大學高等出版社力學例題練習全集(考試復習自學必備)

例1．在深海爆炸中，爆炸后形成的流的振蕩周期有以下關系：其中，K是一無量綱的常數(shù)，是沖壓力，是水密度，E是爆炸的總能量，試求T的表達式（即求出A、B、C）例1．在深海爆炸中，爆炸后形成的氣流的振蕩周期有以下關系：其中，K是一無量綱的常數(shù)，是沖壓力，是水密度，E是爆炸的總能量，試求T的表達式（即求出A、B、C）解：解之得：{{解：(1)先寫參數(shù)方程[例1].已知質點的運動方程求：(1)質點的軌跡。

(2)t=0及t=2s時，質點的位置矢量。(2)位置矢量

t=0時，x=0y=2r=2jt=2時，x=4y=-2r

=4i–2jxPy42Q-2O§2.1質點的運動學方程位置矢量的大小位置矢量的方向xPy42Q-2O§2.1質點的運動學方程與的夾角與的夾角[例2].

求例1中P、Q兩點間的位移和路程。解：(1)位移大?。悍较颍簒Py42Q-2O§2.1質點的運動學方程dxdyds(2)路程xPy42Q-2O§2.1質點的運動學方程

[例1]:質點的運動方程：

求：（1）質點第一秒末的速度和加速度；（2）在

t=1秒到

t=3秒時間間隔內質點運動的平均速度和平均加速度。解：（1）t=1時:(2)

運動學第一類問題[例2]:一質點沿x軸作直線運動，其運動方程為已知：x=6t-t2

(SI)求：（1）質點在任意時刻t的速度和加速度；（2）簡述質點運動情況；（3）求t=1秒到t=5秒間質點的位移和路程。解：（1）（2）

質點作勻減速直線運動，在t=3質點“回頭”。本題是一維情況，用正負表示方向（3）

運動學第一類問題

[例3].一艘快艇在速率為

時關閉發(fā)動機，其加速度，式中k為常數(shù)，試證明關閉發(fā)動機后又行駛距離x時，快艇速率為：證明：

運動學第二類問題[例4]:一質點沿

x軸運動,其加速度

a與位置坐標的關系為

a=3+6x2(SI),如果質點在原點處的速度為零,試求其在任意位置

x

處的速度

v

。解:本題的關鍵是得出x

與

v的關系

運動學第二類問題[例5].

在離水面高h的岸上，有人用繩拉船靠岸，如圖。設人以勻速率

收繩。試求:當船距岸邊

時，船的速度和加速度的大小各是多少？解

建立坐標系如圖

設任意時刻t，繩長為l，船處于x位置

收繩過程中滿足關系

兩邊求導得收繩過程中l(wèi)隨時間減小

則船運動的速度為對速度求導即可得到船運動的加速度船做怎樣的運動？加速？減速？思考

［例1］.

一質點沿半徑為R的圓周運動，路程與時間的關系為求：(1)任意時刻t，質點加速度的大小和方向。

(2)什么時刻質點加速度的大小等于b，這時質點已轉了幾圈？解：質點的速率任意時刻PO

［例2］、一質點在oxy平面內作曲線運動，其加速度是時間的函數(shù)。已知ax=2,ay=36t2。設:質點t＝0時r0=0,v0=0。求：(1)此質點的運動方程；(2)此質點的軌道方程。(3)此質點的切向加速度.解：質點的運動方程為：(2)上式中消去t,得

y=3x2即為軌道方程可知是拋物線。注：若求法向加速度，應先求曲率半徑。解：300A[例3]一物體作如圖所示的斜拋運動，測得在A點處速度的大小為v，其方向與水平方向夾角成300，求物體在A點的切向加速度at；軌道的曲率半徑。[例1].河水自西向東流動，速度為10km/h,一輪船在水中航行，船相對于河水的航向為北偏西30o,航速為20km/h。此時風向為正西，風速為10km/h。試求在船上觀察到的風的速度。解：設水用S；風用F；船用C；岸用D已知：201010===csfdsdvvv正東正西北偏西30ovcsvfdvsd方向為南偏西30o。vcsvfdvsdvcdvfcvfdvsdvcd［例2］某人騎摩托車向東前進，其速率為10m

