高考物理計(jì)算題專項(xiàng)突破專題21之02 追及與相遇問(wèn)題（原卷版）

專題02追及與相遇問(wèn)題一、有關(guān)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的基本公式：①速度公式：；（此公式也可以用來(lái)求加速度或者時(shí)間）②位移公式：；（注意：當(dāng)時(shí)，）③速度-位移公式：；（公式可以變形為：，從而用于求解加速度）二、勻變速直線運(yùn)動(dòng)的常用推論：①中間時(shí)刻瞬時(shí)速度公式：；②位移中點(diǎn)瞬時(shí)速度公式：；③兩個(gè)相鄰相等時(shí)間間隔內(nèi)的位移差：。（該推論可以用來(lái)判斷物體是否做勻變速直線運(yùn)動(dòng)）在解決追及問(wèn)題和相遇問(wèn)題時(shí)，首先要對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行分析，分別抽象出追及問(wèn)題或相遇問(wèn)題中的研究對(duì)象是勻速直線運(yùn)動(dòng)、勻加速直線運(yùn)動(dòng)還是勻減速直線運(yùn)動(dòng)，例如追及問(wèn)題中的追及者是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，被追及者是勻速直線運(yùn)動(dòng)。其次根據(jù)題意，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)示意圖，找出它們的臨界條件和位移關(guān)系，列出方程求解即可。一、追及問(wèn)題追和被追的兩物體的速度相等（同向運(yùn)動(dòng)）是能否追上及兩者距離有極值的臨界條件。

第一類：速度大者減速（如勻減速直線運(yùn)動(dòng)）追速度小者（如勻速運(yùn)動(dòng)）：

（1）當(dāng)兩者速度相等時(shí)，若追者位移仍小于被追者位移，則永遠(yuǎn)追不上，此時(shí)兩者間有最小距離。

（2）若兩者位移相等，且兩者速度相等時(shí)，則恰能追上，也是兩者避免碰撞的臨界條件。

（3）若兩者位移相等時(shí)，追者速度仍大于被追者的速度，則被追者還有一次追上追者的機(jī)會(huì)，其間速度相等時(shí)兩者間距離有一個(gè)最大值。

第二類：速度小者加速（如初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)）追速度大者（如勻速運(yùn)動(dòng)）：

（1）當(dāng)兩者速度相等時(shí)有最大距離。

（2）若兩者位移相等時(shí)，則追上。

二、相遇問(wèn)題（1）同向運(yùn)動(dòng)的兩物體追上即相遇。

（2）相向運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)各自發(fā)生的位移大小之和等于開(kāi)始時(shí)兩物體的距離時(shí)即相遇。三、解決追及和相遇問(wèn)題的一個(gè)條件、兩個(gè)關(guān)系1．分析問(wèn)題時(shí)，一定要注意抓住一個(gè)條件、兩個(gè)關(guān)系：一個(gè)條件是兩物體速度相等時(shí)滿足的臨界條件，如兩物體的距離是最大還是最小，是否恰好追上等。兩個(gè)關(guān)系是時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系，時(shí)間關(guān)系是指兩物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間是否相等，兩物體是同時(shí)運(yùn)動(dòng)還是一先一后等；位移關(guān)系是指兩物體同地運(yùn)動(dòng)還是一前一后運(yùn)動(dòng)等，其中通過(guò)畫(huà)運(yùn)動(dòng)示意圖找到兩物體間的位移關(guān)系是解題的突破口，因此在學(xué)習(xí)中一定要養(yǎng)成畫(huà)草圖分析問(wèn)題的良好習(xí)慣，這對(duì)幫助我們理解題意、啟迪思維大有裨益。

