專題2.4 函數與方程（解析版）【高考總復習】2024年高考數學滿分訓練必做題：基礎+提升2000題（新高考專用）

第第頁專題2.4函數與方程【436】．（2021·天津·高考真題·★★★★）設，函數，若在區(qū)間內恰有6個零點，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由最多有2個根，可得至少有4個根，分別討論當和時兩個函數零點個數情況，再結合考慮即可得出.【詳解】最多有2個根，所以至少有4個根，由可得，由可得，（1）時，當時，有4個零點，即；當，有5個零點，即；當，有6個零點，即；（2）當時，，，當時，，無零點；當時，，有1個零點；當時，令，則，此時有2個零點；所以若時，有1個零點.綜上，要使在區(qū)間內恰有6個零點，則應滿足或或，則可解得a的取值范圍是.【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵是分成和兩種情況分別討論兩個函數的零點個數情況.【437】．（2020·天津·高考真題·★★★★）已知函數若函數恰有4個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由，結合已知，將問題轉化為與有個不同交點，分三種情況，數形結合討論即可得到答案.【詳解】注意到，所以要使恰有4個零點，只需方程恰有3個實根即可，令，即與的圖象有個不同交點.因為，當時，此時，如圖1，與有個不同交點，不滿足題意；當時，如圖2，此時與恒有個不同交點，滿足題意；當時，如圖3，當與相切時，聯立方程得，令得，解得（負值舍去），所以.綜上，的取值范圍為.故選：D.

【點晴】本題主要考查函數與方程的應用，考查數形結合思想，轉化與化歸思想，是一道中檔題.【438】．（2019·全國·高考真題·★★）函數在的零點個數為A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】令，得或，再根據x的取值范圍可求得零點.【詳解】由，得或，，．在的零點個數是3，故選B．【點睛】本題考查在一定范圍內的函數的零點個數，滲透了直觀想象和數學運算素養(yǎng)．采取特殊值法，利用數形結合和方程思想解題．【439】．（2019·浙江·高考真題·★★★★）已知，函數，若函數恰有三個零點，則A． B．C． D．【答案】C【解析】當時，最多一個零點；當時，，利用導數研究函數的單調性，根據單調性畫函數草圖，根據草圖可得．【詳解】當時，，得；最多一個零點；當時，，，當，即時，，在，上遞增，最多一個零點．不合題意；當，即時，令得，，函數遞增，令得，，函數遞減；函數最多有2個零點；根據題意函數恰有3個零點函數在上有一個零點，在，上有2個零點，如圖：且，解得，，．故選．【點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及兩個參數，故按“一元化”想法，逐步分類討論，這一過程中有可能分類不全面、不徹底.【450】．（2014·重慶·高考真題·★★★★）已知函數內有且僅有兩個不同的零點，則實數的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】【詳解】試題分析：令，分別作出與的圖像如下，由圖像知是過定點的一條直線，當直線繞著定點轉動時，與圖像產生不同的交點.當與相切時，設切點為，由，則切線方程為，則，解得，此時當直線在軸和直線及切線和直線之間時，與圖像產生兩個交點，此時或故答案選.考點：1.函數零點的應用；2.數形結合思想的應用.【451】．（2013·安徽·高考真題·★★★）已知函數有兩個極值點，若，則關于的方程的不同實根個數為A．3 B．4C．5 D．6【答案】A【解析】【詳解】試題分析：求導得，顯然是方程的二不等實根，不妨設，于是關于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的解就是或，根據題意畫圖：所以有兩個不等實根，只有一個不等實根，故答案選A.考點：導數、零點、函數的圖象【452】．（2011·全國·高考真題·★★★）在下列區(qū)間中，函數的零點所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先判斷函數在上單調遞增，由,利用零點存在定理可得結果.