s-1時覺得有南風，當其速率為15m

s-1時，又覺得有東南風，試求風速度。解：取風為研究對象，騎車人和地面作為兩個相對運動的參考系。作圖15m

s-110m

s-1

45y(北)x(東)O根據(jù)速度變換公式得到：由圖中的幾何關系，知：風速的大?。猴L速的方向：為東偏北2634'15m

s-110m

s-1

45y(北)x(東)O2.打靶問題:如圖,當子彈由坐標原點出射時,物體(目標)開始自由下落.問

多大時子彈恰好擊中物體?子彈出射速率v0有無限制?試用運動學第一類問題和相對運動兩種解法分別求解。yx0BHSv0A

解法一：由運動學方程求解，以地面為參考系，子彈A的位矢：B的位矢：擊中相遇指在某一時刻t有yx0BHSv0A

解法二：用相對運動求解即A對B作勻速直線運動，為擊中B，必須使槍口瞄準靶，即v0指向B，必須滿足：

(二）、恒力作用下的直線運動問題

m1m2Tm1gTaam2g[例1]：圖示為定滑輪裝置,繩輪質量不計,繩伸長不計，軸處摩擦不計,已知重物m2>m1，求重物釋放后物體加速度和繩中張力。可求得:解：以地為參考系，隔離m1,m2,對兩個質點分別應用牛頓第二定律討論：⑴驗證二定律：⑵設m1、m2是兩個質量均為m的人，他們自同一高度開始爬繩，誰先到達頂點？

㈢變力作用下的直線運動問題只討論的線性情況[例2]：質點由靜止在空氣中下落，重力加速度g為常數(shù)，質點所受空氣阻力與速率成正比f=-γv，求質點下落速度。

解：質點動力學方程為：

討論：質點在空氣中下落的終極速度。若沒有空氣，自由落體的速度兩邊乘dt/m[例3]有一密度為

的細棒，長度為l，其上端用細線懸著，下端緊貼著密度為

的液體表面?，F(xiàn)懸線剪斷，求細棒在恰好全部沒入水中時的沉降速度。設液體沒有粘性。xl解：以棒為對象，受力如圖：xo

棒運動在豎直向下的方向，取豎直向下建立坐標系。

當棒的最下端距水面距離為時x，浮力大小為：此時棒受到的合外力為：利用牛頓第二定律建立運動方程：

要求出速度與位置的關系式，利用速度定義式消去時間積分得到[例3]如圖長為的輕繩，一端系質量為的小球，另一端系于定點，時小球位于最低位置，并具有水平速度，求小球在任意位置的速率及繩的張力．解:

[例4]

設空氣對拋體的阻力與拋體的速度成正比，即，為比例系數(shù)．拋體的質量為、初速為、拋射角為．求拋體運動的軌跡方程．解取如圖所示的平面坐標系代入初始條件解得:

由上式積分代初始條件得：例1一質量為0.05kg、速率為10m·s-1的剛球,以與鋼板法線呈45o角的方向撞擊在鋼板上,并以相同的速率和角度彈回來.設碰撞時間為0.05s.求在此時間內鋼板所受到的平均沖力.解建立如圖坐標系,由動量定理得方向沿軸反向

例2一柔軟鏈條長為l,單位長度的質量為

.鏈條放在桌上,桌上有一小孔,鏈條一端由小孔稍伸下,其余部分堆在小孔周圍.由于某種擾動,鏈條因自身重量開始落下.求鏈條下落速度與落下距離之間的關系.設鏈與各處的摩擦均略去不計,且認為鏈條軟得可以自由伸開.解：以豎直懸掛的鏈條和桌面上的鏈條為一系統(tǒng),建立如圖坐標由質點系動量定理得m1m2Oyy則則兩邊同乘以則m1m2Oyy又

例2：一長為l，密度均勻的柔軟鏈條，其單位長度的質量為，將其卷成一堆放在地面上，如圖所示。若用手握住鏈條的一端，以加速度a從靜止勻加速上提。當鏈條端點離地面的高度為x時，求手提力的大小。解：以鏈條為系統(tǒng)，向上為X正向，地面為原點建立坐標系。t時刻，系統(tǒng)總動量OXt時刻，系統(tǒng)受合外力OX系統(tǒng)動量對時間的變化率為：根據(jù)動量定理，得到

