n-1維單形的體積記

n-1維單形的體積記

1.垂足單形體積在這項工作中，n維歐空間中的n維單形的初始位置為{a0、a1、……an}，而單株的頂端（n-1，…，n）的面積為vi（i.0，1，…，n），菲（fi）中唯一的維單形納米表面為n-1。單形iii的體積為v（），單形iv的高度為hi（i.0，1，…，n）。設(shè)M為單形∑內(nèi)任一點,過點M作超平面fi之垂線MA′i,垂足為A′i(i=0,1,…,n),以{A′0,A′1,…,A′n}為頂點集的單形∑M稱為點M關(guān)于單形∑的垂足單形,以V(∑M)表示單形∑M的體積,以{M,A0,…,Ai-1,Ai+1,…,An}為頂點集的單形∑i的體積記為V(∑i),以{M,A′0,…,A′i+1,…,A′n}為頂點集的單形∑′i的體積記為V(∑′i)(i=0,1,…,n)。在上述約定之下,本文獲得關(guān)于n維單形體積的下述一類幾何不等式:定理1設(shè)M為n維單形∑內(nèi)部任一點,ui(i=0,1,…,n)為任一組正數(shù),則有n∑i=0u0?ui-1ui+1?unV(∑′i)≤1nn[n∑i=0uiV(∑i)]n[V(∑)]1-n(1.1)等號成立當(dāng)且僅當(dāng)質(zhì)點組{Ai(1uirihi);i=0,1,…,n}的密集橢球為球,其中ri=|MA′i|為點M到超平面fi之距離(i=0,1,…,n)。特別,若在不等式(1.1)中取u0=u1=…=un,并注意到n∑i=0V(∑′i)=V(∑Μ)和n∑i=0V(∑i)=V(∑),便得到中關(guān)于垂足單形體積的一個不等式:推論1設(shè)n維單形∑的內(nèi)點M關(guān)于∑的垂足單形為∑M,則有V(∑Μ)≤1nnV(∑)(1.2)等號成立當(dāng)且僅當(dāng)質(zhì)點組{Ai(1rihi);i=0,1,…,n}的密集橢球為球。應(yīng)用定理1可得不等式(1.2)的另一形式的推廣。過n維單形∑內(nèi)部一點M作∑的側(cè)面fi之垂線MA′i,A′i為垂足,在射線MA′i上任取一點A″i,|MA″i|=r′i(i=0,1,…,n),以{A″0,A″1,…,A″n}為頂點集的單形∑*的體積為V(∑*),則有推論2V(∑*)≤1nn(n∑i=0r′ihi)nV(∑)(1.3)等號成立當(dāng)且僅當(dāng)質(zhì)點組{Ai(1r′ihi);i=0,1,…,n}的密集橢球為球。特別,當(dāng)A″i≡A′i,即r′i=ri(i=0,1,…,n)時,∑*即為垂足單形∑M,此時n∑i=0r′ihi=n∑i=0rihi=n∑i=0riVihiVi=1nV(∑)n∑i=0riVi=1,從而不等式(1.3)便退化為(1.2)。證設(shè)以{M,A″0,…,A″i-1,A″i+1,…,A″n}為頂點集的單形∑*i的體積為V(∑*i)(i=0,1,…,n),r′i=uiri(i=0,1,…,n),則由單形的體積公式可知V(∑*i)=u0…ui-1ui+1…unV(∑′i)(i=0,1,…,n),利用定理1和V(∑*)=n∑i=0V(∑*i),得V(∑*)=n∑i=0u0?ui-1ui+1?unV(∑′i)≤1nn[n∑i=0uiV(∑i)]n[V(∑)]1-n=1nn[n∑i=0r′iri?1nriVi]n[V(∑)]1-n=1nn[n∑i=0r′ihiV(∑)]n[V(∑)]1-n=1nn(n∑i=0r′ihi)nV(∑)?