2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第9章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第3節(jié)成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 學(xué)案

第三節(jié)成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析考試要求：掌握散點(diǎn)圖、最小二乘法思想、回歸分析以及獨(dú)立性檢驗(yàn)．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．相關(guān)關(guān)系兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．2．散點(diǎn)圖將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中的對應(yīng)點(diǎn)畫出來，得到表示兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形，這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖．利用散點(diǎn)圖，可以判斷兩個(gè)變量是否相關(guān)，相關(guān)時(shí)是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)．3．正相關(guān)和負(fù)相關(guān)(1)正相關(guān)：如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān).(2)負(fù)相關(guān)：如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別與聯(lián)系(1)相同點(diǎn)：兩者均是指兩個(gè)變量的關(guān)系．(2)不同點(diǎn)：①函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系．②函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．4．線性相關(guān)和非線性相關(guān)(1)一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)．(2)一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．5．樣本相關(guān)系數(shù)r變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式如下：r＝(1)當(dāng)r>0時(shí)，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)r＝0時(shí)，稱成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系．(2)樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[－1，1]；當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.6．一元線性回歸模型我們稱Y=bx+a+e，Ee=0，De=σ2為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型，其中Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x7．線性回歸方程與最小二乘法回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心(x，y)，我們將y＝bx＋a稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線．這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的b，a叫做b，a的最小二乘估計(jì)，8．刻畫回歸效果的方式(1)殘差圖法：作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．若殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，則說明擬合效果越好．(2)殘差平方和法：殘差平方和

k(yi-yi)2，殘差平方和越小，模型擬合效果越好，殘差平方和越大，模型擬合效果越差．9．獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)臨界值χ2統(tǒng)計(jì)量也可以用來作相關(guān)性的度量，χ2越小說明變量之間越獨(dú)立，χ2越大說明變量之間越相關(guān)，χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d.忽略χ2的實(shí)際分布與該近似分布的誤差后，對于任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)xα，使得(2)基于概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；當(dāng)χ2＜xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立．