新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第6章平面向量初步6.1平面向量及其線性運算6.1.1向量的概念課件新人教B版必修第二冊

第六章6.1.1向量的概念基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測課程標準1.理解向量的有關(guān)概念及向量的表示方法.2.理解共線向量、相等向量的概念.3.正確區(qū)分向量平行與直線平行.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1

向量的概念及表示1.向量概念既有

又有

的量稱為向量(也稱為矢量)

表示用

來直觀地表示向量,其中有向線段的

表示向量的大小,有向線段箭頭所指的方向表示向量的方向.通常將有向線段不帶箭頭的端點稱為向量的始點(或起點),帶箭頭的端點稱為向量的

.有向線段始點和終點的相對位置確定向量的大小與方向.始點為A終點為B的有向線段表示的向量,可以用符號簡記為

,此時向量的大小用

表示

代數(shù)表示在印刷時,通常用加粗的斜體小寫字母如a,b,c等來表示向量;在書寫時,用帶箭頭的小寫字母如

等來表示向量大小

方向有向線段長度終點2.標量只有

的量稱為標量,長度、面積等都是標量.

名師點睛1.向量與標量的區(qū)別:向量有方向,而標量沒有方向;標量與標量之間可以比較大小,而向量與向量之間不能比較大小.2.我們學(xué)的向量是自由向量,是可以自由平移的,始點的位置可以改變,只考慮向量的大小和方向.大小

過關(guān)自診1.下列物理量:①質(zhì)量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度.其中不是向量的有(

)

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個C解析

②③④⑤既有大小,又有方向,是向量;①⑥⑦只有大小,沒有方向,不是向量.2.[北師大版教材習(xí)題]在平面直角坐標系xOy中有三點A(1,0),B(-1,2),C(-2,2).請用有向線段分別表示從A到B,從B到C,從C到A的位移.解

如圖,知識點2

與向量有關(guān)的概念

名稱定義記法向量的模(或長度)向量的

稱為向量的模(或長度)

|a|零向量

和

相同的向量稱為零向量

0

注意書寫時不要漏掉“→”

單位向量

的向量稱為單位向量

—大小

始點終點模等于1名稱定義記法相等向量

的向量稱為相等的向量

a=b向量共線或平行如果兩個非零向量的方向

,則稱這兩個向量平行,兩個向量平行也稱兩個向量共線

規(guī)定:零向量與任意向量

a∥b0∥a大小相等、方向相同相同或者相反平行名師點睛1.對0、單位向量的理解(1)若用有向線段表示零向量,則其終點與始點重合,其本質(zhì)是一個點.零向量的方向不確定,不能說零向量沒有方向.(2)要注意0與0的區(qū)別與聯(lián)系:0是一個實數(shù),0是一個向量,且有|0|=0;書寫時

表示零向量,一定不能漏掉0上的箭頭.(3)單位向量有無數(shù)個,它們大小相等,但方向不一定相同.2.對向量平行的理解(1)向量平行(共線)時,表示向量的有向線段所在的直線平行或重合.(2)向量共線中的“共線”的含義不是平面幾何中的“共線”的含義.共線向量有四種情況:方向相同模相等;方向相同模不等;方向相反模相等;方向相反模不等.(3)任一向量a都與它本身平行.過關(guān)自診1.若a=b,則兩向量在大小與方向上有何關(guān)系?提示

若a=b,意味著|a|=|b|,且a與b的方向相同.2.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)兩個有共同起點,且長度相等的向量,它們的終點相同.(

)(2)任意兩個單位向量都相等.(

)(3)若,則A,B,C,D四點是平行四邊形的四個頂點.(

)×××3.設(shè)O是正方形ABCD的中心,則向量

是(

)A.相等的向量

B.平行的向量C.有相同起點的向量 D.模相等的向量D重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一向量的有關(guān)概念【例1】

有下列說法:①若向量a與向量b不平行,則a與b方向一定不相同;②若向量

滿足;③若|a|=|b|,則a,b的長度相等且方向相同或相反;④由于零向量方向不確定,故其不能與任何向量平行.其中正確說法的個數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.4A解析