例3、一質量均勻分布的柔軟細繩鉛直地懸掛著，繩的下端剛好觸到水平桌面上，如果把繩的上端放開，繩將落在桌面上。試證明：在繩下落的過程中，任意時刻作用于桌面的壓力，等于已落到桌面上的繩重量的三倍。oxx證明：取如圖坐標，設繩長為.t時刻，系統(tǒng)總動量根據(jù)動量定理:而已落到桌面上的柔繩的重量為mg=Mgx/L所以F總=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mgt時刻，系統(tǒng)受合外力柔繩對桌面的沖力即：oxx

證明二：取如圖坐標，設t時刻已有x長的柔繩落至桌面，隨后的dt時間內將有質量為（Mdx/L)的柔繩以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的動量變化為：根據(jù)動量定理，桌面對柔繩的沖力為：已落到桌面上的柔繩的重量為mg=Mgx/L所以F總=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg柔繩對桌面的沖力即：［例1］已知三個質點的質量和位置坐標：m1=1,x1=-1,y1=-2；m2=2,x2=-1,y2=1；m3=3,x3=1,y3=2，求質心位置坐標xC,yC.解：據(jù)質心定義式

xy0-1m1-21m212m3Cθ

[例2]求半徑為R的勻質半薄球殼的質心.RO解選如圖所示的坐標系．在半球殼上取一如圖圓環(huán)θRO

圓環(huán)的面積由于球殼關于y軸對稱，故xc=0

圓環(huán)的質量θROθRO而所以其質心位矢：動力學30xyOx

dx二質心運動定律m1mim2c上式兩邊對時間t

求一階導數(shù)，得再對時間

t求一階導數(shù)，得根據(jù)質點系動量定理（因質點系內）

作用在系統(tǒng)上的合外力等于系統(tǒng)的總質量乘以質心的加速度——質心運動定律

[例]設有一質量為2m的彈丸,從地面斜拋出去,它飛行在最高點處爆炸成質量相等的兩個碎片，其中一個豎直自由下落，另一個水平拋出，它們同時落地．問第二個碎片落地點在何處?COm2mmx

解：選彈丸為一系統(tǒng)，爆炸前、后質心運動軌跡不變．建立圖示坐標系，COxCx2m22mm1xxC為彈丸碎片落地時質心離原點的距離cyCyyoF

例4

用質心運動定律來討論以下問題．

一長為l、密度均勻的柔軟鏈條，其單位長度的質量為

．將其卷成一堆放在地面．若手提鏈條的一端，以勻速v將其上提．當一端被提離地面高度為

y時，求手的提力．

解建立圖示坐標系鏈條質心的坐標yc是變化的cyCyyoF豎直方向作用于鏈條的合外力為考慮到而得到由質心運動定律有cyCyyoF[例1]如圖大炮質量M，炮彈質量m，炮筒長l

，仰角，炮彈出口速度

0

(相對于炮車)，且水平地面光滑。求：(1)炮車反沖速度V；(2)炮彈出口時，炮車移動的距離D。

VM對地

Ml

0(m對M)m

分析：過程：自點火

炮彈出口系統(tǒng)：

m

+M條件：地面坐標系（慣性系）中水平合外力為零

水平分動量守恒

VM對地

yMl

0(m對M)m

x解：(1)取如圖坐標水平分動量守恒式

0=m

x+M(-V)該式中速度均為相對地面

x=

0cos

-V

為何此處不是

x=

0cos

?又代入守恒式V=()

0cos

mM+m(2)在過程中的任一時刻t都有m

x(t)–MVx(t)=0兩邊對

t積分末m

初

x(t)dt-M

初

Vx(t)dt=0末md-MD=0得式中d

=lcos

-D,為何不是d

=lcos

D=()lcos

mM+m將d代入得

VM對地

yMl

0(m對M)m

x討論：系統(tǒng)動量是否守恒？

(1)由結果看系統(tǒng)初動量為零，點火前(2)由守恒條件看系統(tǒng)末動量不為零，如圖系統(tǒng)末動量

p末m

彈末MV地面支持力N=(M+m)g

重力(M+m)g

點火后N>(M+m)g

y向合力為零y向合力不為零y向動量不守恒

系統(tǒng)動量不守恒！[例2]如圖，車在光滑水平面上運動。已知m、l、v0，人逆車運動方向從車頭經(jīng)

t到達車尾。求：（1）若人勻速運動，他到達車尾時車的速度；（2）車的運動路程；（3）若人以變速率運動，上述結論如何？解：以人和車為研究系統(tǒng)，取地面為參照系。水平方向系統(tǒng)動量守恒。取如圖坐標得該式中速度均為相對地面（1）（2）（3）例3

