2021年中考數(shù)學壓軸題講次06 直角三角形的存在性問題（教師版）

專題06直角三角形的存在性問題

在考慮&48c是否為直角三角形時，很顯然需要討論三種情況：①乙4=90。；②

ZB=90°；③NC=90。.在大多數(shù)問題中，其中某兩種情況會較為簡單，剩下一種則是考

察重點，需要用到勾股定理、相似/全等等知識才能求得.

模塊一：以函數(shù)為背景的直角三角形問題

1、知識內(nèi)容：

在以函數(shù)為背景的此類壓軸題中，坐標軸作為一個“天然”的直角存在，在解題時經(jīng)常

會用到，作出垂直于坐標軸的直線來構(gòu)造直角。另外，較困難的情況則需要用到全等/相似

或者勾股定理的計算來確定直角三角形.

2、解題思路：

(1)按三個角分別可能是直角的情況進行討論；

(2)計算出相應的邊長等信息；

(3)根據(jù)邊長與已知點的坐標，計算出相應的點的坐標.

、典例剖析,

例1.(2020普陀區(qū)一模)在平面直角坐標系xOy中(如圖12),已知拋物

(8、

線y=ax2+。+-x+c(a工0)經(jīng)過點A(-3,-2),與y軸交于點

\3)

3(0,—2),,拋物線的頂點為點C,對稱軸與1軸交于點。.

圖12

(1)求拋物線的表達式及點C的坐標；

(2)點E是x軸正半軸上的一點，如果乙4磯＞=48。，求點E的坐標；

(3)在(2)的條件下，點尸是位于y軸左側(cè)拋物線上的一點，如果△P4E是以AE為直

角邊的直角三角形，求點P的坐標.

【滿分解答】

4cr3

2、

y=—x+4x-2,C——,-5

⑴3I2J

3

-

2

-

(2)tanZBCD3—,則tanNAED=—

22

過A作A"_LOE,tanZAED=-=——=-,

EHEH2

則E"=4,E(1,O)

【總結(jié)】利用相等角的正切值相等解決問題

(3)①當NEAP=90°時，XkHEsLp,

,MPAH1.4,

則——=——=一，i&PM=t,則nAM=2f

AMHE2

4

將尸(r一3,-2—2/)代入丁=§￡+4尤一2

3

一

一2-

???*（，-5

、PNEG1

②當ZAEP=90°時，AAEGSAPEN,則=二一

ENAG2

設PN=f,則EN=2f

4

將尸（1一人2，）代入y=-x2+4x-2

13+^29,13-7129

角力—―4―，2~—(舍),

.D（9+^/i2913+^/i29

"22

9+7129

綜上所述：片(一|，一5)，P2~13+

4

aa

例2.如圖，拋物線y=-z、+3與x軸交于4、6兩點(點4在點6的左側(cè))，與y軸

交于點C.

(1)求點力、8的坐標；

(2)若直線/過點6(4,0),"為直線/上的動點，當以人反M為頂點所作的直角三角

形有且只有三個時，求直線/的解析式.

【答案】(1)爾6的坐標分別為(-4,0),(2,0)；

(2)直線?/解析式為y=-°x+3或y='-3.

44

【解析】⑴解方程-士V-±x+3=O,

84

可得：48的坐標分別為(-4,0),(2,0)；

(2)設中點為〃，〃點為(—1,0),

以〃為圓心，49為半徑作圓，

若/與y軸平行，則找不到3個M點，使A4W為直角三角形.

1不與y軸平行.

.,.必定存在2個M點，使NA=90°或NB=90°.

要滿足“以4、氏材為頂點所作的直角三角形有且只有三個”，

即直線1與圓〃相切，設切點為M,過赫作，赫肛x軸于H,

DE=5,DMlt=AD=3,

912

:.DH=—,

5°5

412

的坐標為

5,T

，直線/解析式為y=-3工+3或y=。工-3.

44

【總結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)背景下的直角三角形的存在性問題，注意認真分析題目中的

條件，從而求出正確的結(jié)果.