這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡稱獨(dú)立性檢驗(yàn)．二、基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)1．判斷下列說法的正誤，對的畫“√”，錯(cuò)的畫“×”．(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系． (√)(2)通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程y＝bx＋a可以估計(jì)預(yù)報(bào)變量的取值和變化趨勢．(√)(3)經(jīng)驗(yàn)回歸方程y＝bx＋a中，若a<0，則變量x和y負(fù)相關(guān)． (×)(4)因?yàn)橛扇魏我唤M觀測值都可以求得一個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程，所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)． (×)2．(多選題)關(guān)于回歸分析，下列說法正確的是()A．在回歸分析中，變量間的關(guān)系若是非確定性關(guān)系，那么因變量不能由自變量唯一確定B．線性相關(guān)系數(shù)可以是正的也可以是負(fù)的C．在回歸分析中，如果r2＝1或r＝±1，說明x與y之間完全線性相關(guān)D．樣本相關(guān)系數(shù)r∈(－1，1)ABC解析：選項(xiàng)D中，樣本的相關(guān)系數(shù)應(yīng)滿足－1≤r≤1，故D錯(cuò)誤，ABC都正確．3．以下四幅散點(diǎn)圖所對應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)的大小關(guān)系是()A．r1＞r2＞r3＞r4 B．r4＞r3＞r2＞r1C．r1＞r3＞r4＞r2 D．r1＞r2＞r4＞r3C解析：由散點(diǎn)圖的特征可知，(1)(3)為正相關(guān)，(2)(4)為負(fù)相關(guān)，所以r1＞0，r3＞0，r2＜0，r4＜0.又(1)(2)中的散點(diǎn)更為集中，更接近于一條直線，故r1＞r3，r2＜r4，所以r2＜r4＜0＜r3＜r1.4．高二第二學(xué)期期中考試，按照甲、乙兩個(gè)班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀和及格統(tǒng)計(jì)人數(shù)后，得到如下列聯(lián)表：優(yōu)秀及格合計(jì)甲班113445乙班83745合計(jì)197190則隨機(jī)變量χ2的值約為()A．0.600 B．0.828C．2.712 D．6.004A解析：根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得χ2＝90×5．若變量y與x的非線性回歸方程是y＝2x－1，則當(dāng)y的值為2時(shí)，x的估計(jì)值為________．94解析：由2x－1＝2，得x＝94，即x的估計(jì)值為考點(diǎn)1相關(guān)關(guān)系的判斷——基礎(chǔ)性1．有以下五組變量：①某商品的銷售價(jià)格與銷售量；②學(xué)生的學(xué)籍號與學(xué)生的數(shù)學(xué)成績；③堅(jiān)持每天吃早餐的人數(shù)與患胃病的人數(shù)；④氣溫與冷飲銷售量；⑤電瓶車的重量和行駛每千米的耗電量．其中兩個(gè)變量成正相關(guān)的是()A．①③ B．②④C．②⑤ D．④⑤D解析：對于①，一般情況下，某商品的銷售價(jià)格與銷售量成負(fù)相關(guān)關(guān)系；對于②，學(xué)生的學(xué)籍號與學(xué)生的數(shù)學(xué)成績沒有相關(guān)關(guān)系；對于③，一般情況下，堅(jiān)持每天吃早餐的人數(shù)與患胃病的人數(shù)成負(fù)相關(guān)關(guān)系；對于④，一般情況下，氣溫與冷飲銷售量成正相關(guān)關(guān)系；對于⑤，一般情況下，電瓶車的重量和行駛每千米的耗電量成正相關(guān)關(guān)系．綜上所述，其中兩個(gè)變量成正相關(guān)的序號是④⑤.2．兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系有①正相關(guān)、②負(fù)相關(guān)、③不相關(guān)，則下列散點(diǎn)圖從左到右分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系是()A．①②③ B．②③①C．②①③ D．①③②D解析：對于(1)，圖中的點(diǎn)成帶狀分布，且從左到右上升，是正相關(guān)關(guān)系；對于(2)，圖中的點(diǎn)沒有明顯的帶狀分布，是不相關(guān)的；對于(3)，圖中的點(diǎn)成帶狀分布，且從左到右是下降的，是負(fù)相關(guān)關(guān)系．忽視散點(diǎn)圖的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)導(dǎo)致錯(cuò)誤(1)兩個(gè)變量具有正相關(guān)關(guān)系時(shí)，其散點(diǎn)圖是從左下方到右上方的直線附近；(2)兩個(gè)變量具有負(fù)相關(guān)關(guān)系時(shí)，其散點(diǎn)圖是左上方到右下方的直線附近．考點(diǎn)2一元線性回歸模型及其應(yīng)用——基礎(chǔ)性考向1線性回歸分析維尼綸纖維的耐熱水性能的好壞可以用指標(biāo)“縮醛化度”y來衡量，這個(gè)指標(biāo)越高，耐熱水性能也越好．