【詳解】因為函數在上連續(xù)單調遞增，且,所以函數的零點在區(qū)間內，故選C.【點睛】本題主要考查零點存在定理的應用，屬于簡單題.應用零點存在定理解題時，要注意兩點：（1）函數是否為單調函數；（2）函數是否連續(xù).【453】．（2017·天津·高考真題·★★★★）已知函數．設，若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【解析】【詳解】滿足題意時的圖象恒不在函數下方，當時，函數圖象如圖所示，排除C,D選項；當時，函數圖象如圖所示，排除B選項，本題選擇A選項.【454】．（2015·天津·高考真題·★★★）已知函數,函數,則函數的零點的個數為A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【詳解】當時,所以,,此時函數的小于零的零點為;當時,,函數無零點;當時,,,函數大于2的零點為,綜上可得函數的零點的個數為2.故選A.考點：本題主要考查分段函數、函數零點及學生分析問題解決問題的能力.【455】．（2013·重慶·高考真題·★★★）若，則函數的兩個零點分別位于區(qū)間A．和內 B．和內C．和內 D．和內【答案】A【解析】【詳解】試題分析：，所以有零點，排除B，D選項.當時，恒成立，沒有零點，排除C，故選A.另外，也可知內有零點.考點：零點與二分法.【思路點晴】如果函數在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有·，那么，函數在區(qū)間內有零點，即存在使得，這個也就是方程的根.注意以下幾點：①滿足條件的零點可能不唯一；②不滿足條件時，也可能有零點.③由函數在閉區(qū)間上有零點不一定能推出·，如圖所示.所以·是在閉區(qū)間上有零點的充分不必要條件.【456】．（2015·湖南·高考真題·★★★）若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是_____.【答案】【解析】【詳解】函數有兩個零點，和的圖象有兩個交點，畫出和的圖象，如圖，要有兩個交點，那么【457】．（2018·全國·高考真題·★★★）函數在的零點個數為________．【答案】【解析】【分析】求出的范圍，再由函數值為零，得到的取值可得零點個數．【詳解】詳解：由題可知，或解得,或故有3個零點．【點睛】本題主要考查三角函數的性質和函數的零點，屬于基礎題．【458】．（2011·北京·高考真題·★★★★）已知函數，若關于的方程有兩個不同的實根，則實數的取值范圍是．【答案】（0,1）【解析】【分析】【詳解】試題分析：函數的圖象如下圖所示：由圖可得：當k∈（0，1）時，y=f（x）與y=k的圖象有兩個交點，即方程f（x）=k有兩個不同的實根考點：1．函數圖像及性質；2．方程與函數的轉化【459】．（2022·江西·二?！ぁ铩铩铩铮┮阎?，若且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】設，可知，求得，，，可得出，構造函數，利用導數求出函數在上的值域，即為所求.【詳解】設，作出函數和的圖象如下圖所示：由圖象可知，當時，函數和的圖象有三個交點，且，由已知可得，所以，，，，所以，，令，其中，則，令，可得，列表如下：減極小值增所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，則，因為，，故，所以，函數在上的值域為，因此，的取值范圍是.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：解本題的關鍵在于通過設，將、、用含的代數式加以表示，再將所求代數式的取值范圍轉化為關于的函數值域問題，結合導數法求解.【460】．（2022·安徽·模擬預測·★★★★）已知函數，若有4個零點，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】在同一坐標系中作出的圖象，根據有4個零點求解.【詳解】解：令，得，在同一坐標系中作出的圖象，如圖所示：由圖象知：若有4個零點，則實數a的取值范圍是，故選：A【461】．（2022·黑龍江大慶·三?！