5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義（第2課時(shí)）-高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修二5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義

第二課時(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過(guò)實(shí)例分析，經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬間變化率的過(guò)程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬間變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想；2.體會(huì)極限思想；3.通過(guò)函數(shù)圖象直接理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程．正確理解曲線“過(guò)某點(diǎn)”和“在某點(diǎn)”處的切線，并會(huì)求其方程.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象及直觀想象的核心素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)回顧1.導(dǎo)數(shù)（瞬時(shí)變化率）定義：如果當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，平均變化率

無(wú)限趨近于一個(gè)確定的值，即

有極限，則稱_________________________，并把這個(gè)確定的值叫做______________________(也稱為_(kāi)_________),記作______或______.用極限符號(hào)表示這個(gè)定義，就是__________________________________

y＝

f(x)在x

＝

x0處可導(dǎo)瞬時(shí)變化率

y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)2.求函數(shù)y＝f(x)在x＝x0

處導(dǎo)數(shù)的步驟新課導(dǎo)入

平均變化率的幾何意義問(wèn)題1設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，點(diǎn)

，點(diǎn)

則

在

上的平均變化率為

結(jié)合直線斜率的定義可知：函數(shù)在點(diǎn)P0到點(diǎn)P之間的平均變化率即為割線P0P的斜率.新知探究點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義它表示什么？新知探究點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

xyx0x0+?xf(x0)f(x0+?x)y=f(x)OP?P0T?f(x0+?x)-f(x0)

觀察右圖，當(dāng)點(diǎn)

P沿著曲線

趨近于點(diǎn)

P0時(shí)，割線

P0P的變化趨勢(shì)是什么？新知探究點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P(x,f(x))沿著曲線y＝f(x)無(wú)限趨近于點(diǎn)P0(x0,f(x0))時(shí)，割線P0P無(wú)限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定的位置的直線P0T稱為曲線y＝f(x)在點(diǎn)P0

處的切線.xyOy＝f(x)f(x0)x0T切線的定義：P0P在曲線y＝f(x)上任取一點(diǎn)P(x,f(x))追問(wèn)1：此處的切線定義與初中學(xué)過(guò)的圓的切線定義有什么不同？初中學(xué)過(guò)的圓的切線是從直線和圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的角度定義的.此處的切線定義是以逼近的方式對(duì)切線作出的定義；追問(wèn)2：通過(guò)逼近方式對(duì)切線作出的定義，是否適用于圓的切線呢？P0P新知探究點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義追問(wèn)3：導(dǎo)數(shù)f

′(x0)的幾何意義是什么？割線P0P的斜率k切線P0T的斜率k0點(diǎn)P→點(diǎn)P0函數(shù)

y＝f(x)在x=

x0處的導(dǎo)數(shù)f

′(x0)曲線y＝f(x)在點(diǎn)P0(x0,f(x0))處切線的斜率k0導(dǎo)數(shù)f

′(x0)的幾何意義新知探究點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

新知探究點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義新知探究點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義PxyOT即追問(wèn)4：你能求出曲線y=f

(x)在點(diǎn)M(x0,f

(x0))處的切線方程是什么嗎？典例分析例1

求曲線f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程．解決切線問(wèn)題的關(guān)鍵:利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率k0=f′(x0).求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟典例小結(jié)跟蹤練習(xí)√課本P66典例分析t1ht0O??t2?t例2

如圖是高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)員的重心相對(duì)于水面的高度隨時(shí)間變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+4.8t+11的圖象.根據(jù)圖象，請(qǐng)描述、比較曲線h(t)在t=t0,t1,t2附近的變化情況.l2l1l0解:(1)當(dāng)t=t0時(shí),曲線h(t)在t=t0處的切線l0平行于t軸,h'(t0)=0.這時(shí),在t=t0附近曲線比較平坦,幾乎沒(méi)有升降.(2)當(dāng)t=t1時(shí),曲線h(t)在t=t1處的切線l1的斜率h'(1)<0.這時(shí),在t=t1附近曲線下降,即函數(shù)h(t)在t=t1附近單調(diào)遞減.(3)當(dāng)t=t2時(shí),曲線h(t)在t=t2處的切線l2的斜率h′(t2)<0.這時(shí),在t=t2附近曲線下降,即函數(shù)h(t)在t=t2附近也單調(diào)遞減.從圖中可以看出,直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度,這說(shuō)明曲線h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得緩慢.