而甲醛濃度是影響縮醛化度y(克分子%)的重要因素，在生產(chǎn)中常用甲醛濃度x(g/L)去控制這一指標(biāo)，為此必須找出它們之間的關(guān)系．現(xiàn)安排一批實(shí)驗(yàn)，獲得如下數(shù)據(jù)：甲醛濃度x(g/L)18202224262830縮醛化度y(克分子%)26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36(1)畫散點(diǎn)圖，并判斷成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)；(2)求樣本相關(guān)系數(shù)r(精確到0.01)，并通過樣本相關(guān)系數(shù)判斷甲醛濃度與縮醛化度的相關(guān)程度和變化趨勢的異同．解：(1)畫出散點(diǎn)圖如圖所示．由散點(diǎn)圖可以看出，成對數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出相關(guān)關(guān)系．(2)x＝1687＝24，y＝i=1＝4900.16，i=1＝4144，i=1≈4900.16-7由此推斷，甲醛濃度與縮醛化度正線性相關(guān)，即甲醛濃度與縮醛化度有相同的變化趨勢，且相關(guān)程度很強(qiáng)．解這類問題先畫出散點(diǎn)圖，利用散點(diǎn)圖觀察兩個(gè)變量之間的關(guān)系，若兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系，再利用樣本相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行進(jìn)一步的判斷.考向2非線性回歸分析紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，其產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)．現(xiàn)收集到一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y(個(gè))和溫度x(℃)的8組觀測數(shù)據(jù)，制成圖1所示的散點(diǎn)圖．現(xiàn)用兩種模型①y＝a·bx(a＞0，b＞0)，②y＝cx2＋d分別進(jìn)行擬合，由此得到相應(yīng)的非線性回歸方程并進(jìn)行殘差分析，進(jìn)一步得到圖2所示的殘差圖．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：xzti=1i=1252.89646168422688i=1(xi－x)i=1(ti－t)48.4870308表中zi＝lnyi；z＝1i=1ti＝xi2；ti=1(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？請說明理由．(2)根據(jù)(1)中所選擇的模型，求出y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程(計(jì)算過程中四舍五入保留兩位小數(shù))，并求溫度為35℃時(shí)，產(chǎn)卵數(shù)y的預(yù)報(bào)值．參考數(shù)據(jù)：e5.61≈273，e5.70≈299，e5.79≈327.解：(1)應(yīng)該選擇模型①.理由：模型①殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型②帶狀寬度窄，所以模型①的擬合精度更高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度相應(yīng)就會越高．故選模型①比較合適．(2)由(1)知，選用模型①，y＝a·bx，將兩邊取對數(shù)，得lny＝(lnb)x＋lna.令z＝lny，z與溫度x可以用經(jīng)驗(yàn)回歸方程來擬合，＝48.48168≈0.29，lna＝z-xln于是有l(wèi)ny＝0.29x－4.36，所以產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于溫度x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝e0.29x-4.36.當(dāng)x＝35時(shí)，y＝e0.29×35-4.36＝e5.79≈327(個(gè))，所以，在氣溫在35℃時(shí)，一個(gè)紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)的預(yù)報(bào)值為327個(gè)．非線性回歸分析的解題步驟某種昆蟲的日產(chǎn)卵數(shù)和時(shí)間變化有關(guān)，現(xiàn)收集了該昆蟲第1天到第5天的日產(chǎn)卵數(shù)據(jù)：第x天12345日產(chǎn)卵數(shù)y(個(gè))612254995對數(shù)據(jù)初步處理后得到了如圖所示的散點(diǎn)圖和表中的統(tǒng)計(jì)量的值．i=1i=1i=1i=1155515.9454.75(1)根據(jù)散點(diǎn)圖，利用計(jì)算機(jī)模擬出該種昆蟲日產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝ea＋bx(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，求實(shí)數(shù)a，b的值(精確到0.1)．