其次章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

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其次章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

機(jī)器人，特別是其中最為常用的關(guān)節(jié)型機(jī)器人，由若干個(gè)關(guān)節(jié)所聯(lián)系起來(lái)的一種開(kāi)鏈，其一端固結(jié)在機(jī)座上，另一端安裝有末端執(zhí)行器。已知所有關(guān)節(jié)變量確定機(jī)器人末端執(zhí)行器的位姿或者由末端手的位姿計(jì)算出每一個(gè)關(guān)節(jié)變量值是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)研究的主要內(nèi)容。

本章主要介紹機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)，首先介紹了1.1齊次坐標(biāo)與齊次變換

在描述剛體（如零件、工具或機(jī)械手）間關(guān)系時(shí)，要用到點(diǎn)、向量、坐標(biāo)系、平移、旋轉(zhuǎn)以及變換等概念，這些概念可用齊次矩陣來(lái)表示。

1.1.1空間點(diǎn)的表示

在指定的直角坐標(biāo)系?A?中，空間任一點(diǎn)P（圖2-1）的位置可用3?1的列矢量P表

A示：

AP?px?pyApz（2.1）

A?其中px，py，pz為點(diǎn)P的三個(gè)坐標(biāo)分量，P的上標(biāo)A代表參考坐標(biāo)系?A?，稱P為位置矢量。

圖2-1位置表示

1.1.2空間向量的表示

將一個(gè)n維空間的點(diǎn)用n?1維坐標(biāo)表示，則該n?1維坐標(biāo)即為n維坐標(biāo)的齊次坐標(biāo)，即：

AP?px?pyTpz1（2.2）

?在上式中參與一個(gè)比例因子w，點(diǎn)P表示為：

AP?ax?byczTw（2.3）

?其中，ax?pxw，by?pyw，cz?pzw。式2.2和2.3表示同一個(gè)點(diǎn)P。起始于原點(diǎn)，終止于P點(diǎn)的空間向量也可以采用齊次矩陣形式表示：

P?axby?czTw（2.4）

?若比例因子w變化，向量的大小也會(huì)發(fā)生變化，w大于1，向量所有的分量都變大，假使w小于1，向量所有的分量都變小，w等于1，各分量的大小保持不變。w等于0表示該向量的方向，稱為方向向量。如圖2-2中，i、j、k分別表示直角坐標(biāo)系中X、Y、Z坐標(biāo)軸的單位矢量，用齊次坐標(biāo)表示為：

TTTX??1000?Y??0100?Z??0010?（2.5）

圖2-2中所示的矢量u的方向表示為：

u??cos?cos?cos?T0?（2.6）

其中?、?、?分別為矢量u與坐標(biāo)軸的夾角。1.1.3剛體位姿的表示

為了研究機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)，往往不僅要表示空間某個(gè)點(diǎn)的位置，而且需要表示剛體的神態(tài)。指定一個(gè)坐標(biāo)系與此剛體固接，再將此坐標(biāo)系在空間表示出來(lái)，該坐標(biāo)系稱為動(dòng)坐標(biāo)系。如

Y?Z?為固接在剛體上的一個(gè)動(dòng)坐標(biāo)系，動(dòng)坐標(biāo)系的圖2-3所示，O?為剛體上任一點(diǎn)，O?X?原點(diǎn)與固定坐標(biāo)系原點(diǎn)之間做一個(gè)向量P來(lái)表示動(dòng)坐標(biāo)系的位置，即為式2.2。動(dòng)坐標(biāo)系的神態(tài)可由其坐標(biāo)軸方向來(lái)表示，令n、o、a分別為X?、Y?、Z?坐標(biāo)軸的單位向量，每個(gè)向量都由其所在固定坐標(biāo)系中的三個(gè)分量表示：

?n?nx??o?ox?a?ax????nyoyaynzozaz?0?（2.7）0?0TTT動(dòng)坐標(biāo)系的位姿可以由三個(gè)表示方向的單位向量以及第四個(gè)位置向量來(lái)表示，式中前三個(gè)向量是w?0的方向向量，表示該坐標(biāo)系的三個(gè)單位向量n、o和a的方向，而第四個(gè)

w?1的向量表示動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)相對(duì)于固定坐標(biāo)系的位置。與單位向量不同，向量P的長(zhǎng)