所以不等式(1.3)成立,易知(1.3)中等號成立的充分必要條件是質(zhì)點組{Ai(1r′ihi);i=0,1,…,n}的密集橢球為球。利用定理1我們可得關(guān)于單形體積的下面一個幾何不等式:推論3在上述記號之下,有n∑i=0V(∑i)?V(∑′i)≤1nn(n+1)[V(∑)]2(1.4)當(dāng)∑為正則單形且M為其內(nèi)心時等號成立。證在不等式(1.1)中令ui=1V(∑i)(i=0?1?n),得n∑i=0V(∑i)?V(∑′i)≤(n+1n)n[V(∑)]1-nn∏i=0V(∑j)(1.5)利用算術(shù)——幾何平均不等式和關(guān)系式n∑i=0V(∑j)=V(∑),得n∑i=0V(∑i)?V(∑′i)≤(n+1n)n[V(∑)]1-n(1n+1n∑j=0V(∑j))n+1=1nn(n+1)[V(∑)]2?所以不等式(1.4)成立,易于驗證當(dāng)∑為正則單形且M為其內(nèi)心時(1.4)中等號成立,具體過程略去。2.單形質(zhì)組ai設(shè)n維單形∑的側(cè)面fk的單位外法向量為ˉek(k=0?1????n),則單形∑的側(cè)面fk所對的項點角定義為:αk=arcsin[det(ˉei?ˉej)i?j≠k]12(k=0?1???n)(2.1)由此定義出發(fā),中建立了單形的正弦定理:引理1對n維單形∑,有Visinαi=(n-1)!n∏j=0Vj[nV(∑)]n-1(i=0?1???n)(2.2)引理2設(shè)σ={Ai)mi);i=0,1,…}(N≥n)為En中有限質(zhì)點組,σ中任意k+1個點Ai0,Ai1,…,Aik所生成的k維單形的k維體積為Vi0i1…ik,記Μk=∑∑?∑0≤i0＜i1＜?＜ik≤Νmi0mi1?mikV2i0i1?ik?Μ0=n∑i=0mi?則有Μlk≥[(n-l)!?(l!)3]k[(n-k)!(k!)3]l(n!?Μ0)l-kΜkl(1≤k＜l≤n)(2.3)等號成立當(dāng)且僅當(dāng)質(zhì)點組σ的密集橢球為球。定理1的證明:設(shè)ri=|MA′i|、ˉei為側(cè)面fi的單位外法向量,則由單形的體積公式和頂點角的定義有V(∑′i)=1n![det(rlˉel?rkˉek)l?k≠i]12=1n!(n∑j=0j≠irj)sinαi(i=0?1???n)?從而有n∑i=0u0?ui-1ui+1?unV(∑′i)=1n!n∑i=0(∏j=0j≠iujrj)sinαi(2.4)利用公式(2.2)和單形的體積公式nV(∑)=hiVi(i=0,1,…,n),得∑i=0nu0?ui-1ui+1?unV(∑′i)=1n!∑i=0n[(∏j=0j≠inujrj)(nV(∑))n(n-1)!∏j=0j≠inVj?1nV(∑)]=1(n!)2V(∑)∑i=0n(∏j=0j≠inujrjhj)?即(n!)2V(∑)∑i=0nu0?ui-1ui+1?unV(∑′i)=∑i=0n(∏j=0j≠inujrjhj)(2.5)現(xiàn)對單形∑的頂點集應(yīng)同引理2,并在不等(2.3)中取k=n-1,l=n,得[∑i=0n(∏j=0j≠inmj)Vi2]n≥n3n(n!)2(∑i=0nmi)(∏i=0nmi)n-1(V(∑))2(n-1)(2.6)在(2.6)中令mi=(uirihi)-1(i=0,1,…,n),得(∑i=0nuirihiVi2)n≥n3n(n!)2[∑i=0n(∏j=0j≠inujrjhj)]2(n-1),利用單形的體積公式riVi=nV(∑i),hiVi=nV(∑),得(V(∑))n[∑i=0nui