(2)根據(jù)某項(xiàng)指標(biāo)測定，若日產(chǎn)卵數(shù)在區(qū)間(e6，e8)上的時(shí)段為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)卵期．利用(1)的結(jié)論，估計(jì)在第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)卵期的概率．解：(1)因?yàn)閥＝ea＋bx，兩邊取自然對數(shù)，得lny＝a＋bx.令m＝x，n＝lny，得n＝a＋bm.因?yàn)閎＝54.75-5×所以b≈0.7.因?yàn)閍＝n－bm＝15.94所以a≈1.1，即a≈1.1，b≈0.7.(2)根據(jù)(1)得y＝e1.1+0.7x.由e6＜e1.1+0.7x＜e8，得7＜x＜697所以在第6天到第10天中，第8，9天為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)卵期．從第6天到第10天中任取2天的所有可能結(jié)果有(6，7)，(6，8)，(6，9)，(6，10)，(7，8)，(7，9)，(7，10)，(8，9)，(8，10)，(9，10)，共10種．其中恰有1天為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)卵期的有(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，(8，10)，(9，10)，共6種．設(shè)從第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)卵期的事件為A，則P(A)＝610＝3所以從第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)卵期的概率為35考點(diǎn)3殘差分析——應(yīng)用性近年來，中國電影市場蓬勃發(fā)展，連創(chuàng)票房奇跡，各地陸續(xù)新增了許多影院．某市新開業(yè)的一家影院借助舒適的環(huán)境和較好的觀影體驗(yàn)吸引越來越多的人前來觀影，該影院的相關(guān)負(fù)責(zé)人統(tǒng)計(jì)了剛開業(yè)7天內(nèi)每一天前來觀影的人次，用x表示影院開業(yè)的天數(shù)，y表示每天前來觀影的人次．(1)該影院的相關(guān)負(fù)責(zé)人分別用兩種模型①y＝a＋bx，②y＝c·dx(c，d為大于零的常數(shù))進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖．根據(jù)殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測該影院開業(yè)第8天前來觀影的人次．參考數(shù)據(jù)：xyi=1i=141354704140(3)根據(jù)(1)選擇的模型按照某項(xiàng)指標(biāo)測定，當(dāng)殘差e∈-1解：(1)應(yīng)該選擇模型①.(2)因?yàn)閥＝a＋bx，i=1＝4704，x＝4，i=1＝140，x2把樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn)(4，135)代入y＝a＋bx，得a＝3，所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝3＋33x，把x＝8代入上式得y＝3＋33×8＝267，故該影院開業(yè)第8天前來觀影的人次為267.(3)從殘差圖易知，7天中有5天為“觀影正常日”，記這5天為1，2，3，4，5，2天“非觀影正常日”為a，b，所以從7天中選出3天的種數(shù)分三類：①(1，2，a)，(1，2，b)，(1，3，a)，(1，3，b)，…，(4，5，a)，(4，5，b)，共(4＋3＋2＋1)×2＝20種；②(1，2，3)，(1，2，4)，…，(3，4，5)，共10種；③(a，b，1)，(a，b，2)…，(a，b，5)，共5種，故總種數(shù)為35種，含“非觀影正常日”的種數(shù)為25種，所以這3天中含“非觀影正常日”的概率為p＝2535＝5利用R2刻畫回歸效果：R2＝1－R2越大，模型擬合效果越好，R2越小，模型擬合效果越差．新型冠狀病毒感染疫情發(fā)生以來，在世界各地逐漸蔓延．在全國人民的共同努力和各級部門的嚴(yán)格管控下，我國的疫情已經(jīng)得到了很好的控制．然而，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，每個(gè)國家在疫情發(fā)生的初期，由于認(rèn)識不足和措施不到位，感染人數(shù)都會出現(xiàn)快速的增長．如表是小王同學(xué)記錄的某國連續(xù)8天每日新型冠狀病毒感染確診的累計(jì)人數(shù)．日期代碼x12345678累計(jì)確診人數(shù)y481631517197122為了分析該國累計(jì)感染人數(shù)的變化趨勢，小王同學(xué)分別用兩種模型：①y＝bx2＋a，②y＝dx＋c對變量x和y的關(guān)系進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程并進(jìn)行殘差分析，殘差圖如下(注：殘差ei＝y(tǒng)i－yi經(jīng)過計(jì)算得：i=1(yi－y)＝728，i=1＝42，i=1(yi－y)＝6868，i=1＝3570，其中zi＝xi2，zi=1(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，應(yīng)該選擇哪個(gè)模型？請簡要說明理由．