吉林省通化市2023屆高三第二次教學質(zhì)量檢查考試數(shù)學試題試卷

吉林省通化市2023屆高三第二次教學質(zhì)量檢查考試數(shù)學試題試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．曲線在點處的切線方程為，則（）A． B． C．4 D．82．“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員?面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)?緊跟時代脈搏的熱門?該款軟件主要設有“閱讀文章”?“視聽學習”兩個學習模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專項答題”?“挑戰(zhàn)答題”四個答題模塊?某人在學習過程中，“閱讀文章”不能放首位，四個答題板塊中有且僅有三個答題板塊相鄰的學習方法有（）A．60 B．192 C．240 D．4323．下列說法正確的是（）A．命題“，”的否定形式是“，”B．若平面，，，滿足，則C．隨機變量服從正態(tài)分布（），若，則D．設是實數(shù)，“”是“”的充分不必要條件4．復數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，則的虛部為（）A． B． C． D．5．已知，，若，則向量在向量方向的投影為（）A． B． C． D．6．已知F是雙曲線（k為常數(shù)）的一個焦點，則點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為（）A．2k B．4k C．4 D．27．已知函數(shù)若關于的方程有六個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A． B．C． D．9．設全集，集合，則＝()A． B． C． D．10．在中，角、、的對邊分別為、、，若，，，則（）A． B． C． D．11．已知全集U=x|x2≤4,x∈Z，A．-1 B．-1,0 C．-2,-1,0 D．-2,-1,0,1,212．馬林●梅森是17世紀法國著名的數(shù)學家和修道士，也是當時歐洲科學界一位獨特的中心人物，梅森在歐幾里得、費馬等人研究的基礎上對2p﹣1作了大量的計算、驗證工作，人們?yōu)榱思o念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻，將形如2P﹣1（其中p是素數(shù)）的素數(shù)，稱為梅森素數(shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實數(shù)，滿足，則的最小值為__________．14．在一底面半徑和高都是的圓柱形容器中盛滿小麥，有一粒帶麥銹病的種子混入了其中．現(xiàn)從中隨機取出的種子，則取出了帶麥銹病種子的概率是_____．15．的展開式中含的系數(shù)為__________．（用數(shù)字填寫答案）16．設是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，且，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知正項數(shù)列的前項和.（1）若數(shù)列為等比數(shù)列，求數(shù)列的公比的值；（2）設正項數(shù)列的前項和為，若，且.①求數(shù)列的通項公式；②求證：.18．（12分）已知動圓E與圓外切，并與直線相切，記動圓圓心E的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點的直線l交曲線C于A，B兩點，若曲線C上存在點P使得，求直線l的斜率k的取值范圍.19．（12分）設函數(shù)，是函數(shù)的導數(shù).（1）若，證明在區(qū)間上沒有零點；（2）在上恒成立，求的取值范圍.20．（12分）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是，直線和直線的極坐標方程分別是（）和（），其中（）.（1）寫出曲線的直角坐標方程；（2）設直線和直線分別與曲線交于除極點的另外點，，求的面積最小值.21．（12分）某學生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時間的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如下表），得到了散點圖（如下圖）.表中，.（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間關于開關旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型？（不必說明理由）（2）根據(jù)判斷結果和表中數(shù)據(jù)，建立關于的回歸方程；（3）若單位時間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比，那么，利用第（2）問求得的回歸方程知為多少時，燒開一壺水最省煤氣？附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計值分別為，22．（10分）在平面直角坐標系中，將曲線（為參數(shù)）通過伸縮變換，得到曲線，設直線（為參數(shù))與曲線相交于不同兩點，.（1）若，求線段的中點的坐標；（2）設點，若，求直線的斜率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

求函數(shù)導數(shù)，利用切線斜率求出，根據(jù)切線過點求出即可.【詳解】因為，所以，故，解得，又切線過點，所以，解得，所以，故選：B【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，切線方程，屬于中檔題.2、C【解析】