質量為M=500kg、長為4m的木船浮在靜止水面上，一質量為m=50kg的人站在船尾.此人以時快時慢的不規(guī)則速率從船尾走到船頭，問船相對岸移動了多少距離?設船與水之間的摩擦忽略.

分析：由于體系原來靜止，沒有外力作用，質心加速度為零，質心在水平方向的位置保持不變,故宜用質心概念求解.解：解法一（質心法）取x軸沿水平方向，取原來船的中點為坐標原點，以人的行走方向為x正方向.人在船尾時，體系質心的x坐標為Lx0

當人走到船頭后，設船的中心坐標為x，則體系質心坐標為質心水平位置不變，即，故0xLx0故船相對岸移動了4/11m.再設u為人對船的速度，則

如圖，人在時間內從船的一端走到另一端，距離為L,人和船對岸的移動距離分別為，則可寫出下面三個運動學關系式解法二（動量守恒法）在水平方向上系統(tǒng)不受外力，動量守恒，故

其中分別為某時刻人和船對岸的速度.Lx由式（1）得，并代入式（2），得試求:該質點對原點的角動量矢量和力矩.解：例1:一質量為m的質點沿一條二維曲線運動其中a,b,

為常數(shù)(恒矢量)或由直接計算力矩[例1]證明開普勒第二定律:對任意行星,它的位置矢量(以太陽中心為參考點)在相等的時間內掃過相等的面積掠面速度角動量守恒就是掠面速度相等＝常矢量m

[例2]用繩系一小球使它在光滑的水平面上做勻速率圓周運動，其半徑為r0，角速度為?，F(xiàn)通過圓心處的小孔緩慢地往下拉繩使半徑逐漸減小。求:當半徑縮為r時小球的角速度?解：選取平面上繩穿過的小孔O為原點。所以小球對O點的角動量守恒。因為繩對小球的的拉力沿繩指向小孔，則力對O點的力矩：思考:拉力所做的功是多少?。[例3]盧瑟福粒子散射實驗與有核模型。已知粒子的質量為m，電荷為2e，從遠處以速度射向一質量為，電荷為Ze的重原子核。重核與速度矢量垂直距離為d，稱為瞄準距離。設，原子核可看作不動。試求粒子與重核的最近距離。解：如圖，當粒子接近重核時，在重核靜電斥力作用下速度隨時間改變，在A點到達與重核最接近的距離處。A因粒子所受的靜電力方向始終通過重核，故粒子對力心0的角動量守恒，即[例題]質量為的兩個質點的位矢和速度分別為和，試求⑴每個質點相對于兩質點質心的動量.⑵兩質點相對于它們的質心的角動量.解：⑴對于由兩個質點構成的質點系，引入相對速度u考慮到質心系是零動量參考系，即可得⑵利用質心表達式，每個質點相對于質心的位矢分別為故兩個質點相對于它們的質心的角動量為兩質點的約化質量由此可得，每個質點相對于質心的動量分別為[例1]、一轉動的輪子由于摩擦力矩的作用，在5s內角速度由15rad/s勻減速地降到10rad/s。求：(1)角加速度；(2)在此5s內轉過的圈數(shù)；(3)還需要多少時間輪子停止轉動。解根據(jù)題意，角加速度為恒量。(1)利用公式(2)利用公式5秒內轉過的圈數(shù)(3)再利用[例1]：如圖所示，在半徑為R的勻質圓板上鉆一個半徑為R/2的圓孔，求鉆孔圓板的質心

解：補上被鉆掉的小圓板，整個大圓板可看作由小圓板mA和月牙板mB組成。由對稱性分析可知：大圓板的質心在o點，小圓板的質心在A點，要求的月牙板的質心在x軸上的某一點，設為B據(jù)質心計算公式：ABomBmAx[例2]：求半徑為a的勻質半球的質心