(2)根據(jù)(1)問選定的模型求出相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(系數(shù)均保留兩位小數(shù))．(3)由于時(shí)差，該國截至第9天新型冠狀病毒感染確診的累計(jì)人數(shù)尚未公布．小王同學(xué)認(rèn)為，如果防疫形勢沒有得到明顯改善，在數(shù)據(jù)公布之前可以根據(jù)他在第(2)問求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程來對感染人數(shù)做出預(yù)測，那么估計(jì)該地區(qū)第9天新型冠狀病毒感染確診的累計(jì)人數(shù)是多少？解：(1)選擇模型①，理由如下：根據(jù)殘差圖可以看出，模型①的估計(jì)值和真實(shí)值相對比較接近，模型②的殘差相對比較大，所以模型①的擬合效果相對較好．(2)由(1)可知y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝bx2＋a.令z＝x2，則y＝bz＋a，由所給的數(shù)據(jù)可得z＝18y＝18則a＝y(tǒng)－bz所以y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝1.92x2＋1.04.(3)將x＝9代入非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程，可得y＝1.92×92＋1.04＝156.56≈157(人)，所以預(yù)測該地區(qū)第9天新型冠狀病毒感染確診的累計(jì)人數(shù)約為157人．考點(diǎn)4列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)——綜合性某省進(jìn)行高中新課程改革已經(jīng)四年了，為了解教師對新課程教學(xué)模式的使用情況，某一教育機(jī)構(gòu)對某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進(jìn)行了問卷調(diào)查．共調(diào)查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人．老教師對新課程教學(xué)模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對新課程教學(xué)模式贊同的有24人，不贊同的有6人．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表．(2)依據(jù)小概率值α＝0.001，能否認(rèn)為青年教師和老教師在新課程教學(xué)模式的使用上態(tài)度有差異？解：(1)2×2列聯(lián)表如下所示．類別贊同不贊同合計(jì)老教師101020青年教師24630合計(jì)341650(2)零假設(shè)為H0：青年教師和老教師在新課程教學(xué)模式的使用上態(tài)度沒有差異．由公式得χ2＝50×10×6-24×10220×30列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)綜合問題的求解方法及注意點(diǎn)(1)利用χ2＝nad-bc2a+b(2)解題時(shí)應(yīng)注意準(zhǔn)確計(jì)算，不可錯(cuò)用公式，準(zhǔn)確進(jìn)行比較與判斷．(2022·鄭州期末)某電視臺在周末晚間推出一檔新的綜藝節(jié)目，為了了解節(jié)目效果，一次節(jié)目結(jié)束后，隨機(jī)抽取了500名觀眾(其中男性300名)對節(jié)目評分(百分制)，將這300名男性觀眾的評分分組：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)若把評分低于70分定為“不滿意”，評分不低于70分定為“滿意”．若從女性觀眾的評分中隨機(jī)抽取一份，“不滿意”的概率為0.3，完成下面的2×2列聯(lián)表．(2)根據(jù)(1)中表格的數(shù)據(jù)，依據(jù)α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為對該綜藝節(jié)目是否滿意與性別有關(guān)？類別男性觀眾女性觀眾合計(jì)滿意不滿意合計(jì)解：(1)因?yàn)閺呐杂^眾的評分中隨機(jī)抽取一份，“不滿意”的概率為0.3，所以女性觀眾不滿意的人數(shù)為0.3×200＝60，則女性觀眾滿意的人數(shù)為200－60＝140.由頻率分布直方圖可知，男性觀眾不滿意的人數(shù)為300×(0.015＋0.025)×10＝120，則男性觀眾滿意的人數(shù)為300－120＝180，故列聯(lián)表如下：類別男性觀眾女性觀眾合計(jì)滿意180140320不滿意12060180合計(jì)300200500(2)零假設(shè)為H0：對該綜藝節(jié)目是否滿意與性別無關(guān)．由(1)中表格中的數(shù)據(jù)可得，χ2＝500×180×60-140根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為對該綜藝節(jié)目是否滿意與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.課時(shí)質(zhì)量評價(jià)(五十五)A組全考點(diǎn)鞏固練1．