分解因式知識點(diǎn)總結(jié)及例題

第二章分解因式一.分解因式1.把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式.2.因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系。因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系:(1)整式乘法是把幾個整式相乘,化為一個多項式;(2)因式分解是把一個多項式化為幾個因式相乘.二.提公共因式法1.如果一個多項式的各項含有公因式,那么就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.如:2.概念內(nèi)涵:(1)因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”;(2)公因式可能是單項式,也可能是多項式;(3)提公因式法的理論依據(jù)是乘法對加法的分配律,即:3.易錯點(diǎn)點(diǎn)評:(1)注意項的符號與冪指數(shù)是否搞錯;(2)公因式是否提“干凈”;(3)多項式中某一項恰為公因式,提出后,括號中這一項為+1,不漏掉.三.運(yùn)用公式法1.如果把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項式分解因式.這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法.2.主要公式:(1)平方差公式:(2)完全平方公式:補(bǔ)充：歐拉公式：特別地：（1）當(dāng)時，有（2）當(dāng)時，歐拉公式變?yōu)閮蓴?shù)立方和公式。3.因式分解要分解到底.如就沒有分解到底.4.運(yùn)用公式法:(1)平方差公式:①應(yīng)是二項式或視作二項式的多項式;②二項式的每項(不含符號)都是一個單項式(或多項式)的平方;③二項是異號.(2)完全平方公式:①應(yīng)是三項式;②其中兩項同號,且各為一整式的平方;③還有一項可正負(fù),且它是前兩項冪的底數(shù)乘積的2倍.5.因式分解的思路與解題步驟:(1)先看各項有沒有公因式,若有,則先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分組分解法,即通過分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來達(dá)到分解的目的;(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個整式的乘積,否則不是因式分解;(5)因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止.四.分組分解法:1.分組分解法:利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法.如:2.概念內(nèi)涵:分組分解法的關(guān)鍵是如何分組,要嘗試通過分組后是否有公因式可提,并且可繼續(xù)分解,分組后是否可利用公式法繼續(xù)分解因式.3.注意:分組時要注意符號的變化.五.十字相乘法:1.對于二次三項式,將a和c分別分解成兩個因數(shù)的乘積,,,且滿足,往往寫成的形式,將二次三項式進(jìn)行分解.如:2.二次三項式的分解:3.規(guī)律內(nèi)涵:(1)理解:把分解因式時,如果常數(shù)項q是正數(shù),那么把它分解成兩個同號因數(shù),它們的符號與一次項系數(shù)p的符號相同.(2)如果常數(shù)項q是負(fù)數(shù),那么把它分解成兩個異號因數(shù),其中絕對值較大的因數(shù)與一次項系數(shù)p的符號相同,對于分解的兩個因數(shù),還要看它們的和是不是等于一次項系數(shù)p.4.易錯點(diǎn)點(diǎn)評:(1)十字相乘法在對系數(shù)分解時易出錯;(2)分解的結(jié)果與原式不等,這時通常采用多項式乘法還原后檢驗分解的是否正確.提公因式法1.把下列各式因式分解（1）（2）2.利用提公因式法簡化計算過程例：計算3.在多項式恒等變形中的應(yīng)用例：不解方程組，求代數(shù)式的值。4.在代數(shù)證明題中的應(yīng)用例：證明：對于任意自然數(shù)n，一定是10的倍數(shù)。5、中考點(diǎn)撥：例1。因式分解例2．分解因式：題型展示：例1.計算：例2.已知：（b、c為整數(shù)）是及的公因式，求b、c的值。例3.設(shè)x為整數(shù)，試判斷是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，請說明理由?！緦崙?zhàn)模擬】1.分解因式：（1）（2）（n為正整數(shù)）（3）2.計算：的結(jié)果是（）A. B. C. D.3.已知x、y都是正整數(shù)，且，求x、y。4.證明：能被45整除。5.化簡：，且當(dāng)時，求原式的值。公式法【分類解析】1.把分解因式的結(jié)果是（）A. B.C. D.2.在簡便計算、求代數(shù)式的值、解方程、判斷多項式的整除等方面的應(yīng)用例：已知多項式有一個因式是，求的值。3.在幾何題中的應(yīng)用。例：已知是的三條邊，且滿足，試判斷的形狀。4.在代數(shù)證明題中應(yīng)用例：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)。5、中考點(diǎn)撥：例1：因式分解：________。例2：分解因式：_________。題型展示：例1.已知：，求的值。例2.已知，求證：例3.若，求的值?！緦崙?zhàn)模擬】1.分解因式：（1）（2）（3）2.已知：，求的值。3.若是三角形的三條邊，求證：4.已知：，求的值。5.已知是不全相等的實數(shù)，且，試求（1）的值；（2）的值。分組分解法【分類解析】1.在數(shù)學(xué)計算、化簡、證明題中的應(yīng)用例1.把多項式分解因式，所得的結(jié)果為（）例2.分解因式2.在幾何學(xué)中的應(yīng)用例：已知三條線段長分別為a、b、c，且滿足證明：以a、b、c為三邊能構(gòu)成三角形3.在方程中的應(yīng)用例：求方程的整數(shù)解4、中考點(diǎn)撥例1.分解因式：_____________。例2．分解因式：____________例3.分解因式：____________5、題型展示：例1.分解因式：例2.已知：，求ab+cd的值。例3.分解因式：【實戰(zhàn)模擬】1.填空題：2.已知：3.分解因式：4.已知：，試求A的表達(dá)式。5.證明：十字相乘法【分類解析】1.在方程、不等式中的應(yīng)用例1.已知：，求x的取值范圍。例2.如果能分解成兩個整數(shù)系數(shù)的二次因式的積，試求m的值，并把這個多項式分解因式。2.在幾何學(xué)中的應(yīng)用例.已知：長方形的長、寬為x、y，周長為16cm，且滿足，求長方形的面積。3、在代數(shù)證明題中的應(yīng)用例.證明：若是7的倍數(shù)，其中x，y都是整數(shù)，則是49的倍數(shù)。4、中考點(diǎn)撥例1.把分解因式的結(jié)果是________________。例2.因式分解：_______________5、題型展示例1.若能分解為兩個一次因式的積，則m的值為（）A.1 B.-1 C. D.2例2.已知：a、b、c為互不相等的