多滯后中立型間接不確定luley控制系統(tǒng)的魯棒絕對穩(wěn)定性

多滯后中立型間接不確定luley控制系統(tǒng)的魯棒絕對穩(wěn)定性

1ure系統(tǒng)研究的主要結(jié)論對于非線性控制系統(tǒng)而言，lurc管理體系是一個非常重要的系統(tǒng)。許多科學(xué)家過去研究了不含時間缺陷的lurc管理體系，但近年來，一些科學(xué)家已經(jīng)開始研究包含時缺陷的lurc管理體系。這無疑給對lurc管理體系的研究帶來了活力和挑戰(zhàn)。例如，使用頻率法研究了時態(tài)錄音系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性。在文獻中，lyanov支持泛函研究了時態(tài)錄音多非線性ur系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，并提供了保證系統(tǒng)絕對穩(wěn)定的充分性條件。然而，由于lyanov泛函積分元素系數(shù)等自由參數(shù)的選擇是隨機的，因此條件的驗證只能是可接近的，因此非常不便。這項工作的目標(biāo)是研究不確定中立魯壁系統(tǒng)的魯棒絕對穩(wěn)定性。另一方面，有必要研究更廣泛的導(dǎo)數(shù)元素，即線性矩陣不規(guī)則方法（lmi），以消除李相器退相器二次型中的正矩陣和積分元素系數(shù)的隨機性。2系統(tǒng)面為0,k1.2.考慮中立型Lurie間接控制系統(tǒng){˙x(t)-?G˙x(t-τ)=?Ax(t)+?A1x(t-τ)+?Bf(σ(t))+?B1f(σ(t-τ))˙σ(t)=?Cx(t)+?Df(σ(t))(1)其中x∈Rn,x(t-τ)=(x1(t-τ1),x2(t-τ2),…,xn(t-τn))T,τi>0為未知的時滯常量,?A=A+ΔA(t),?B=B+ΔB(t),?G=G+ΔG(t),?C=C+ΔC(t),?D=D+ΔD(t).G?A?A1∈Rn×n?B?B1∈Rn×m?C∈Rm×n?D∈Rm×m,是已知實矩陣,ΔA(t),ΔB(t),ΔG(t),ΔC(t),ΔD(t)是相應(yīng)維數(shù)不確定實向量矩陣,σ(t)=(σ1(t),σ2(t),…,σm(t))T,σ(t-τ)=(σ1(t-τ1),σ2(t-τ2),…,σm(t-τm))T,f(·)∈F,f(σ(t))=(f1(σ1(t)),…,(fm(σm(t)))T,f(σ(t-τ))=(f1(σ1(t-τ1)),(f2(σ2(t-τ2)),…,(fm(σm(t-τm)))T.記差分算子D(t,xt)=x(t)-Gx(t-τ),及對角陣K=diag(k1,k2…,km),(ki>0,i=1,2,…,m),讓|·|表示Rn或Rm中的模,‖·‖表示矩陣的2-范數(shù).F={f(?):f(0)=0,0＜σΤf(σ)≤σΤΚσ(σ≠0)}為了書寫方便,不確定矩陣中的變量t下面將略去不寫.系統(tǒng)的不確定描述為[ΔAΔA1ΔGΔBΔB1]=ΜF(xiàn)(t)[Ν1Ν2Ν3Ν4Ν5](2)[ΔCΔD]=UΗ(t)[V1V2](3)其中M,Ni(i=1,2,3,4,5),U,V1,V2是適當(dāng)維數(shù)的已知實矩陣,F(t),H(t)是具有勒貝格可測元的適當(dāng)維數(shù)的未知矩陣函數(shù),且滿足σmax(F(t))≤1,σmax(Η(t))≤1這里σmax(·)表示矩陣的最大奇異值.定義1若對任意f(·)∈F,系統(tǒng)(1)的零解為全局漸近穩(wěn)定的,則稱系統(tǒng)(1)在角域[0,K]中絕對穩(wěn)定.定義2若對于所有允許的不確定性,系統(tǒng)(1)在角域[0,K]中絕對穩(wěn)定,則稱系統(tǒng)(1)在角域[0,K]中魯棒絕對穩(wěn)定.引理1已知矩陣Σ1,Σ2,Σ3,其中0<Σ1=ΣT,則Σ1+Σ3Δ(t)Σ2+ΣΤ2Δ(t)ΣΤ3＜0,?