例3.在平面直角坐標平面內(nèi)，。為原點，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖像經(jīng)過點4(-1,0)

和點6(0,3),頂點為2

(1)求二次函數(shù)解析式及點尸的坐標；

(2)如果點0是x軸上一點，以點4只0為頂點的三角形是直角三角形，求點0的坐標.

【答案】(1)解析式：y=-x2+2x+3,頂點(1,4)；

(2)點。的坐標是(1,0)或(9,0).

f—1—Z?+c=O

【解析】(1)由題意得，解得：b=2,c=3；

[c=3

二次函數(shù)解析式為、=一/+2》+3=-(*-1)2+4,

二點尸的坐標是(1,4):

(2)P(1,4),A(-1，0),AP2=20

設點0的坐標是(x,0),則PQ2=(X-1)2+16.

①當ZAQP=90。時，AQ1+PQ2=AP2,

(x+l)2+(x-l)2+16=20,

解得：X,=l,七=一1(不合題意，舍去)，

.?.點。的坐標是(1,0)；

②當NAPQ=90。時，A尸+尸。2=4。2,

2O+(X-1)2+16=(X+1)2,

解得：x=9,

.?.點。的坐標是(9,0).

③當NPAQ=90。時,不合題意.

綜上所述，所求點0的坐標是(1,0)或(9,0).

【總結(jié)】本題一方面考查二次函數(shù)的解析式及頂點坐標的確定，另一方面考查二次函數(shù)背景

下的直角三角形的存在性，注意利用勾股定理確定點的坐標.

模塊二：以幾何為背景的直角三角形問題

1、解題思路：

(1)按三個角分別可能是直角的情況進行討論；

(2)運用相似/全等、勾股定理等方法，計算出相應的邊長.

例4.(2020嘉定二模)如圖8,在△4笈中，ZC=9O°,Jj9=5cm,cosB=：.動點。從點力

出發(fā)沿著射線的方向以每秒1cm的速度移動，動點￡從點8出發(fā)沿著射線力的方向以每

秒2cm的速度移動.已知點〃和點￡同時出發(fā)，設它們運動的時間為t秒.聯(lián)結(jié)被

(1)當時，求tan乙鉆。的值；

(2)以4為圓心，4?為半徑畫。4：以點6為圓心、跖為半徑畫。區(qū)討論。力與的位置

關系，并寫出相對應的力的值.

(3)當△及應為直角三角形時，直接寫出tanNC8。的值.

c備用圖

【考查內(nèi)容】兩圓位置關系、銳角三角形比的應用、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形存在性

問題

【解析】（1）等腰三角形三線合一的性質(zhì)、等積法求高、銳角三角比的意義；（2）由內(nèi)切

和外切分別求出對應的t的值，再根據(jù)兩圓位置關系確定t的取值范圍：（3）按照直角進

行分類討論，由一線三等角求解非常方便。

【答案】（1）在AABC中，ZC=90°,AB=5cm,cosB=1

所以BC=4,AC=3

因為AD=AB=5

所以CD=5-3=2

在Rt^BCD中,BD2=BC2+CD2

所以BD=2V5

過點A作AHLBD,交BD于點H

因為AD=BD

所以BH=1BD=V5

由等積法，可得AH=2指

所以tanZABD=2.

（2）設圓A半徑為r=t,圓B半徑為R=2t,

?.?圓心距d=AB=5,

...由圓與圓位置關系，得

當0<t〈g時，外離；

當t=g時，外切；

當（<t<5時相交；

當t=5時,內(nèi)切;