2．若被追趕的物體做勻減速運(yùn)動(dòng)，一定要注意，追上前該物體是否停止運(yùn)動(dòng)。

3．仔細(xì)審題，注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等，根據(jù)它們對(duì)應(yīng)的臨界狀態(tài)分析相應(yīng)的臨界條件。四、解決追及和相遇問(wèn)題的常用方法：1.臨界法：尋找問(wèn)題中隱含的臨界條件，例如速度小者加速追趕速度大者，在兩物體速度相等時(shí)有最大間距；速度大者減速追趕速度小者，在兩物體速度相等時(shí)有最小間距（速度相等前，兩物體未相遇）。2.圖像法：①用x-t圖像求解時(shí)，分別作出兩個(gè)物體的x-t圖線，如果兩個(gè)物體的x-t圖線相交，則說(shuō)明兩物體相遇。②用v-t圖像求解時(shí)，注意比較v-t圖線與坐標(biāo)軸所圍圖形的面積之差的絕對(duì)值與初始間距的大小關(guān)系。3.函數(shù)法：由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式可列出方程，利用函數(shù)法求解。4.轉(zhuǎn)換參考系法：一般情況下，選擇地面為參考系，但在一些特殊問(wèn)題中，可轉(zhuǎn)換參考系，尋找兩物體間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系。在追及問(wèn)題中，常把被追物體作為參考系。典例1：（2021·河北·高考真題）如圖，一滑雪道由和兩段滑道組成，其中段傾角為，段水平，段和段由一小段光滑圓弧連接，一個(gè)質(zhì)量為的背包在滑道頂端A處由靜止滑下，若后質(zhì)量為的滑雪者從頂端以的初速度、的加速度勻加速追趕，恰好在坡底光滑圓弧的水平處追上背包并立即將其拎起，背包與滑道的動(dòng)摩擦因數(shù)為，重力加速度取，，，忽略空氣阻力及拎包過(guò)程中滑雪者與背包的重心變化，求：（1）滑道段的長(zhǎng)度；（2）滑雪者拎起背包時(shí)這一瞬間的速度。典例2：（2022·四川·鹽亭中學(xué)模擬）龍門中學(xué)禁止學(xué)生騎電動(dòng)自行車上、放學(xué)，一學(xué)生違規(guī)駕駛電動(dòng)自行車在平直公路上行駛，速度為v1=36km/h。突然發(fā)現(xiàn)前方26m處?kù)o止停放著一輛交通事故車，馬上緊急剎車，并以2m/s2的恒定加速度減速行駛，分情況討論：（1）如果不考慮反應(yīng)時(shí)間，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，該違規(guī)駕駛電動(dòng)自行車學(xué)生是否會(huì)出現(xiàn)安全問(wèn)題？（2）如果考慮到該名學(xué)生看到交通事故時(shí)的反應(yīng)時(shí)間為0.2s，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，該違規(guī)駕駛電動(dòng)自行車學(xué)生是否會(huì)出現(xiàn)安全問(wèn)題？（3）交通事故車發(fā)現(xiàn)后方26m處的學(xué)生，馬上以速度v2=2m/s勻速駕駛離開(kāi)，兩車均不考慮反應(yīng)時(shí)間，求兩車相距最近的距離。典例3：（2022·福建南平·三模）某足球場(chǎng)長(zhǎng)、寬。在某中學(xué)舉辦的一次足球比賽中，攻方前鋒在中線處將靜止的足球沿邊線向前踢出，如圖所示，足球獲得的初速度并在地面上沿邊線做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為。足球質(zhì)量為。（1）求運(yùn)動(dòng)員踢球過(guò)程對(duì)足球做的功和足球停下時(shí)到底線的距離；（2）足球開(kāi)始做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，該隊(duì)員沿邊線向前追趕足球。追趕過(guò)程中該隊(duì)員先做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到后做勻速直線運(yùn)動(dòng)。若足球停下時(shí)該隊(duì)員剛好追上足球，求該隊(duì)員加速階段的加速度大小。典例4：（2022·廣東·華南師大附中模擬）如圖甲所示，A車原來(lái)臨時(shí)停在一水平路面上，B車在后面勻速向A車靠近，A車司機(jī)發(fā)現(xiàn)后啟動(dòng)A車，以A車司機(jī)發(fā)現(xiàn)B車為計(jì)時(shí)起點(diǎn)（t=0），A、B兩車的v-t圖像如圖乙所示。已知B車在第1s內(nèi)與A車的距離縮短了x1=12m。