ぁ铩铩铩铮┮阎x域為R的偶函數滿足，當時，，則方程在區(qū)間上所有解的和為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【解析】【分析】令，由已知可得函數與的圖象在區(qū)間上關于直線對稱，利用對稱性即可求解.【詳解】解：因為函數滿足，所以函數的圖象關于直線對稱，又函數為偶函數，所以，所以函數是周期為2的函數，又的圖象也關于直線對稱，作出函數與在區(qū)間上的圖象，如圖所示：由圖可知，函數與的圖象在區(qū)間上有8個交點，且關于直線對稱，所以方程在區(qū)間上所有解的和為，故選：A.【462】．（2022·江西·上高二中模擬預測·★★★★）已知函數與的圖像上存在關于軸對稱的點，則實數的取值范圍為_________【答案】【解析】【分析】先求出關于軸對稱的函數，則將問題轉化為在上有解，利用參數分離法進行轉化，轉化為直線與的圖象有交點，然后利用導數求出的極值和單調區(qū)間可求得結果【詳解】的定義域為，則關于軸對稱的函數為，則條件等價為在上有解，得，令，則，當時，，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，，因為當時，，所以當時，直線與的圖象有交點，即在上有解，所以實數的取值范圍為，故答案為：【點睛】關鍵點點睛：此題考查函數與方程的綜合應用，考查導數的應用，解題的關鍵是將問題轉化為在上有解，然后利用參數分離法進行轉化求解，考查數學轉化思想，屬于較難題【463】．（2022·陜西·西安中學一?！ぁ铩铩铮┖瘮档乃辛泓c之和為_________.【答案】【解析】【分析】令，得到其函數圖象關于直線的對稱，在同一坐標系內作出兩函數的圖象，結合圖象得到兩函數有6個公共點，且兩兩關于直線的對稱，進而求得，即可得到答案.【詳解】由，可得，令，可得函數與的圖象都關于直線的對稱，在同一坐標系內作出函數與的圖象，如圖所示，由圖象可得，函數與的圖象有6個公共點，其橫坐標依次為，這6個點兩兩關于直線的對稱，所以，所以，即函數的所有零點之和為.故答案為：.【464】．（2022·浙江嘉興·模擬預測·★★★★）已知函數，若方程有4個不同的實數解，則實數a的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】方程有4個不同的實數解，則方程有4個不同的實數解，即直線與曲線有4個公共點，利用數形結合處理．【詳解】由題知：方程有4個不同的實數解，即有4個不同的實數解．作出圖像（如圖所示），即直線與曲線有4個公共點．易知：．故答案為：．【465】．（2022·青?！ず|市第一中學模擬預測·★★★★）若函數有三個不同的零點，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】令得，利用導數研究的圖像，由函數有三個零點可知，若令，則可知方程的一根必在內，另一根或或上，分類討論即可求解.【詳解】由得，令，由，得，因此函數在上單調遞增，在上單調遞減，且，當時，，則的圖像如圖所示：即函數的最大值為，令，則，由二次函數的圖像可知，二次方程的一根必在內，另一根或或上，當時，，則另一根，不滿足題意，當時，a＝0，則另一根，不滿足題意，當時，由二次函數的圖像可知，解得，則實數的取值范圍是，故選：D.【466】．（2022·山東煙臺·三?！ぁ铩铩铮┮阎瘮?，若方程有且僅有三個實數解，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】作出函數的圖象，利用導數的幾何意義求出對應的切線方程以及斜率，利用數形結合進行求解即可．【詳解】解：作出函數的圖象如圖：依題意方程有且僅有三個實數解，即與有且僅有三個交點，因為必過，且，若時，方程不可能有三個實數解，則必有，當直線與在時相切時，設切點坐標為，則，即，則切線方程為，即，切線方程為，且，則，所以，即當時與在上有且僅有一個交點，要使方程有且僅有三個的實數解，則當時與有兩個交點，設直線與切于點，此時，則，即，所以，故選：B【467】．（2022·河南·模擬預測·★★★）已知函數至多有2個不同的零點，則實數a的最大值為（