(多選題)在下列各圖中，兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系的圖是()ABCDBC解析：A中各點(diǎn)都在一條直線上，所以這兩個(gè)變量之間是函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系；B，C所示的散點(diǎn)圖中，樣本點(diǎn)成帶狀分布，這兩組變量具有線性相關(guān)關(guān)系；D所示的散點(diǎn)圖中，樣本點(diǎn)成團(tuán)狀分別，不是帶狀分布，所以這兩個(gè)變量不具線性相關(guān)關(guān)系．綜上，具有線性相關(guān)關(guān)系的是B和C．2．色差和色度是衡量毛絨玩具質(zhì)量優(yōu)劣的重要指標(biāo)，現(xiàn)抽檢一批產(chǎn)品測得如下數(shù)據(jù)：色差x212325272931色度y151617212223已知該產(chǎn)品的色差和色度之間滿足線性相關(guān)關(guān)系，且y＝0.25x＋b，現(xiàn)有一對測量數(shù)據(jù)為(32，21.25)，則該組數(shù)據(jù)的殘差(測量值與預(yù)測值的差)為()A．0.65 B．0.75C．－0.75 D．0.95B解析：樣本中心點(diǎn)坐標(biāo)為(26，19)，代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程得b＝12.5.所以y＝0.25x＋12.5，將x＝32代入，求解得到對應(yīng)的預(yù)估值為20.5，因而其殘差為21.25－20.5＝0.75.故選B．3．對兩個(gè)變量x，y進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)r1＝0.7859，對兩個(gè)變量u，v進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)r2＝－0.9568，則下列判斷正確的是()A．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)B．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)C．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)C解析：由線性相關(guān)系數(shù)r1＝0.7859＞0知x與y正相關(guān)；由線性相關(guān)系數(shù)r2＝－0.9568＜0知u，v負(fù)相關(guān)．又|r1|＜|r2|，所以變量u與v的線性相關(guān)性比x與y的線性相關(guān)性強(qiáng)．4．為了檢測某種新藥的效果，現(xiàn)隨機(jī)抽取100只小白鼠進(jìn)行試驗(yàn)，得到如下2×2列聯(lián)表：未治愈治愈合計(jì)服用藥物104050未服用藥物203050合計(jì)3070100則下列說法一定正確的是()附：χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d(其中n＝臨界值表：α0.150.100.050.0250.0100.0050.001xα2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為“小白鼠是否被治愈與是否服用新藥有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為“小白鼠是否被治愈與是否服用新藥無關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為“小白鼠是否被治愈與是否服用新藥有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為“小白鼠是否被治愈與是否服用新藥無關(guān)”A解析：由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算χ2＝100×300-5．設(shè)兩個(gè)相關(guān)變量x和y分別滿足xi＝i，yi＝2i-1，i＝1，2，…，6.若相關(guān)變量x和y可擬合為非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程y＝2bx＋a，則當(dāng)x＝7時(shí)，y的估計(jì)值為()A．32 B．63C．64 D．128C解析：令zi＝log2yi＝i－1，則z＝bx＋a，x＝16(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5，z＝1a＝z－b·x＝2.5－1×3.5＝－1，所以z＝x－1，即y＝2x-1，所以當(dāng)x＝7時(shí)，y＝27-1＝64.6．在研究某高中高三年級學(xué)生的性別與是否喜歡某學(xué)科的關(guān)系時(shí)，總共調(diào)查了N個(gè)學(xué)生(N＝100m，m∈N*)，其中男女學(xué)生各半，男生中60%表示喜歡該學(xué)科，其余表示不喜歡；女生中40%表示喜歡該學(xué)科，其余表示不喜歡．若在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為性別與是否喜歡該學(xué)科有關(guān)，則可以推測N的最小值為()附：χ2＝nadα0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828A．400 B．300C．200 D．100B解析：設(shè)男、女學(xué)生的人數(shù)分別為50m，50m，建立2×2列聯(lián)表如下：喜歡課程不喜歡課程合計(jì)男生30m20m50m女生20m30m50m合計(jì)50m50m100m由表中的數(shù)據(jù)，χ2＝100m×30m×由題意可得，4m＞10.828，解得m＞2.707，又m∈N*，所以m＝3，N＝300.