理學(xué)第四講重積分

交換重積分的積分次序在直角坐標(biāo)系中兩種不同順序的累次積分的互相轉(zhuǎn)化是一種很重要的手段，具體做法：先把給定的累次積分反過來化為二重積分，求出它的積分區(qū)域D，然后根據(jù)D再把二重積分化為另外一種順序的累次積分。交換累次積分的積分次序例1設(shè)連續(xù)，證明

分析：只需交換積分次序，即可證明.交換累次積分的積分次序例2分析：計(jì)算交換積分次序.交換累次積分的積分次序例3分析：交換積分次序：先確定r的范圍；然后固定r，再確定θ

的范圍.交換累次積分的積分次序三次積分的交換次序方法：將其中一個變量看成常量，利用二次積分交換積分次序的方法，逐次交換相鄰兩個積分的積分次序.交換累次積分的積分次序例4按照x,z,y

的積分順序，改變下列三次積分的積分次序：解xy1Dxy交換累次積分的積分次序xz1分段函數(shù)的重積分例5計(jì)算二重積分，其中【解答】將區(qū)域用曲線劃分為D1和D2，其中表示不超過的最大整數(shù).分段函數(shù)的重積分例6計(jì)算三重積分，其中是由錐面與平面所圍的立體.解題方法：將積分區(qū)域劃分成兩個區(qū)域其中是由錐面和球面所圍成的；是由錐面，球面平面所圍成.分段函數(shù)的重積分三次積分的計(jì)算例7設(shè)在[0,1]上連續(xù)，試證：分析記，利用牛頓—萊布尼茨公式重積分的坐標(biāo)變換例8計(jì)算注：確定二重積分的區(qū)域，將二次積分化為二重積分，用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算.重積分的坐標(biāo)變換例9設(shè)為連續(xù)函數(shù)，區(qū)域D由確定，證明：注：等式右端是一個定積分，被積函數(shù)含有，所以，必須有一個變量表示故可作極坐標(biāo)變換.重積分的坐標(biāo)變換證明：由對稱性知重積分的坐標(biāo)變換例10解題思路：重積分的坐標(biāo)變換例11解題思路：重積分的坐標(biāo)變換例12設(shè)函數(shù)連續(xù)且大于零，其中：（1）討論函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，重積分的坐標(biāo)變換解題思路：（1）利用球坐標(biāo)變換將三重積分化為定積分，用極坐標(biāo)變換將二重積分化為定積分。（2）作輔助函數(shù)并討論函數(shù)g(t)的單調(diào)性.重積分的坐標(biāo)變換例13

計(jì)算其中做變換解題思路：重積分的坐標(biāo)變換例14設(shè)有心臟線的方程，求它與極軸圍成的平面圖形繞極軸所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解題思路：用球坐標(biāo)去計(jì)算重積分的坐標(biāo)變換例15計(jì)算解題思路：用廣義球坐標(biāo)變換其中由曲面所圍的區(qū)域.注意：雅可比行列式為重積分的對稱性例16求，其中解題思路利用對稱性，重積分的對稱性例17求，其中解題思路利用對稱性，（輪換對稱性）重積分的對稱性例18求，其中D為直線解題思路將區(qū)域D劃分為所圍成的平面區(qū)域.，其中，注意到D1關(guān)于x軸對稱，D2關(guān)于y軸對稱.答案：重積分的對稱性例19設(shè)f(x)在[0,1]上可積，證明解題思路利用再利用輪換對稱性.重積分的對稱性例20

計(jì)算，其中為常數(shù)Ω是球體：，解題思路：由對稱性知由輪換對稱性，所以，用球坐標(biāo)可以求得.，也可用截面法求得.答案：重積分的對稱性例21解題思路：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，證明：利用對稱性，重積分的對稱性例22.

設(shè)為連續(xù)正值函數(shù)，證明：為常數(shù).解題思路：利用輪換對稱性，利用形心公式求重積分假設(shè)平面圖形D的面積為A，則，其中為平面圖形的形心.假設(shè)空間立體Ω的體積為V，則利用形心公式求重積分例23設(shè)，計(jì)算解答：利用形心公式計(jì)算.與重積分有關(guān)的方程問題例24.

設(shè)為D上的連續(xù)函數(shù)，且求解題思路：等式兩邊同乘，再兩邊積分.與重積分有關(guān)的方程問題例25.設(shè)在上連續(xù)，且滿足求解題思路用球坐標(biāo)變換.然后兩邊求導(dǎo).注：是偶函數(shù)，故只需考慮答案：綜合例題例26.設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且求[分析]此三重積分的被積函數(shù)是的函數(shù)，積分區(qū)域又