當t>5時，內(nèi)含。

(3)當/BDE=90°時，

①當E在線段AB上時，解得1=交所以tanNCBD-Z

11.11

②當E在BA的延長線上時，解得t=5,所以tan/CBD=，

2

當/BED=90°時，t=—,所以tanNCBD=1

1326

當NEBD=90°時,t=y,所以tanNCBD=：

綜上，tan/CBD的值為2-1工,\

11,2263

具體評分標準

4

解：(1)方法1.在△胸中,NC=90°,心5cm,cosB=-,

5

ABC=ABcosZABC=4,AC=^AB2-BC2=^52-42=3...................1分

當AD=AB時，ZABD=ZD.：.CD=AD-AC=5-3=2.....................1+1分

A

在Rt△片切中，tanNZ)=d=±=2...........................................1分

CD2

tanZ.ABD=tanZD=2...................................................1,分

(2)①當兩圓外離時，由題意得5>3t,解得0<r<?；.......................1分

3

②當兩圓外切時，由題意得3片5,解得r=2；................................1分

3

③當兩圓相交時;由題意得t<5<3t,解得-<^<5；..........................1分

3

④當兩圓內(nèi)切時，由題意得2LQ5,解得￡=5；................................1分

⑤當兩圓內(nèi)含時，由題意得0W5",解得，>5.................................1分

757

(3)①當〃在線段然上，且/朋>90°時，r=—,tanZCBD=—；...........1分

1326

757

②當。在線段然上，且/例片90°,6=5（舍），t2=—,tanZCfiD=—；????1分

1111

③當。在線段4C的延長線上，且/加田90°時，/=5,tanZCfiD=-；...........1分

2

④當〃在線段/2的延長線上，且N應停90°時，r=—,tanZCBD=-..........1分

33

例5.如圖，在平面直角坐標系中，矩形如6c的兩邊以、OC分別在x軸、y軸的正半軸上,

而=4,%=2.點尸從點。出發(fā)，沿*軸以每秒1個單位長的速度向點4勻速運動，當點

P到達點/時停止運動，設點尸運動的時間是t秒.將線段b的中點繞點〃按順時針方向

旋轉(zhuǎn)90°得點4點〃隨點產(chǎn)的運動而運動，連接DP、DA.

（1）請用含廣的代數(shù)式表示出點〃的坐標；

（2）在點戶從。向/運動的過程中，AQR4能否成為直角三角形？若能，求￡的值.若

不能，請說明理由.

【答案】（1）〃點坐標為，+1,（2）t=2或3.

【解析】解：（1）取6P中點M,作..KV±OP于N,作DHV為于〃

可得，\MNP^\PHD.

,；MN=T,NP=L,，點坐標為&0),

二〃點坐標為(f+1,；);

(2)當NPD4=90。時，"HD^^DHA，

t

即J_=且，解得："2或"一6(舍).

HDAHt_3-t

2

CPco??

當NPAO=90。時，\COP^\PAD,,即*=』，：.PA=1,f=3

PDPA1PA

故當A?R4是直角三角形時，，=2或3.

【總結(jié)】本題一方面考查三角形的旋轉(zhuǎn)問題，另一方面考查相似三角形的性質(zhì)的運用，注意

利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進行求解.

例6.如圖，在&4BC中，CA=CB,AB=8,cosNA=±.點。是力6邊上的一個動點，點￡

5

與點力關于直線切對稱，聯(lián)結(jié)磔'、DE.

(1)求底邊力6上的高；

(2)設◎■與48交于點尸，當AACF為直角三角形時，求力〃的長；

(3)聯(lián)結(jié)當A4DE是直角三角形時，求相的長.

【答案】(1)3；(2)的長為25或295；(3)AD的長為1.

27

【解析】解：(1)過。作加力8于

U

：AC=BC,AB=8,:.AH二BH=4.

又???COS/4=3，:.AC=BC=3,677=3；

5

(2)分情況討論：

①當NAFC=90。時，尸與〃重合，：.EH=2.

33

VZE=ZA,ADH=-EH=-.

42

*'*AD=—：

2

②當ZACF=90°時，作〃歸_〃、于M,設CM=x,

?.*ZACD=ZECD=45°,:.CM=DM=x.

4441S

：.AM=-DM=-x,：.x+-x=5,解得：x=—.

3337

525

/.AD=—DM=—：

37

綜上：當A4C尸為直角三角形時，4〃的長為2或絲；

27

(3)?.??!〃=A4DE為直角三角形時，AD、鹿只可能是直角邊.

NAOE=90。.

，ZADC=ZEDC=135°.