）．A．0 B．1 C．2 D．e【答案】C【解析】【分析】先將零點問題轉化為兩函數交點問題，構造函數，研究其單調性，極值，畫出函數圖象，從而得到或，再次構造關于的函數，研究其單調性，解出不等式，求出數a的最大值.【詳解】令，得到，函數至多有2個不同的零點，等價于至多有兩個不同的根，即函數與至多有2個不同的交點令，則，當時，，單調遞增，當或時，，單調遞減，所以與為函數的極值點，且，且在R上恒成立，畫出的圖象如下：有圖可知：或時，符合題意，其中，解得：設，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，由可得：，所以，綜上：實數a的最大值為2故選：C【點睛】對于函數零點問題，直接求解無法求解時，可以轉化為兩函數的交點問題，數形結合進行解決.【468】．（2022·全國·模擬預測·★★★★）已知函數方程的不等實根個數不可能是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．6個【答案】D【解析】【分析】畫出函數圖象，令，則，則或，分類討論與圖象的交點個數，即可求出答案.【詳解】因為，根據題意作出的圖象.函數在單調遞減；在上單調遞減，在上單調遞增；在上單調遞減.圖象如下：對于方程，令，則，則或.當時，與的圖象有2個交點；當時，因為，與的圖象可以有0、1、2個交點.所以方程的不等實根個數可以是2、3、4個.故選：D.【469】．（2022·廣東·深圳科學高中高一期中·★★★★）已知函數，若方程有六個相異實根，則實數的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】畫出的圖像.要使方程有六個相異實根即使在上有兩個相異實根;再由一元二次函數根的分布列出不等式組，即可求出答案.【詳解】的圖像如圖所示：則要使方程有六個相異實根即使在上有兩個相異實根;則解得：.故選：D.【點睛】本題考查函數的零點.屬于難題.本類題型常常需要數形結合列出不等式組.【470】．（2022·浙江·慈溪中學高三階段練習·★★★）已知，函數若關于的方程恰有兩個互異的實數解，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據分段函數的意義將方程恰有兩個互異的實數解，轉化為各段上根的個數問題分類推理討論求解.【詳解】因為關于x的方程恰有兩個互異的實數解，則有：有兩個不同的實根，且無實根，或與各有一個實根，或無實根，且有兩個不同的實根，當時，，函數為增函數，則函數在上最多一個零點，有兩個不同的實根不成立，當函數在上有一個零點時，必有，即，此時，，因此，當時，函數在上確有一個零點，方程必有一個實根，當，時，，設函數，而函數對稱軸，即在上單調遞減，又，即在上必有一個零點，因此，方程必有一個實根，于是得當時，與各有一個實根，若方程無實根，必有，此時方程有兩個不同的實根，函數在上有兩個零點，當且僅當，解得，于是得當時，有兩個不同的實根，且無實根，綜上得：當或時，方程恰有兩個互異的實數解，所以實數a的取值范圍是.故選：C.【點睛】思路點睛：涉及分段函數零點個數求參數范圍問題，可以按各段零點個數和等于總的零點個數分類分段討論解決.【471】．（2022·全國·高三專題練習·★★★★）已知函數，則函數的零點個數為（

）A．3 B．4 C．2 D．1【答案】A【解析】【分析】令，令，得出，求出關于的方程的根或，然后再考查直線或與函數的圖象的交點個數，即可得出答案．【詳解】令，令，則,當時，則，所以，，當時，，則，作出函數的圖象如下圖所示，直線與函數的圖象只有1個交點，線，與函數的圖象只有2個交點，因此，函數只有3個零點，故選：．【472】．（2022·天津·二模·★★★★）已知且，函數在上是單調函數，若關于的方程恰有2個互異的實數解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據題意分析，且可得只能是減函數，再結合分段函數的單調性可得，再畫圖分析與的圖象恰有2個交點時滿足的不等式求解即可【詳解】先分析函數，且易得，因為，可得圖象：因為函數在上是單調函數，故只能是減函數，且，即.故當時，，結合可得.故，又關于的方程恰有2個互異的實數解，即與的圖象恰有2個交點，畫出圖象：可得，解得.綜上有故選：A【473】．（2022·天津濱海新·模擬預測·★★★★）已知，函數若關于x的方程恰有兩個互異的實數解，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．