度十分重要，因而比例因子為1。

F??noa?nx?np???y?nz??0oxoyoz0axayaz0px?py??（2.8）pz??1?由于動(dòng)坐標(biāo)系一直固接在該剛體上，只要?jiǎng)幼鴺?biāo)系在空間表示出來(lái)，剛體相對(duì)于固定坐

標(biāo)系的位姿也可以采用式2-8進(jìn)行描述。空間中的剛體具有沿著X、Y和Z三軸的移動(dòng)和繞三軸的旋轉(zhuǎn)，因此需要6條獨(dú)立的信息描述剛體的位姿。而式2-8中給出了12條信息，其中9條為神態(tài)信息，3條為位置信息。三個(gè)單位向量n、o和a兩兩正交，因而它的9個(gè)元素滿足6個(gè)約束條件：

n?o?n?a?a?o?0（2.9）

n?o?a?1（2.10）

1.2齊次變換

變換為空間的一個(gè)運(yùn)動(dòng)，由旋轉(zhuǎn)和平移組成。當(dāng)空間的一個(gè)坐標(biāo)系相對(duì)于固定的參考坐

標(biāo)系運(yùn)動(dòng)時(shí)，這一運(yùn)動(dòng)可以用類似于表示坐標(biāo)系的方式來(lái)表示。變換本身就是坐標(biāo)系位姿的變換，分為以下幾種形式：

1.2.1平移的齊次變換

一個(gè)坐標(biāo)系（或剛體）在空間中以不變的神態(tài)運(yùn)動(dòng)，該變換為平移變換。坐標(biāo)系的單位向量保持同一方向不變，所有改變只是坐標(biāo)系原點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的變化，如圖2-2所示。相對(duì)于固定參考系的新的坐標(biāo)系的位置可以用原來(lái)坐標(biāo)系的原點(diǎn)位置向量加上表示位移的向量求得。變換矩陣為：

?1?0T???0??001000dx?0dy??（2.9）1dz??01?其中dx，dy和dz是純平移向量d相對(duì)于參考坐標(biāo)系x，y和z軸的三個(gè)向量，矩陣T的前三列等同于單位矩陣，表示沒(méi)有旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，最終一列表示平移運(yùn)動(dòng)。若坐標(biāo)系平移前的位姿矩陣為：

Fold?nxoxaxPx??nyoyayP?y?（2.9）???nzozazPz???0001??則，坐標(biāo)系平移后的位姿矩陣為：

Fnew?1?0???0??001000dx??nxoxaxPx?dx??nyoyayP?d?0dy?yy???Fold??（2.9）?nzozazPz?dz?1dz????01?0001??也可表示為：

Fnew?Trans(dx,dy,dz)?Fold（2.9）

對(duì)比式子2.9和2.9，坐標(biāo)系平移變換前后的位姿矩陣維數(shù)一致，方向向量保持不變，

僅是位置向量發(fā)生變換，即為d和P相加的結(jié)果。

1.2.2旋轉(zhuǎn)的齊次變換

空間某點(diǎn)P，坐標(biāo)為(Px,Py,Pz)，當(dāng)它繞x軸旋轉(zhuǎn)角后至P?點(diǎn)，坐標(biāo)為(Px?,Py?,Pz?)，

P點(diǎn)和P?點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系為：

?Px??Px??Py?Pycos??Pzsin?（2.9）?P?Psin??Pcos?yz?z寫成矩陣形式為：

?Px???1????Py????0??Pz?????0也可表示為：

0co?ssin???Px??P??sin????y?（2.9）

co?s????Pz??0P??Rot(x,?)?P（2.9）

Rot(x,?)表示齊次坐標(biāo)變換時(shí)繞x軸的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，第一列表示相對(duì)于x軸的位置，

其值為1，0，0，它表示沿著x軸的坐標(biāo)沒(méi)有改變。習(xí)慣上采用符號(hào)C?表示cos?，S?表示sin?，因此旋轉(zhuǎn)矩陣表示為：

?10Rot(x,?)???0C???0S?將上式矩陣寫成4?4的齊次變換矩陣為：

0??S???（2.9）C???