NCDB=45°.

DH=CH=3.

：.AD^\.

【總結(jié)】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)以及判定直角三角形的存在性，解題時根據(jù)題意認

真分析，注意進行分類討論.

例7.如圖，已知&4BC為等邊三角形，16=6,點尸是46上的一個動點(與4、8不重合)，

過點。作的垂線與優(yōu)1交于點D,以點〃為正方形的一個頂點，在A48C內(nèi)作正方形DEFG,

其中4E在BC上,尸在〃■上.

(1)設9的長為x,正方形如&的邊長為外寫出y與x的函數(shù)關系式及定義域;

(2)當BP=2時，求。；'的長;

(3)AGOP是否可能成為直角三角形？若能，求出祀的長；若不能，請說明理由.

【答案】(1)了=(6-3卜+9-36(6-3赤4x<3)；(2)273-2；

(3)BP的長為3°-6"或者為6-3有.

【解析】(1)；AA8C為等邊三角形,

ZB=ZC=60°,AB=8C=AC=6；

VDP±AB,BP=x,：.BD=2xt

又：四邊形廢汽G是正方形，

Z.EFIBC,EF=DE=y,

..EC=—y；..2x+y+—y=6,

y=(有-3卜+9-3亦(6-3限x<3)；

2y

(2)當緲=2時,=(G-3)X2+9-3/=3-/，CF==273-2；

y耳

(3)AG。產(chǎn)能成為直角三角形.

①NPG￡>=90°時,如圖;

A

6-x="v+y,6-x=“+l升（/-3卜+9-3碼,

解得：x=30；”

②NGPO=90。時，如圖；

解得：x=6—3>/3.

...當AGO尸為直角三角形，

外的長為3°；："或者為6-3/.

【總結(jié)】本題綜合性較強，主要考查動點背景下的正方形與直角三角形的存在性，注意對相

關性質(zhì)的準確運用.

例8.如圖，在A48c中，ZC=90°,然=4cm,6c=5cm,點〃在比1上，并且切=3cm.現(xiàn)

有兩個動點。、0分別從點4、6同時出發(fā)，其中點P以lcm/s的速度，沿4c向終點。移動；

點。以1.25cm/s的速度沿外向終點C移動.過點尸作PE//BC交助于點E,聯(lián)結(jié)EQ.設

動點運動時間為x(s).

（1）用含X的代數(shù)式表示4?、龍的長度；

（2）當x為何值時，AE。。為直角三角形.

【答案】⑴AE=-x,DE=5--x;

44

(2)當x為2.5s或3.1s時，A￡￡>Q為直角三角形.

【解析】(1)在KrAAOC中，AC=4,CD=3,則/〃=5.

'：EP//DC,

：.MEPsAADC,

.AEAPAEx

,?----=,un|nJ=一,

ADAC54

AAE=-x,DE=5--x；

44

(2)分兩種情況討論：

①當NEQ￡)=90。時，如圖；

易得EQ=PC=4-x,又,：EQ"A3

\EDQsAADC,

.EQ_DQ|]|j4-x_1.25x-2

t，AC~DC，4~~

解得：%=2.5；

②當NQEO=90。時，如圖；

?.?NCDA=NEDQ,Z.QED=ZC=90°,

:.AEDQs\CDA,

.EQDQ?n5（4-x）_1.25x-2

CADA125

解得：x=3.1：

綜上所述：當x為2.5s或3.1s時，AE3Q為直角三角形.

【總結(jié)】本題主要考查動點背景下的相似三角形的綜合運用，注意得到相應的線段比，從而

求出相應的線段長，第（2）問中的直角三角形注意進行兩種情況的分類討論.

壓軸精練

1.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點/（一1,0）、6（4,0）、＜7（0,2）.點

。是點C關于原點的對稱點，聯(lián)結(jié)劭，點后是x軸上的一個動點，設點〃的坐標為（如，0）,

過點〃作x軸的垂線/交拋物線于點P.

