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第二章一元二次方程2.6應(yīng)用一元二次方程第1課時

實踐探究探究1問題1:怎樣設(shè)未知數(shù)?

這個問題中存在什么樣的等量關(guān)系?

如何用勾股定理列方程?(1)設(shè)梯子頂端下滑xm時,梯子底端滑動的距離和它相等.先求梯子底端原來離墻的距離:________________________.等量關(guān)系是:梯子頂端現(xiàn)在離地的距離與梯子底端現(xiàn)在離墻的距離組成了直角三角形的兩條________,斜邊是____________,根據(jù)勾股定理可得:________________________________,解得_______________.

直角邊梯子的長度(8-x)2+(6+x)2=102x1=0,x2=2探究2x1=0是否符合題意?∵x=0時,梯子沒有下滑,∴____________________________.問題2:你能根據(jù)(1)的分析解答出(2)嗎?x=0不合題意,舍去,x=2(2)解:梯子底端原來離墻的距離為設(shè)梯子頂端下滑

xm時,梯子底端滑動的距離和它相等.由題意,得

(12-x)2+(5+x)2=132,解得

x1=0(不合題意,舍去),x2=7.答:梯子頂端下滑7m時,梯子底端滑動的距離和它相等.

列方程解應(yīng)用題的步驟是:①審;②設(shè);③列;④解;⑤驗;⑥答.歸納應(yīng)用舉例例1

如圖,某海軍基地位于A處,在其正南方向200n

mile處有一目標(biāo)B,在B的正東方向200n

mile處有一重要目標(biāo)C.小島D位于AC的中點,島上有一補給碼頭;小島F位于BC的中點.一艘軍艦沿A出發(fā),經(jīng)B到C勻速巡航,一艘補給船同時從D出發(fā),沿南偏西方向勻速直線航行,欲將一批物品送達(dá)軍艦.ABDCEF北東20020045°

∵AD=CD

BF=CF解:連接DF,∴DF是△ABC的中位線∴DF//AB且DF=

AB∵AB⊥BC

AB=BC=200∴DF⊥BC

DF=100(海里)BF=100(海里)ABDCEF北東200?20045°若設(shè)相遇時補給船的行程DE為x海里,則相遇時軍艦的行程應(yīng)為AB+BE=2x海里.EF=AB+BF-(AB+BE)

=(300-2x)海里

答:相遇時補給船航行了約118.4海里.整理得解這個方程得

在Rt△DEF中,根據(jù)勾股定理可得方程x2=1002+(300-2x)23x2-1200x+100000=0∴x1=200-

≈118.4

x2=200+

(不合題意,舍去)

ABDCEF北東200?20045°例2

如圖是長方形雞場的平面示意圖,一邊靠墻,另外三邊用竹籬笆圍成,且竹籬笆總長為35m.(1)若所圍的面積為150m2,試求此長方形雞場的長和寬;(2)若墻長為18m,則(1)中長方形雞場的長和寬分別是多少?(3)能圍成面積為160m2的長方形雞場嗎?說說你的理由.ABCD方法指導(dǎo):(1)若設(shè)BC=xm,則AB的長為m,若設(shè)AB=xm,則BC=(35-2x)m,再利用題設(shè)中的等量關(guān)系,可求出(1)的解;(2)墻長為18m,意味著BC邊的長應(yīng)小于或等于18m,從而對(1)的結(jié)論進行甄別即可;(3)可借助(1)的解題思路構(gòu)建方程,依據(jù)方程的根的情況可得結(jié)論.ABCD

解:(1)設(shè)BC=xm,則AB=CD=m.依題意可列方程為x·=150,整理,得x2-35x+300=0.解這個方程,得x1=20,x2=15.當(dāng)BC=20m時,AB=CD=7.5m,當(dāng)BC=15m時,AB=CD=10m.即這個長方形雞場的長與寬分別為20m,7.5m或15m,10m;ABCD

(2)當(dāng)墻長為18m時,顯然BC=20m時,所圍成的雞場會在靠墻處留下一個缺口,不合題意,應(yīng)舍去,此時所圍成的長方形雞場的長與寬只能是15m,10m;ABCD(3)不能圍成面積為160m2的長方形雞場.理由如下:設(shè)BC=xm,則AB=m.依題意可列方程為x·=160,整理,得x2-35x+320=0.此時Δ=352-4×1×320=1225-1280<0,原方程沒有實數(shù)根,從而知用35m的籬笆按圖示方式不可能圍成面積為160m2的雞場.ABCD

例3

在寬為20m,長為32m的矩形耕地上,修筑同樣寬的三條道路(兩條縱向,一條橫向,橫向與縱向互相垂直)(如圖1),把耕地分成大小相等的六塊作試驗田,要使試驗田面積為570平方米,問道路應(yīng)為多寬?圖(1)解:設(shè)道路寬為x米,如圖(2)利用平移知識可列方程為(32-2x)(20-x)=570,化簡得x2-36x+35=0,解這個方程得x1=1,x2=35>32(不合題意,舍去),∴道路寬應(yīng)為1米.圖(2)練一練前年生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元.隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步,現(xiàn)在生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元,試求乙種藥品成本的年平均下降率?解:設(shè)乙種藥品的年平均下降率為y.根據(jù)題意,列方程,得6000(1-y)2=3600.解方程,得y1≈0.225,y2≈1.775.根據(jù)問題的實際意義,乙種藥品成本的年平均下降率約為22.5%.隨堂練習(xí)1.直角三角形的兩條直角邊的和為7,面積是6,則斜邊長為

(

)A.

B.5

C.

D.72.從正方形鐵皮的一邊切去一個2cm寬的長方形,若余下的長方形面積是48cm2,則原來正方形鐵皮的面積是_________.

B64cm23.《九章算術(shù)》“勾股”章有一題:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三,乙東行,甲南行十步而斜東北與乙會,問甲乙行各幾何?!贝笠馐钦f:已知甲、乙二人同時從同一地點出發(fā),甲的速度為7,乙的速度為3.乙一直向東走,甲先向南走了10步,后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇。那么相遇時,甲、乙各走了多遠(yuǎn)?解:設(shè)相遇時用的時間為x,依題意可列方程為(3x)2=(7x-10)2-102,整理,得2x2-7x=0.解這個方程,得

x1=0(不合題意,舍去),x2=3.5,∴3x=3×3.5=10.5,7x=7×3.5=24.5.答:相遇時,甲走了24.5步,乙走了10.5步.4.用一根長40cm的鐵絲圍成一個面積為91cm2的矩形,問這個矩形長是多少?解:設(shè)長為xcm,則寬為解這個方程,得x1=7,x2=13.當(dāng)x=7cm時,當(dāng)x=13cm時,∴這個矩形的長為13cm.5.一個直角三角形的斜邊長為7cm,一條直角邊比另一條直角邊長1cm,那么這

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