?10?0C?Rot(x,?)???0S???00同理，繞y軸和z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣分別為：

0?S?C?00?0??（2.9）0??1??C??0Rot(y,?)????S???01.2.3復(fù)合變換

0S?100C?000??C??S?0??Rot(z,?)???00???1??0?S?C?0000100?0??（2.9）0??1?復(fù)合變換是由固定參考坐標(biāo)系或當(dāng)前運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的一系列沿軸平移和繞軸旋轉(zhuǎn)變換所

組成的。任何變換都可以分解為按一定順序的一組平移和旋轉(zhuǎn)變換，將兩種變換組合在一個(gè)齊次變換中，稱為復(fù)合變換。在計(jì)算變換矩陣時(shí)，要考慮算子左、右乘規(guī)則：假使相對(duì)于固定坐標(biāo)系進(jìn)行變換，則算子左乘；假使相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系進(jìn)行變換，則算子右乘。

動(dòng)坐標(biāo)系?n,o,a?相對(duì)于參考坐標(biāo)系?x,y,z?依次進(jìn)行下面三種變換：（1）繞x軸旋轉(zhuǎn)?度；（2）接著沿x軸平移l1，沿z軸平移l3；（3）最終，繞y軸旋轉(zhuǎn)?度。

點(diǎn)P固連在動(dòng)坐標(biāo)系上，動(dòng)坐標(biāo)系與固定坐標(biāo)系重合，隨著動(dòng)坐標(biāo)系?n,o,a?相對(duì)于固

定坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)或平移時(shí)，坐標(biāo)系中的P點(diǎn)相對(duì)于固定坐標(biāo)系也跟著改變，第一步變換后，P點(diǎn)相對(duì)于固定坐標(biāo)系的坐標(biāo)為：

P1,xyz?Rot(x,?)?P；（2.9）

其次步變換后，P點(diǎn)相對(duì)于固定坐標(biāo)系的坐標(biāo)為：

P2,xyz?Trans(l1,0,l3)?P(l1,0,l3)?Rot(x,?)?P；（2.9）1,xyz?Trans第三步變換后，P點(diǎn)相對(duì)于固定坐標(biāo)系的坐標(biāo)為：

P(l1,0,l3)?Rot(x,?)?P；（2.9）3,xyz?Rot(y,?)?P2,xyz?Rot(y,?)?Trans

每一步變換都是用變換矩陣左乘P點(diǎn)的坐標(biāo)得到該點(diǎn)相對(duì)于固定坐標(biāo)系的坐標(biāo)，矩陣

的書寫順序和進(jìn)行變換的順序正好相反，變換的順序很重要，假使顛倒了變換的順序，結(jié)果將完全不同。

1.2.4相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系的變換

上述介紹的變換是相對(duì)于固定坐標(biāo)系進(jìn)行的，所有的平移距離和旋轉(zhuǎn)角度都是相對(duì)于參

考坐標(biāo)系軸來(lái)測(cè)量的。在實(shí)際應(yīng)用中，也有可能相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系或當(dāng)前坐標(biāo)系的軸變換。點(diǎn)

P固連在動(dòng)坐標(biāo)系?n,o,a?上，依次進(jìn)行下面三種變換：（1）繞a軸旋轉(zhuǎn)?度；（2）接著

沿n軸平移l1，沿a軸平移l3；（3）最終，繞o軸旋轉(zhuǎn)?度。

為了計(jì)算當(dāng)前坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的變化，這時(shí)需要右乘變換矩陣而不

是左乘。第一步變換后，P點(diǎn)相對(duì)于固定坐標(biāo)系的坐標(biāo)為：

P1,xyz?Rot(a,?)?P；其次步變換后，P點(diǎn)相對(duì)于固