（1）求這個二次函數(shù)的解析式;

（2）當點《在線段加上運動時，直線/交能于點。，當四邊形爾是平行四邊形時，求

m的值；

(3)是否存在點只使反立￥是不以切為斜邊的直角三角形，如果存在，請直接寫出點尸

的坐標；如果不存在，請說明理由.

1R

【答案】(1)y^--x2+-x+2；(2)必=2；

22

(3)(3)片(8,-18),6(-1,0),6(3,2).

【解析】解：(1)I.二次函數(shù)過點/、B,

設二次函數(shù)為y=a(x+l)(x-4).

將點。(0,2)代入，解得〃

2

1a

，二次函數(shù)解析式為：y=--x2+-x+2；

22

(2)〃點坐標為(0,-2).

???直線劭的解析式為：y=-x-2.

2

?二〃點坐標為(根,一；加2+1-W.+2^,0點坐標為「幾3〃2-2

■:CD=PQ,

.I3.1-

??——m2+—tn+2——機+2=4.

222

解得：加=2或/〃=0(舍),

故勿的值為2；

(3)耳(8,-18),月(一1,0),月(3,2).

(注：可設過6或〃的與劭垂直的直線，然后與二次函數(shù)聯(lián)立后解出)

【總結(jié)】本題綜合性較強，考查的內(nèi)容也比較多，包含了二次函數(shù)解析式的確定，還有就是

平行四邊形的存在性以及直角三角形的存在性的確定，注意利用相關性質(zhì)去確定點的坐標.

2.如圖，在aAABC中，NACB=90°,AB=13,如/力8,點￡為射線切上一動點(不

與點。重合)，聯(lián)結(jié)"交邊/于尸，/物￡的平分線交6c于點G.

(1)當您=3時，求力由：必納的值；

(2)設龍=x,AE=y,當CG=2"時，求y與x之間的函數(shù)關系式；

(3)當4C=5時，聯(lián)結(jié)旗，若AAEG為直角三角形，求用的長.

【解析】解：(1)CD//AB,3,AB=13,

.EFCE3

?SACEF_EF_3

S?CAF人尸13

(2)延長4G交CD于M.

.CMCGc

>?--------------2?

ABGB

：.CM=26.

CD//AB.

???ZEMA=ZA4AB=ZEAM，

：.AE=EM,

y=26—x.

(3),.?3EAGv90。，???分兩種情況討論.

①當乙AGE=90。時，可得力G=GM.

'：CD//AB,

：.BG=-BC=6-.

2

②當NAEG=90°時，可得A/ACF^AGEF,

XECFsXGAF,NECF=ZFAG.

又：N/^G=NGA8,NECF=4B,

ZB=NGAB,

GA=GB.

BGI

24

綜上所述，若AAEG為直角三角形，身的長為6或坨.

24

【總結(jié)】本題綜合性較強，考查的內(nèi)容也比較多，包含了面積的比值，函數(shù)解析式的確定以

及直角三角形的存在性的確定，注意在求解析式時，利用角平分線的性質(zhì)去確定解析式.

3.如圖，已知在平面直角坐標系中，點/的坐標為(-2,0),點6是點/關于原點的對稱

點，尸是函數(shù)(x>0)圖像上的一點，且A4BP是直角三角形，求點尸的坐標.

x

【答案】（（2,1）或（0,a）.

【解析】解：分情況討論，因為點〃在第一象限，所以NA不可能為90。.

①當NB=90。時，

工"點橫坐標為2,

；?〃點為（2,1）；

②當NP=90。時，連接。尸，：.OP=OA=2,

設P點為?！?，2],.?.蘇+（2]=22.

（m）\/77J

解得：m=>/2或m=—J2,

?.?點一在第一象限，"2=0,

綜上，一點的坐標可能為（2,1）或（及，及）.

【總結(jié)】本題主要考查直角三角形的存在性問題，由于本題中。點在第一象限，因此注意直

角三角形只有兩種情況.

4

4.如圖，在“8C中，AB=AC-10,cosB=D、￡為線段6c上的兩個動點，且龐=3

5

（￡在〃右邊），運動初始時〃和6重合，當￡和。