三維merrand曲線的性質(zhì)

三維merrand曲線的性質(zhì)

由于e31是一個3dmink室，其內(nèi)部積被定義為。?,?=-dx21+dx22+dx23[JX*4]?[JX-*4]對于E31中的非零向量α,若〈α,α〉>0,則稱α為類空向量;若〈α,α〉=0,則稱α為類光向量;若〈α,α〉<0,則稱α為類時向量·特別地,規(guī)定零向量為類空向量·在E31空間中,當曲線的Frenet標架含有類光向量時,標架是由兩個類光向量和一個類空向量組成的偽正交標架·本文主要討論偽正交標架下Bertrand曲線的性質(zhì)·1偽正交標架曲線的fenet標架的性質(zhì)定義1若兩條曲線的點之間建立一一對應,使對應點處曲線的主法線重合,稱它們?yōu)锽ertrand曲線,每一條稱為另一條的侶線·設r(s):I→E31是E31中的一條曲線,令α表示曲線的切向量,這樣便可以引入曲線的主法向量β和副法向量γ·{α,β,γ}構成了E31中曲線的Frenet標架·引理1在E31空間中,當曲線的Frenet標架含有類光向量時,標架{α,β,γ}是由兩個類光向量和一個類空向量組成的偽正交標架·曲線的Frenet標架有下面3種情況:標架Ⅰ:α為類光向量,β為類光向量,γ為類空向量;標架Ⅱ:α為類光向量,β為類空向量,γ為類光向量;標架Ⅲ:α為類空向量,β為類光向量,γ為類光向量·對應的Frenet公式分別為˙α=kγ,˙β=τγ,˙γ=-τα-kβ;}(1)˙α=kβ,˙β=-τα-kγ,˙γ=τβ;}(2)˙α=-kγ-τβ,˙β=kα,˙γ=τα[JX*4]?[JX-*4]}(3)其中:k(s),τ(s)分別為曲線的曲率和撓率,s為弧長參數(shù)·引理2在E31空間中不考慮類光向量,且只考慮非直線的情況,曲線的Frenet標架{α,β,γ}是由兩個類空向量和一個類時向量組成的正交標架·曲線的Frenet標架有下面3種情況:標架Ⅳ:α為類空向量,β為類空向量,γ為類時向量;標架Ⅴ:α為類空向量,β為類時向量,γ為類空向量;標架Ⅵ:α為類時向量,β為類空向量,γ為類空向量·對應的Frenet公式分別為α˙=kβ,β˙=-kα+τγ,γ˙=τβ;}(4)α˙=kβ,β˙=kα+τγ,γ˙=τβ;}(5)α˙=kβ,β˙=kα+τγ,γ˙=-τβ[JX*4]?[JX-*4]}(6)其中:k(s),τ(s)分別為曲線的曲率和撓率,s為弧長參數(shù)·2偽正交標架的性質(zhì)設Γ:r=r(s)是E13空間中的任意一條Bertrand曲線,Γ1:r1=r1(s1)是與其對應的Bertrand侶線,{α,β,γ},{α1,β1,γ1}分別為曲線Γ和Γ1的Frenet標架,即切向量、主法向量和副法向量·下面分別討論3種偽正交標架下的Bertrand曲線的性質(zhì)·2.1標架與所對應的茗線的關系當Bertrand曲線的Frenet標架為引理1中的標架Ⅰ時,與其對應的侶線有以下兩種情況:①α1為類光向量,β1為類光向量,γ1為類空向量;②α1為類空向量,β1為類光向量,γ1為類光向量·2.1.1bertrand曲線的擬合定理1標架Ⅰ下,當Bertrand曲線的侶線為①時,原曲線及其侶線的曲率與撓率均相等,且撓率為零·(證明略)在歐氏空間中有Bertrand曲線對對應點之間的距離為定值的結論,而在Minkowski空間的標架Ⅰ下,當Bertrand曲線的侶線為①時有如下結論:定理2標架Ⅰ下,當Bertrand曲線的侶線為①時,Bertrand曲線