對于①,由共線向量的定義,知兩向量不平行,方向一定不相同,故①正確;對于②,因為向量不能比較大小,故②錯誤;對于③,由|a|=|b|,只能說明a,b的長度相等,確定不了它們的方向,故③錯誤;對于④,因為零向量與任一向量平行,故④錯誤.規(guī)律方法

1.判斷兩個向量相等應(yīng)從兩個方面入手(1)是否大小相等;(2)是否方向相同.2.零向量和單位向量(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.(2)兩個單位向量不一定相等,因為它們的方向不一定相同.變式訓(xùn)練1給出下列說法:①兩個向量,當且僅當它們的起點相同、終點也相同時才相等;②若平面上所有單位向量的起點移到同一個點,則其終點在同一個圓上;③在菱形ABCD中,一定有④若a=b,b=c,則a=c.其中所有正確說法的序號為

.

②③④

解析

兩個向量相等只要模相等且方向相同即可,而與起點和終點的位置無關(guān),故①不正確.單位向量的長度為1,當所有單位向量的起點在同一點O時,終點都在以O(shè)為圓心,1為半徑的圓上,故②正確.③④顯然正確.故所有正確說法的序號為②③④.探究點二向量的表示及應(yīng)用【例2】

(1)[人教A版教材習(xí)題]指出圖中各向量的長度.(規(guī)定小方格的邊長為0.5)(2)在如圖所示的坐標紙上(每個小方格邊長為1),用直尺和圓規(guī)畫出下列向量:解

①由于點A在點O北偏東45°處,所以在坐標紙上點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等.又

,小方格邊長為1,所以點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4,于是點A位置可以確定,畫出向量

如圖所示.②由于點B在點A正東方向,且

=4,所以在坐標紙上點B距點A的橫向小方格數(shù)為4,縱向小方格數(shù)為0,于是點B位置可以確定,畫出向量

如圖所示.規(guī)律方法

向量的兩種表示方法(1)幾何表示法:先確定向量的起點,再確定向量的方向,最后根據(jù)向量的長度確定向量的終點.(2)字母表示法:為了便于運算可用字母a,b,c表示,為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質(zhì),可用表示向量的有向線段的起點與終點的字母表示向量,如變式訓(xùn)練2一架飛機從點A向西北方向飛行200km

到達點B,再從點B向正東方向飛行100km到達點C,再從點C向正東方向飛行100km到達點D,求飛機從點D飛回點A的位移.探究點三相等向量與共線向量【例3】

如圖,D,E,F分別是△ABC各邊的中點,四邊形BCGF是平行四邊形,試分別寫出與

共線及相等的非零向量.規(guī)律方法

1.尋找相等向量要把握住向量的兩要素:大小和方向,相等向量必須二者都相同才成立.同時,向量是可以平移的,相等向量的起點并不一定要相同.2.對于非零向量,共線向量只需把握向量的方向要素,與向量的模大小無關(guān),故尋找非零共線向量時,只需判斷兩向量所在的直線是否平行或重合.變式訓(xùn)練3設(shè)點O為正八邊形ABCDEFGH的中心,如圖,以圖中字母為始點或終點,分別寫出:成果驗收·課堂達標檢測12341.下列說法正確的是(

)A.若|a|=|b|,則a=bB.零向量的長度是0C.長度相等的向量叫相等向量D.共線向量是在同一條直線上的向量B解析

|a|=|b|僅表示a與b的大小相等,但是方向不確定,故a=b未必成立,所以A錯誤;根據(jù)零向量的定義可判斷B正確;長度相等的向量方向不一定相同,故C錯誤;共線向量不一定在同一條直線上,故D錯誤.故選B.12342.下列結(jié)論正確的是(

)A.a與b共線,b與c共線,則a與c也共線B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四個頂點C.向量a與b不共線,則a與b都是非零向量D.有相同起點的兩個