四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法．注意按“閱讀文章”分類．【詳解】四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法，由于“閱讀文章”不能放首位，因此不同的方法數(shù)為．故選：C．【點睛】本題考查排列組合的應用，考查捆綁法和插入法求解排列問題．對相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插入法是解決這類問題的常用方法．3、D【解析】

由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項A；可能相交，可判斷B選項；利用正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項C；或，利用集合間的包含關系可判斷選項D.【詳解】命題“，”的否定形式是“，”，故A錯誤；，，則可能相交，故B錯誤；若，則，所以，故，所以C錯誤；由，得或，故“”是“”的充分不必要條件，D正確.故選：D.【點睛】本題考查命題的真假判斷，涉及到特稱命題的否定、面面相關的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等，是一道容易題.4、C【解析】

，分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)即可.【詳解】由已知，，故的虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算，考查學生的基本運算能力，是一道基礎題.5、B【解析】

由，，，再由向量在向量方向的投影為化簡運算即可【詳解】∵∴，∴，∴向量在向量方向的投影為.故選：B.【點睛】本題考查向量投影的幾何意義，屬于基礎題6、D【解析】

分析可得,再去絕對值化簡成標準形式,進而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】當時,等式不是雙曲線的方程；當時,,可化為,可得虛半軸長,所以點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選：D【點睛】本題考查雙曲線的方程與點到直線的距離.屬于基礎題.7、B【解析】

令，則，由圖象分析可知在上有兩個不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解決.【詳解】令，則，如圖與頂多只有3個不同交點，要使關于的方程有六個不相等的實數(shù)根，則有兩個不同的根，設由根的分布可知，，解得.故選：B.【點睛】本題考查復合方程根的個數(shù)問題，涉及到一元二次方程根的分布，考查學生轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結合的思想，是一道中檔題.8、B【解析】

根據(jù)定義域排除，求出的值，可以排除，考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域為，所以不合題意；選項，計算，不符合函數(shù)圖象；對于選項，與函數(shù)圖象不一致；選項符合函數(shù)圖象特征.故選：B【點睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式，主要利用函數(shù)性質(zhì)分析，常見方法為排除法.9、A【解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合的補集.【詳解】由解得，故，所以，故選A.【點睛】本小題主要考查補集的概念及運算，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎題.10、B【解析】

利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值.【詳解】，即，即，，，得，，.由余弦定理得，由正弦定理，因此，.故選：B.【點睛】本題考查三角形中角的正弦值的計算，考查兩角差的正弦公式、邊角互化思想、余弦定理與正弦定理的應用，考查運算求解能力，屬于中等題.11、C【解析】

先求出集合U，再根據(jù)補集的定義求出結果即可．【詳解】由題意得U=x|∵A=1,2∴CU故選C．【點睛】本題考查集合補集的運算，求解的關鍵是正確求出集合U和熟悉補集的定義，屬于簡單題．12、C【解析】

模擬程序的運行即可求出答案．【詳解】解：模擬程序的運行，可得：p＝1，S＝1，輸出S的值為1，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝3，S＝7，輸出S的值為7，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝5，S＝31，輸出S的值為31，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝7，S＝127，輸出S的值為127，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝9，S＝511，輸出S的值為511，此時，不滿足條件p≤7，退出循環(huán)，結束，故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是5，故選：C．【點睛】本題主要考查程序框圖，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由約束條件先畫出可行域，然后求目標函數(shù)的最小值.【詳解】由約束條件先畫出可行域，如圖所示，由，即，當平行線經(jīng)過點時取到最小值，由可得，此時，所以的最小值為.故答案為.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃的知識，解題的一般步驟為先畫出可行域，然后改寫目標函數(shù)，結合圖形求出最值，需要掌握解題方法.14、【解析】