解：建立圖示坐標系o-xyz，由對稱性分析，質心必在z軸上，即xc=0,yc=0，在坐標z處，取高為dz的薄圓盤狀質元xyzorazdz據(jù)計算質心的積分公式：[例3]求偏心飛輪對軸承的壓力：已知勻質飛輪質量m=5.0kg，半徑r=0.15m，轉速n=400rev/min，質心C距轉軸O距離d=0.001m，飛輪所受重力忽略不計COd解:以飛輪為研究對象，設軸對其壓力為據(jù)質心運動定理：據(jù)牛頓第三定律，飛輪對軸的壓力：

轉軸偏離質心會產(chǎn)生較大附加壓力，使機座產(chǎn)生有害振動或使軸承變形，因此要盡量使質心位于轉軸上.O′AB[例1]求長為L、質量為m的均勻細棒對圖中不同軸的轉動慣量。解：取如圖坐標，dm=dxL/2L/2OXdmdm對軸的轉動慣量可見，同一剛體的轉軸的位置不同，剛體轉動慣量的值不同。ABLX

dxO′dI=x2dm=x2dxORO[例2]

一質量為,半徑為的均勻圓盤，求通過盤中心O并與盤面垂直的軸的轉動慣量

.

解:

設圓盤面密度為，在盤上取半徑為，寬為

的圓環(huán)而圓環(huán)質量所以圓環(huán)對軸的轉動慣量[例3]內半徑為R1外半徑R2為質量為m的勻質中空圓柱繞其對稱軸的轉動慣量[例5]質量為m半徑為R的勻質球體繞過球心軸的轉動慣量把球體看作無數(shù)個同心薄球殼的組合[例1]:

一定滑輪的質量為，半徑為，一輕繩兩邊分別系和兩物體掛于滑輪上，繩不伸長，繩與滑輪間無相對滑動。不計軸的摩擦，初角速度為零，求滑輪轉動角速度隨時間變化的規(guī)律。已知：求：思路：質點平動與剛體定軸轉動關聯(lián)問題，隔離法，分別列方程，先求角加速度,再三、轉動定律的應用解：在地面參考系中，分別以為研究對象，用隔離法，分別以牛頓第二定律和剛體定軸轉動定律建立方程。以向下為正方向以向上為正方向思考：×因為重滑輪加速轉動+以順時針方向為正方向四個未知數(shù)：三個方程？繩與滑輪間無相對滑動，由角量和線量的關系：解得：m2m1[例2]：質量為m1

的物體置于完全光滑的水平桌面上,用一根不可伸長的細繩拉著,細繩跨過固定于桌子邊緣的定滑輪后，在下端懸掛一個質量為

m2

的物體,如圖所示。已知滑輪是一個質量為M,半徑為r

的圓盤,軸間的摩擦力忽略不計。求滑輪與

m1

之間的繩子的張力、滑輪與m2

之間的繩子的張力以及物體運動的加速度

。

解：物體m1、m2和滑輪的受力情況如圖所示。列方程

T1=m1a

（1）

m2g

T2=m2a（2）對于滑輪

（3）

解以上四個聯(lián)立方程式,可得α）

此題還可以用能量的方法求解。在物體m2下落了高度h時,可以列出下面的能量關系（5）式中v是當m2下落了高度

h

時兩個物體的運動速率,

是此時滑輪的角速度。因為,,所以得由此解得（6）將

v2=2ah

代入(6)式,可以求得兩個物體的加速度

根據(jù),立即可以求得張力T1根據(jù)

或可以立即算出張力T2

以上兩種方法，都是求解這類問題的基本方法,都應該理解和掌握。

[

例3]:

一長為質量為勻質細桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O相接，并可繞其轉動.由于此豎直放置的細桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當其受到微小擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O轉動.試計算細桿轉動到與豎直線成角時的角加速度和角速度.

解

細桿受重力和鉸鏈對細桿的約束力作用，由轉動定律得式中得由角加速度的定義代入初始條件積分得[例1]:

一勻質細棒，質量為m，長為L，可在水平桌面上繞一端點O在桌面上轉動。棒與水平桌面間的摩擦系數(shù)為μ,t=0

時棒靜止在水平桌面上。現(xiàn)給棒一個角速度ω0，求經(jīng)過多長時間棒停止轉動。解：設棒的質量線密度為λ，在棒