（1）求B車運(yùn)動(dòng)的速度vB和A車的加速度a的大小。（2）若A、B兩車不會(huì)相撞，則A車司機(jī)發(fā)現(xiàn)B車時(shí)（t=0）兩車的距離s0應(yīng)滿足什么條件？1．（2022·山西晉中·二模）我國(guó)技術(shù)和應(yīng)用居世界前列，無(wú)人駕駛汽車是利用先進(jìn)的5G技術(shù)制造的汽車。在不少大城市已經(jīng)使用無(wú)人駕駛公交車。無(wú)人駕駛汽車上配有主動(dòng)剎車系統(tǒng)，當(dāng)車速超過(guò)30km/h時(shí)，汽車主動(dòng)剎車系統(tǒng)會(huì)啟動(dòng)預(yù)判：車載電腦通過(guò)雷達(dá)采集數(shù)據(jù)在內(nèi)進(jìn)行分析預(yù)判，若預(yù)判汽車以原速度行駛后可能會(huì)發(fā)生事故，汽車會(huì)立即主動(dòng)剎車?，F(xiàn)有一無(wú)人駕駛汽車正以的速度勻速行駛，在它的正前方相距處有一大貨車正以的速度勻速行駛。若取重力加速度，問(wèn)：（1）預(yù)判結(jié)束時(shí)，兩車之間的距離。（2）若預(yù)判結(jié)束時(shí)，汽車立即開(kāi)始以的加速度剎車，同時(shí)大貨車開(kāi)始減速行駛，且剎車時(shí)大貨車所受阻力與車重的比值可k=0.32，則要使兩車不相撞，求汽車加速度的取值范圍。（計(jì)算出的數(shù)據(jù)請(qǐng)保留3位有效數(shù)字）2．（2022·江蘇·模擬）如圖所示，質(zhì)量均為m完全相同的兩個(gè)彈性環(huán)A，B用不可伸長(zhǎng)的、長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩連接，分別套在光滑水平細(xì)桿OM和足夠長(zhǎng)光滑豎直細(xì)桿ON上，桿OM與桿ON在O點(diǎn)用一小段圓弧平滑相連，A環(huán)通過(guò)O點(diǎn)時(shí)速率不變?，F(xiàn)將輕繩拉至水平位置伸直，B環(huán)位于O點(diǎn)，并同時(shí)由靜止釋放兩環(huán)。（1）若B環(huán)下降高度h（）時(shí)，B環(huán)加速度恰好為零，求此時(shí)繩中拉力大??；（2）求A環(huán)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)過(guò)程中，輕繩對(duì)A環(huán)拉力所做的功；（3）求A環(huán)和B環(huán)第一次碰撞前瞬間A、B兩環(huán)速度的大小。3．（2022·寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)模擬）如圖1所示，OB為接力賽跑道，AB為長(zhǎng)L=20m的接力區(qū)，兩名運(yùn)動(dòng)員未在接力區(qū)內(nèi)完成交接棒視為犯規(guī)。某次訓(xùn)練中，甲勻速跑至接力區(qū)前x0=15m處時(shí)，向乙發(fā)出起跑口令。乙聽(tīng)到口令從A處開(kāi)始起跑，當(dāng)加速到與甲速度相等時(shí)恰好被甲追上，完成交接棒。甲乙v-t圖像如圖2所示，忽略口令傳播與乙的反應(yīng)時(shí)間，求：（1）接棒前，乙的加速時(shí)間t和加速度a的大??；（2）通過(guò)計(jì)算推斷兩人交接棒過(guò)程是否犯規(guī)。4．（2022·內(nèi)蒙古·包鋼一中一模）如圖所示，逃犯在平直公路上到邊境線的距離L=2200m處搶得貨車后，驅(qū)車由靜止開(kāi)始沿公路向邊境勻加速逃竄，武警接到群眾舉報(bào)，乘坐停在路旁的警車（警車停在逃犯搶劫貨車處后方x0=183m的位置），在逃犯驅(qū)車逃竄t0=16s后，警車由靜止開(kāi)始勻加速追趕貨車。已知警車與貨車的加速度大小分別為a1=6m/s2、a2=5m/s2，所能達(dá)到的最大速度分別為vm1=42m/s、vm2=30m/s，兩車的速度達(dá)到最大后均做勻速直線運(yùn)動(dòng)。（1）求兩車的最大距離xm；（2）試通過(guò)計(jì)算判斷警車能否在境內(nèi)追上貨車。5．（2022·陜西西安·一模）4100米接力比賽是極具技巧性和觀賞性的比賽，運(yùn)動(dòng)員必須在20m的接力區(qū)內(nèi)完成交接棒，接力區(qū)在中心線前后各10m，如圖所示。某比賽小組中第三棒運(yùn)動(dòng)員甲勻速運(yùn)動(dòng)的最大速度為8m/s，第4棒的運(yùn)動(dòng)員乙最大速度為10m/s，運(yùn)動(dòng)員的起跑可視為勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為5m/s2，為取得最佳比賽成績(jī)，求：（1）甲運(yùn)動(dòng)員在距乙多遠(yuǎn)處時(shí)，乙開(kāi)始起跑；（2）乙運(yùn)動(dòng)員接棒后至到達(dá)終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。