對對應點之間的距離為弧長的線性函數(shù)·(證明略)2.1.2第二種婚姻線的情況定理3標架Ⅰ下,不存在侶線為②的Bertrand曲線對·(證明略)2.2應的茗線的情況當Bertrand曲線的Frenet標架為Ⅱ時,與其對應的侶線有以下3種情況:①α1為類光向量,β1為類空向量,γ1為類光向量;②α1為類空向量,β1為類空向量,γ1為類時向量;③α1為類時向量,β1為類空向量,γ1為類空向量·2.2.1bertrand茗線定理4標架Ⅱ下,當Bertrand曲線的侶線為①時,Bertrand曲線對的曲率成反比·(證明略)在歐氏空間中,具有常曲率的曲線是Bertrand曲線,而在Minkowski空間的標架Ⅱ下,當Bertrand曲線的侶線為①時有如下結論:定理5標架Ⅱ下,當Bertrand曲線的侶線為①時,若一條撓曲線有常撓率,則它是一條Bertrand曲線·證明定義一條新曲線Γ1:r1(s1)=r(s)+λβ(s)[JX*4]?[JX-*4]其中:λ為非零常數(shù),因為撓率為非零常數(shù),不妨取λ=1τ(τ≠0),此時曲線Γ1為r1(s1)=r(s)+1τβ(s)[JX*4]?[JX-*4](7)對式(7)兩端關于弧長s求導,得α1ds1ds=α+1τ(-τα-kγ)=-kτγ,(8)在式(8)兩端關于弧長s求導,得k1β1(ds1ds)2+α1d2s1ds2=-k˙τγ-kτγ˙=-k˙τγ-kβ,(9)在式(9)兩端與β作內(nèi)積,有k1?β1,β?(ds1ds)2+?α1,β?d2s1ds2=-k˙τ?γ,β?-k?β,β?,(10)在式(8)兩端與β作內(nèi)積,有?α1,β?ds1ds=-kτ?γ,β?=0[JX*4]?[JX-*4]因為ds1ds≠0,所以〈α1,β〉=0·又因為〈β,β〉=1,于是式(10)化簡為k1?β1,β?(ds1ds)2=-k[JX*4]?[JX-*4](11)同理,在式(9)兩端與β1作內(nèi)積,有k1?β1,β1?(ds1ds)2+?α1,β1?d2s1ds2=-k˙τ?γ,β1?-k?β,β1?,(12)在式(8)兩端與β1作內(nèi)積,有?α1,β1?ds1ds=-kτ?γ,β1?0=-kτ?γ,β1?[JX*4]?[JX-*4]因為k≠0,所以〈γ,β1〉=0·又因為〈β1,β1〉=1,于是式(12)化簡為k1(ds1ds)2=-k?β,β1?[JX*4]?[JX-*4](13)將式(11)與式(13)相比較,有?β1,β?=1?β,β1?,即〈β1,β〉=±1·因為β1,β都是類空的單位向量,所以β1=±β·這說明定義的新曲線Γ1與原曲線Γ的主法線重合,Γ1就是它的Bertrand侶線·2.2.2bertrand曲線的曲線定理6標架Ⅱ下,當Bertrand曲線的侶線為②和③時,Bertrand曲線對的曲率滿足關系式:k1=ε1+2uk2λuk(λ,u為非零常數(shù))·(證明略)2.3類光、類空向量當Bertrand曲線的Frenet標架為Ⅲ時,與其對應的侶線有以下兩種情況:①α1為類光向量,β1為類光向量,γ1為類空向量;②α1為類空向量,β1為類光向量,γ1為類光向量·2.3.1第一次婚姻定理7標架Ⅲ下,當Bertrand曲線的侶線為①時,Bertrand曲線具有非零常曲率·(證明略)2.3.2第二種婚姻線的情況定理8標架Ⅲ下,當Bertrand曲線的侶線為②時,Bertrand曲線對的切向量也重合·(證明略)3其它類型曲線的討論本文在三維Minkowski空間中系