故選B．7．下列說法：①分類變量A與B的隨機(jī)變量χ2越大，說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大；②以模型y＝cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)z＝lny，將其變換后得到線性方程z＝0.3x＋4，則c，k的值分別是e4和0.3；③在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高；④若變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，且變量y與z正相關(guān)，則x與z也正相關(guān)，正確的個(gè)數(shù)是________．3解析：對于①，根據(jù)獨(dú)立性原理知，分類變量A與B的隨機(jī)變量χ2越大，說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大，所以①正確；對于②，根據(jù)線性回歸模型和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知，以模型y＝cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)z＝lny，將其變換后得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程z＝0.3x＋4，則c，k的值分別是e4和0.3，所以②正確；對于③，利用殘差分析模型擬合效果時(shí)，在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高，所以③正確；對于④，若變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，且變量y與z正相關(guān)，則x與z是負(fù)相關(guān)，所以④錯(cuò)誤．綜上，正確命題的序號是①②③，共3個(gè)．8．某醫(yī)療研究所為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出零假設(shè)H0：“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計(jì)算得χ2≈3.918，經(jīng)查對臨界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05.則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是________．①在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”；②若某人未使用該血清，則他在一年中有95%的可能性得感冒；③這種血清預(yù)防感冒的有效率為95%；④有95%的把握認(rèn)為這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用．①解析：因?yàn)棣?≈3.918>3.841，所以對于①，在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”，故①正確；對于②，若某人未使用該血清，不能說“他在一年中有95%的可能性得感冒”，故②錯(cuò)誤；對于③，這種血清有95%的可能性預(yù)防感冒，不是有效率為95%，故③錯(cuò)誤；對于④，有95%的把握認(rèn)為這種血清能起到預(yù)防感冒的作用，故④錯(cuò)誤．9．為了調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生是否喜歡踢足球，用簡單隨機(jī)抽樣的方法從該地區(qū)調(diào)查了500名學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下：項(xiàng)目男女合計(jì)喜歡踢足球40y70不喜歡踢足球x270z合計(jì)500(1)求x，y，z的值；(2)依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該地區(qū)的中學(xué)生是否喜歡踢足球與性別有關(guān)？解：(1)由列聯(lián)表可得，y＝70－40＝30，z＝500－70＝430，所以x＝430－270＝160.(2)零假設(shè)為H0：該地區(qū)的中學(xué)生是否喜歡踢足球與性別無關(guān)．由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，χ2＝500×40×270根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為該地區(qū)的中學(xué)生是否喜歡踢足球與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.10．(2022·中衛(wèi)一模)醫(yī)學(xué)中判斷男生的體重是否超標(biāo)有一種簡易方法，就是用一個(gè)人身高的厘米數(shù)減去105所得差值即為該人的標(biāo)準(zhǔn)體重．比如身高175cm的人，其標(biāo)準(zhǔn)體重為175－105＝70kg，一個(gè)人實(shí)際體重超過了標(biāo)準(zhǔn)體重，我們就說該人體重超標(biāo)了．