Δ∶ΔΤ(t)Δ(t)≤Ι當(dāng)且僅當(dāng)Σ1+ε-1Σ3ΣΤ3+εΣΤ2Σ2＜0,ε＞03[ab12,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,10,1010.2,1010.2,1010.2,10.2,10.2,10.2,10.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.討論系統(tǒng)(1)在角域[0,K]中的絕對穩(wěn)定性,首先考慮無擾動系統(tǒng){˙x(t)=Ax(t)+A1x(t-τ)+G˙x(t-τ)+Bf(σ(t))+B1f(σ(t-τ))˙σ(t)=Cx(t)+Df(σ(t))(4)為此我們構(gòu)造Lyapunov泛函V(t,xt)=xΤ(t)Ρx(t)+n∑i=1μi∫tt-τix2(θ)dθ+m∑i=1αi∫σi0fi(ω)dω+m∑i=1βi∫tt-τif2i(σi(δ))dδ+n∑i=1γi∫tt-τi˙x2i(ρ)dρ(5)式中P為正定矩陣,αj>0,βj≥0,γi≥0,μi≥0(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m),記α=diag(α1,α2,…,αm),β=diag(β1,β2,…,βm),γ=diag(γ1,γ2,…,γn),μ=diag(μ1,μ2,…,μn).為了書寫方便,我們用x,y,z,f,g分別代表x(t),x(t-τ)?˙x(t-x),f(σ(t)),f(σ(t-τ)),則(5)式沿系統(tǒng)(1)的解關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)為˙V(t,xt)=˙xΤΡx+xΤΡ˙x+xΤμx-yΤμy+˙σΤαf+fΤβf-gΤβg+˙xΤγ˙x-zΤγz將(1)式代入上式得˙V(t,xt)=2(Ax+A1y+Bf+B1g+Gz)ΤΡx+(Cx+Df)Ταf+(Ax+A1y+Bf+B1g+Gz)Τγ(Ax+A1y+Bf+B1g+Gz)fTβf-gTβg-zTγz+xTμx-yTμy=-ξT(Ψ-WTγW)ξ-fTη[Cx-K-1f]其中ξ=(xT,yT,zT,fT,gT),η=diag(η1,η2,…,ηm),(ηi≥0,i=1,2,…,m).Ψ=[-ΡA-AΤΡ-μ-ΡA1-ΡG-ΡB-12CΤ(η+α)-ΡB1-AΤ1Ρμ000-GΤΡ0γ00-BΤΡ-12(η+α)C00ηΚ-1-β-12(DΤα+αD)0-BΤ1Ρ000β]W=[-A-A1-G-B-B1].由于f∈F,即得fTη[Cx-K-1f]≥0.因此,若Ψ=WΤγW＞0(6)則有˙V(t,xt)＜-ω(|x|2+|y|2+|z|2+|f|2+|g|2)≤-ω|x|2式中ω=λmin(Φ-WTγW).且注意到(4)式暗含著γ-GTγG<0,即‖G‖<1,微分算子D(t,xt)一致穩(wěn)定,那么就有系統(tǒng)(1)在F中全局一致漸近穩(wěn)定.又應(yīng)用schur補引理知(6)式等價于[ΦWΤWγ-1]＞0(7)即[-ΡA-AΤΡ-μ-ΡA1-ΡG-ΡB-12CΤ(η+α)-ΡB1-AΤ-AΤ1Ρμ000-AΤ1-GΤΡ0γ00-GΤ-BΤΡ-12(η+α)C00ηΚ-1-β-12(DΤα+αD)0-BΤ-BΤ1Ρ000β-BΤ1-A-A1-G-B-B1γ-1]＞0令η=α,則上式可寫成[-ΡA-AΤΡ-μ-ΡA1-ΡG-ΡB-CΤα-ΡB1-AΤ-AΤ1Ρμ000-AΤ1-GΤΡ0γ00-GΤ-BΤΡ-αC0012(Κ-1-D)Τα+12α(Κ-1-D)-β0-BΤ-BΤ1Ρ000β-BΤ1-A-A1-G-B-B1γ-1]＞0(8)從而,我們有下面的結(jié)論.定理1若存在正定矩陣P,以及m階實對角陣α>0,β>0和n階實對角陣μ>0,γ>0,使得LMI(8)成立,則系統(tǒng)(1)對任意時滯τi≥0,在角域[0,ki](i=1,2,…,m)中絕對穩(wěn)定.4[ab對于不穩(wěn)定系統(tǒng)(1),由上一節(jié)的(8)式知,只要矩陣不等式[-Ρ?A-?AΤΡ-μ-Ρ?A1-Ρ?G-Ρ?B-?CΤα-Ρ?B1-?AΤ-?AΤ1Ρμ000-?AΤ1-?GΤΡ0γ00-?GΤ-?BΤΡ-α?C0012(Κ-1-?D)Τα+12α(Κ-1-?D)-β0-?BΤ-?BΤ1Ρ000β-?BΤ1-?A-?A1-?G-?B-?B1γ-1]＞0(9)有正定解,則系統(tǒng)(1)在角域[0,K]中魯棒絕對穩(wěn)定,且與時滯量的大小無關(guān).