1.根據(jù)圖象，描述曲線h(t)在t=t3,t4附近增(減)以及增(減)快慢的情況.t4ht3O??t?l3l4(2)當(dāng)t=t4時(shí),曲線h(t)在t=t4處的切線l4的斜率h′(t4)>0.這時(shí),在t=t4附近曲線上升,即函數(shù)h(t)在t=t2附近也單調(diào)遞增.課本P69跟蹤練習(xí)解:(1)當(dāng)t=t3時(shí),曲線h(t)在t=t3處的切線l3的斜率h′(t3)>0.這時(shí),曲線在t=t3附近上升,即函數(shù)h(t)在t=t1附近單調(diào)遞增.從圖中可以看出,直線l3的傾斜程度大于直線l4的傾斜程度,這說(shuō)明曲線h(t)在t=t3附近比在t=t4附近遞增快.典例小結(jié)在t0,t1,t2附近的曲線在t=t0,t1,t2處的切線近似代替斜率刻畫(huà)斜率的正負(fù)：增減趨勢(shì)斜率的大?。涸鰷p快慢以直代曲例2

如圖是高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)員的重心相對(duì)于水面的高度隨時(shí)間變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+4.8t+11的圖象.根據(jù)圖象，請(qǐng)描述、比較曲線h(t)在t=t0,t1,t2附近的變化情況.典例分析

例5

下圖中是人體血管中藥物濃度c=f(t)(單位:mg/mL)隨時(shí)間t(單位:min)變化的函數(shù)圖象.根據(jù)圖象，估計(jì)t=0.2,0.4,0.6,0.8min時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率(精確到0.1).血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率,就是藥物濃度.函數(shù)f(t)在此時(shí)刻的導(dǎo)數(shù),從圖象上看,它表示曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率.數(shù)形結(jié)合以直代曲

t

0.2

0.4

0.60.8藥物濃度的瞬時(shí)變化率

下表給出了藥物濃度瞬時(shí)變化率的估計(jì)值，典例小結(jié)新知探究點(diǎn)：導(dǎo)函數(shù)

從求函數(shù)y=f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到，當(dāng)x=x0時(shí)，f′(x0)是一個(gè)唯一確定的數(shù).這樣，當(dāng)x變化時(shí)，y=f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(derivedfunction)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)).

y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y′，即新知辨析（3）函數(shù)在點(diǎn)

x0處的導(dǎo)數(shù)

f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)

f′(x)在x

=

x0處的函數(shù)值，這也是求函數(shù)在點(diǎn)

x0

處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。問(wèn)題3：函數(shù)在點(diǎn)x

=x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)、導(dǎo)函數(shù)

y

=

f′(x)、導(dǎo)數(shù)之間有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？（1）函數(shù)在一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)

f′(x0)

，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)。（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的，就是函數(shù)

f(x)的導(dǎo)函數(shù)

f′(x)，它是一個(gè)變量。

問(wèn)題4

如何求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)?新知探究點(diǎn)：導(dǎo)函數(shù)xy12O???32.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是().

(A)f'(1)>f'(2)>f'(3)>0

(B)

f'(1)<f'(2)<f'(3)<0

(C)0<f'(1)<f'(2)<f'(3)(D)

f'(1)>f'(2)>0>f'(3)A課本P70鞏固練習(xí)4.吹氣球時(shí)，氣球的半徑r