6．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)模擬）某動(dòng)車組列車總長(zhǎng)L=300m，由靜止出發(fā)后做加速度大小為a=0.5m/s2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，最大速度為vm=90m/s。列車出發(fā)時(shí)，在車頭前方x1=8700m處有一信號(hào)燈（信號(hào)燈寬度可忽略）。當(dāng)列車尾部通過(guò)信號(hào)燈時(shí)，司機(jī)接到通知：在信號(hào)燈前方x2=2490m處有一失去控制的工程車，其運(yùn)動(dòng)方向與列車相同，速度大小為v=30m/s。司機(jī)從接到通知到開(kāi)始剎車歷時(shí)t=1.5s，求：（1）求列車由靜止勻加速到最大速度所通過(guò)的位移的大小？（2）求列車從出發(fā)到尾部通過(guò)信號(hào)燈需要多長(zhǎng)時(shí)間？（3）若列車為避免與工程車相碰，則剎車加速度大小至少為多少？7．（2022·安徽·模擬）具有我國(guó)自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的“殲10”飛機(jī)的橫空出世，說(shuō)明了我國(guó)航空事業(yè)的飛速發(fā)展，而航空事業(yè)的發(fā)展又離不開(kāi)風(fēng)洞試驗(yàn)，其簡(jiǎn)化模型如圖a所示。在光滑的水平軌道上停放相距x0=8m的甲、乙兩車，其中乙車是風(fēng)力驅(qū)動(dòng)車。彈射裝置使甲車獲得v0=30m/s的瞬時(shí)速度，向乙車運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，乙車的風(fēng)洞開(kāi)始工作，將風(fēng)吹向固定在甲車上的擋風(fēng)板，從而使乙車獲得了速度，測(cè)繪裝置得到了甲、乙兩車的v﹣t圖象如圖b所示，設(shè)兩車始終未相撞。求：（1）甲、乙兩車的加速度大小之比；（2）兩車相距最近時(shí)的距離。8．（2021·河北·一模）國(guó)慶期間小明同學(xué)乘坐K5212次客運(yùn)列車從石家莊出發(fā)到北京觀看升旗儀式，某段時(shí)間該列車勻速行駛，其車輪在軌道間的接縫處會(huì)產(chǎn)生周期性的撞擊，小明用手機(jī)測(cè)得從第1次到第13次撞擊聲之間的時(shí)間間隔為10.0s。在相鄰的平行車道上有一列貨車共有45節(jié)，每節(jié)貨車車廂的長(zhǎng)度為15m，當(dāng)小明經(jīng)過(guò)貨車車尾時(shí)，貨車恰好從靜止開(kāi)始以恒定加速度沿列車行進(jìn)方向運(yùn)動(dòng)，小明在此后的20.0s內(nèi)，看到恰好有30節(jié)貨車車廂被他連續(xù)超過(guò)。已知每根鐵軌的長(zhǎng)度為25m，貨車車廂間距忽略不計(jì)。求：（1）列車運(yùn)行的速度大小和貨車運(yùn)行的加速度大小；（2）小明最多可以追上幾節(jié)貨車車廂。9．（2021·重慶市第三十七中學(xué)校模擬）如圖所示，甲、乙、丙三車沿一條直線公路上不同車道同向運(yùn)動(dòng)。當(dāng)甲車剛從收費(fèi)站開(kāi)出時(shí)（此時(shí)t=0），乙車距收費(fèi)站的距離x1=70m，丙車距收費(fèi)站的距離x2=60m，甲車的速度v0=0，乙車的速度v1=8m/s，丙車的速度v2=12m/s，此后，甲車做加速度a0=3m/s2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，乙車做勻速運(yùn)動(dòng)，丙車做加速度a2=2m/s2的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，求：（1）甲車追上丙車的時(shí)間；（2）丙車能否追上乙車，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由；（3）若某段時(shí)間甲乙丙行駛在同一單行直公路上，甲在最前，丙在最后，甲乙丙速度分別為、、，三車彼此時(shí)間的距離為5m。乙車司機(jī)發(fā)現(xiàn)甲車開(kāi)始以1m/s2的加速度勻減速時(shí)，立即剎車勻減速運(yùn)動(dòng)，丙車司機(jī)也立即剎車勻減速運(yùn)動(dòng)，若三車都停下來(lái)時(shí)均未