分別用Θ和ΔΘ表示(9)的標(biāo)稱部分和擾動部分,那么,(9)式可以表示成Θ-ΔΘ＞0(10)注意到不確定描述(2)和(3),ΔΘ可分解為ΔΘ=QΤF(t)R+SΤΗ(t)Τ其中Q=[ΜΤΡ0000ΜΤ]?R=[Ν1Ν2Ν3Ν4Ν50]S=[000αUΤ00]?Τ=[V10012V200]因此,(10)可重新寫成Θ-QΤ1F(t)R-SΤΗ(t)Τ＞0(11)而不等式(11)等價于,對于任意的非零向量ζ=[ζT1ζT2ζT3ζT4ζT5]T,有ζΤΘζ-2ζΤQΤF(t)Rζ-2ζΤSΤΗ(t)Τζ＞0(12)成立.并且對于‖F(xiàn)(t)‖≤1,‖H(t)‖≤1,選取F(t)=QζζΤRΤ∥Qζ∥∥Rζ∥?Η(t)=ζζΤΤΤ∥Sζ∥∥Τζ∥(13)時,(12)達到最小,所以對于任意的擾動,(12)式為真當(dāng)且僅當(dāng)選取F(t)和H(t)如(13)式時,它為真,即ζΤΘζ＞2√ζΤQΤQζ√ζΤRΤRζ+2√ζΤSΤSζ√ζΤΤΤΤζ而由引理1知上式為真當(dāng)且僅當(dāng)存在正數(shù)λ1,λ2,使得Θ-λ1QΤQ-λ-11RΤR-λ2SΤS-λ-12ΤΤΤ＞0應(yīng)用Schur補,我們有下面的結(jié)論.定理2若存在正定矩陣P,以及實對角陣,μ>0,α>0,β≥0,γ≥0和正數(shù)λ1,λ2,使得[-ΡA-AΤΡ-μ-ΡA1-ΡG-ΡB-CΤα-ΡB1-AΤΡΜΝΤ10VΤ1-AΤ1Ρμ000-AΤ10ΝΤ200-GΤΡ0γ00-GΤ0ΝΤ300-BΤΡ-αC00L(α,β)0-BΤ0ΝΤ4UαVΤ2/2-BΤ1Ρ000β-BΤ10ΝΤ500-A-A1-G-B-B1γ-1Μ000ΜΤΡ0000ΜΤλ1000Ν1Ν2Ν3Ν4Ν500λ-1100000αUΤ0000λ20V100V2/200000λ-12]＞0(14)其中L(α?β)=12(Κ-1-D)Τα+12α(Κ-1-D)-β,則系統(tǒng)(1)對任意時滯τi≥0,在角域[0,ki](i=1,2,…,m)中魯棒絕對穩(wěn)定.推論1若存在正定矩陣P,以及m階實對角陣α>0,β≥0和n階實對角陣μ>0,以及正數(shù)λ1,λ2,使得[-ΡA-AΤΡ-μ-ΡA1-ΡB-CΤα-ΡB1ΡΜΝΤ10VΤ1-AΤ1Ρμ000ΝΤ200-BΤΡ-αC0L(α,β)00ΝΤ4UαVΤ2/2-BΤ1Ρ00β0ΝΤ500ΜΤΡ000λ1000Ν1Ν2Ν4Ν50λ-110000αUΤ000λ20V10V2/20000λ-12]＞0成立,其中L(α,β)=12(Κ-1-D)Τα+12α(Κ-1-D)-β,則系統(tǒng){˙x(t)=?Ax(t)+?G1x(t-τ)+?Bf(σ(t))+?B1f(σ(t-τ))˙σ(t)=?Cx(t)+?Df(σ(t))對任意時滯τi≥0,在角域[0,ki](i=1,2,…,m)中魯棒絕對穩(wěn)定.5為0.27.3考慮不確定系統(tǒng)(1)的魯棒絕對穩(wěn)定性,其中系統(tǒng)系數(shù)矩陣A=[-1010-1-100-1]?A1=[0.5000.10.6000.10.2]?B=B1=[0.60010.20.4]?G=0.2Ι3,C=[-100.200.5-1]?D=-Ι2且δ為不確定矩陣ΔA,ΔA1,ΔB,ΔB1,ΔG,ΔC,ΔD范數(shù)的公共上界,根據(jù)不確定描述(2)(3),選擇Κ=kΙ3?Μ=δΙ3?Ν1=Ν2=Ν3=Ι3,U=δΙ2,Ν4=Ν5=?V1=?V2=Ι2.當(dāng)δ=0.2時,k≤11.1035,LMI(14)有可行解,k≥11.1036,LMI(14)無可行解.且k=10.1035的可行解為Ρ=[9.91441.8996-4.88