樹(shù)高。AABCDEF圖10△△AABCDEF圖1124、如11圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，連結(jié)AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且∠BFE=∠C求證：△ABF∽△EAD若AB=4，SABCD=，求AE的長(zhǎng)在（1）、（2）條件下，若AD=3，求BF的長(zhǎng)（計(jì)算結(jié)果可含根號(hào)）25、如圖12，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點(diǎn)D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），在AC上取E點(diǎn)，使∠ADE=45°求證：△ABD∽△DCE設(shè)BD=x，AE=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式AABCDE圖12AABCDEF圖13拓廣探索題（共15分）26、（7分）已知，如圖13，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B、D，AD和BC交于點(diǎn)E，EF⊥BD，垂足為F，我們可以證明+=成立，若將圖13中的垂直改為斜交，如圖14，AB∥CD，AB與BC交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交BD于F，則+=還成立嗎？如果成立，給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。請(qǐng)找出S△ABC，S△BED和S△BDC間的關(guān)系，并給出證明。AABCDEF圖1427、（8分）若矩形的一個(gè)短邊與長(zhǎng)邊的比值為，（黃金分割數(shù)），我們把這樣的矩形叫做黃金矩形操作：請(qǐng)你在如圖15所示的黃金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短邊AD為一邊作正方形AEFD。探究：在（1）中的四邊形EBCF是不是黃金矩形？若是，請(qǐng)予以證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。歸納：通過(guò)上述操作及探究，請(qǐng)概括出具體有一般性的結(jié)論（不需證明）AABCD圖15填空題1～108247：4305，201+30提示：4、如圖1，過(guò)D分別作BC、AB的平分線(xiàn)有兩條，另外，作∠ADE=∠ABC又一條，作∠CDF=∠ABC又一條，共4條AABCDEF圖18、====9、∵==，又∵=∴=∴BC=-1∴AB=2+-1=1+10、如題圖：EF=DE=8-3=5∵EC=3，∴FC=4，易證△ABF∽△EFC∴BF：3=8：4BF=6∴S陰影=·6·8+·4·3=30選擇題11～20CACACDAABC提示：18、∵△ABC為等邊三角形∴∠B=∠C=60°，又∠APD=60°∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPD=120°，∴∠BAP=∠DPC，∴△APB∽△PCD∴：1=（AB-1）：AB∴AB=320、∵AE2+EF2=42+32=52=AF2∴∠AEF=90°，∴易證△ABE∽△EFC∴AB：EC=4：3設(shè)AB=xx：（x-）=4：3∴x2=解答題21、解：（1）設(shè)==k，則a=bk，c=dk，代入，得，求值式=-+1=k-k+1=1＞0，故所求式的符號(hào)為正（2）當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，因?yàn)閍bc≠0，所以由等比性質(zhì)得：===所以a+b=2c，b+c=2a，c+a=2b，代入得，求式==8當(dāng)a+b+c=0，a+b=--c，b+c=-a，c+a=-b，代入所求式==-122、解：∵四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′相似，且AB：BC：CD：DA=20：15：9：8，∴A′B′：B′C′：C′D′：D′A′=20：15：9：8設(shè)A′B′=20x，B′C′=15x，C′D′=9x，D′A′=8x，由四邊形A′B′C′D′的周長(zhǎng)為26，得20x+15x+9x+8x=26，解得x=∴A′B′=10，B′C′=7.5，C′D′=4.5，D′A′=423、解：如圖2，過(guò)E作EN⊥AB，交AB于N點(diǎn)交CD于M點(diǎn)，由題意知，MN=BD=20，EM=FD=4，MB=MD=EF=1.8，則CM=0.2ABCDEF圖2△ABCDEF圖2△△MN∴CM：AN=EM：EN∴AN==1.2∴AB=AN+NB=1.2+1.8=3所以樹(shù)高為3m24、證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠BAF=∠AED∠C+∠D=180°，∴∠C=∠BFE，∠BFE+∠BFA=180°，∴∠D