求解占圓柱形容器的的總容積的比例求解即可.【詳解】解：由題意可得：取出了帶麥銹病種子的概率．故答案為：．【點睛】本題主要考查了體積類的幾何概型問題,屬于基礎題.15、【解析】由題意得，二項式展開式的通項為，令，則，所以得系數(shù)為．16、18【解析】

將已知已知轉(zhuǎn)化為的形式，化簡后求得，利用等差數(shù)列前公式化簡，由此求得表達式的值.【詳解】因為，所以.故填：.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及求和，考查運算求解能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）①；②詳見解析.【解析】

（1）依題意可表示，，相減得，由等比數(shù)列通項公式轉(zhuǎn)化為首項與公比，解得答案，并由其都是正項數(shù)列舍根；（2）①由題意可表示，，兩式相減得，由其都是正項并整理可得遞推關系，由等差數(shù)列的通項公式即可得答案；②由已知關系，表示并相減即可表示遞推關系，顯然當時，成立，當，時，表示，由分組求和與正項數(shù)列性質(zhì)放縮不等式得證.【詳解】解：（1）依題意可得，，兩式相減，得，所以，因為，所以，且，解得.（2）①因為，所以，兩式相減，得，即.因為，所以，即.而當時，，可得，故，所以對任意的正整數(shù)都成立，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1，首項為1，所以數(shù)列的通項公式為.②因為，所以，兩式相減，得，即，所以對任意的正整數(shù)，都有.令，而當時，顯然成立，所以當，時，，所以，即，所以，得證.【點睛】本題考查由前n項和關系求等比數(shù)列公比，求等差數(shù)列通項公式，還考查了由分組求和表示數(shù)列和并由正項數(shù)列放縮證明不等式，屬于難題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，結合已知條件，即可容易求得結果；（2）設出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)直線與拋物線相交則，結合由得到的斜率關系，即可求得斜率的范圍.【詳解】（1）因為動圓與圓外切，并與直線相切，所以點到點的距離比點到直線的距離大.因為圓的半徑為，所以點到點的距離等于點到直線的距離，所以圓心的軌跡為拋物線，且焦點坐標為.所以曲線的方程.（2）設，，由得，由得且.，，同理由，得，即，所以，由，得且，又且，所以的取值范圍為.【點睛】本題考查由拋物線定義求拋物線方程，涉及直線與拋物線相交結合垂直關系求斜率的范圍，屬綜合中檔題.19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）先利用導數(shù)的四則運算法則和導數(shù)公式求出，再由函數(shù)的導數(shù)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，可知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上沒有零點；（2）由題意可將轉(zhuǎn)化為，構造函數(shù)，利用導數(shù)討論研究其在上的單調(diào)性，由，即可求出的取值范圍．【詳解】（1）若，則，，設，則，，，故函數(shù)是奇函數(shù)．當時，，，這時，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以當時，.綜上，當時，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，函數(shù)單調(diào)遞減.又，，故在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上沒有零點.（2），由，所以恒成立，若，則，設，.故當時，，又，所以當時，，滿足題意；當時，有，與條件矛盾，舍去；當時，令，則，又，故在區(qū)間上有無窮多個零點，設最小的零點為，則當時，，因此在上單調(diào)遞增.，所以.于是，當時，，得，與條件矛盾.故的取值范圍是.【點睛】本題主要考查導數(shù)的四則運算法則和導數(shù)公式的應用，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及分類討論思想和放縮法的應用，難度較大，意在考查學生的數(shù)學建模能力，數(shù)學運算能力和邏輯推理能力，屬于較難題．20、（1）；（2）16.【解析】

（1）將極坐標方程化為直角坐標方程即可；（2）利用極徑的幾何意義，聯(lián)立曲線，直線，直線的極坐標方程，得出，利用三角形面積公式，結合正弦函數(shù)的性質(zhì)，得出的面積最小值.【詳解】（1）曲線：，