已知某班共有30名男生，從這30名男生中隨機(jī)選取6名，其身高和體重的數(shù)據(jù)如表所示：編號123456身高x(cm)165171160173178167體重y(kg)606362707158(1)從這6人中任選2人，求恰有1人體重超標(biāo)的概率；(2)依據(jù)上述表格信息，用最小二乘法求出了體重y對身高x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程：y＝0.65x＋a，但在用經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)報(bào)其他同學(xué)的體重時(shí)，預(yù)報(bào)值與實(shí)際值吻合不好，需要對上述數(shù)據(jù)進(jìn)行殘差分析，按經(jīng)驗(yàn)，對殘差在區(qū)間[－3.5，3.5]之外的同學(xué)要重新采集數(shù)據(jù)．上述隨機(jī)抽取的編號為3，4，5，6的四人中，有哪幾位同學(xué)要重新采集數(shù)據(jù)？參考公式：殘差ei＝y(tǒng)i－bxi－a．解：(1)由圖表可知，編號1的標(biāo)準(zhǔn)體重為165－105＝60；編號2的標(biāo)準(zhǔn)體重為171－105＝66；編號3的標(biāo)準(zhǔn)體重為160－105＝55；編號4的標(biāo)準(zhǔn)體重為173－105＝68；編號5的標(biāo)準(zhǔn)體重為178－105＝73；編號6的標(biāo)準(zhǔn)體重為167－105＝62.故編號3，4兩人體重超標(biāo)，故從6人中任取兩人有C62＝15種取法，恰有一人體重超標(biāo)共有故p＝815(2)x＝16y＝16因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸直線必過樣本中心(169，64)，所以64＝0.65×169＋a，解得a＝－45.85，則y＝0.65x－45.85.殘差分析：e3＝62－0.65×160＋45.85＝3.85；e4＝70－0.65×173＋45.85＝3.4；e5＝71－0.65×178＋45.85＝1.15；e6＝58－0.65×167＋45.85＝－4.7.故3號、6號需要重新采集數(shù)據(jù)．B組新高考培優(yōu)練11．針對當(dāng)下的“讀書熱”，某大學(xué)對“學(xué)生性別和喜歡讀書是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了40名男生和50名女生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下的2×2列聯(lián)表：喜歡不喜歡合計(jì)男a19女38b合計(jì)則a－b＝()A．9 B．10C．11 D．12A解析：a＝40－19＝21，b＝50－38＝12，所以a－b＝9.故選A．12．為了研究某校男生的腳長x(單位：cm)和身高y(單位：cm)的關(guān)系，從該校隨機(jī)抽取20名男生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系．設(shè)y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝bx＋a．已知i=1i=1＝3240，b＝4，該校某男生的腳長為25.5cm，據(jù)此估計(jì)其身高為()A．164cm B．168cmC．172cm D．176cmC解析：x＝46020＝23，y＝324020＝162，所以162＝4×23＋a，解得所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝4x＋70，當(dāng)x＝25.5時(shí)，y＝172.故選C．13．福建省采用“3＋1＋2”新高考模式，其中“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)和外語；“1”為考生在物理和歷史中選擇一門；“2”為考生在思想政治、地理、化學(xué)和生物四門中再選擇兩門．某中學(xué)調(diào)查了高一年級學(xué)生的選科傾向，隨機(jī)抽取200人，其中選考物理的120人，選考?xì)v史的80人，統(tǒng)計(jì)各選科人數(shù)如表：選擇科目選考類別思想政治地理化學(xué)生物物理類35509065歷史類50453035則下列說法正確的是()附：χ2＝nadα0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828A．物理類的學(xué)生中選擇地理的比例比歷史類的學(xué)生中選擇地理的比例高B．物理類的學(xué)生中選擇生物的比例比歷史類的學(xué)的中選擇生物的比例低C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為選擇生物與選考類別有關(guān)D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下不能認(rèn)為選擇生物與選考類別有關(guān)D解析：由表中的數(shù)據(jù)可得，物理類中選擇地理的比例為50120＝512＝2048，歷史類中選擇地理的比例為4580＝916＝27物理類中選擇生物的比例為65120＝1324＝2648，歷史類中選擇生物的比例為3580＝因?yàn)?648>21由表中的數(shù)據(jù)可知，物理類中選生物和不選生物的人數(shù)分別是65，55，合計(jì)120人，歷史類中選生物和不選生物的人數(shù)分別是35，45，合計(jì)80人，200人中選生物和不選生物的人數(shù)均是100，故χ2＝a+b+c+dad-bc因?yàn)?.083＜3.841，故