基于廣義誤差分布擴(kuò)展標(biāo)準(zhǔn)的多分形模型參數(shù)估計(jì)和波動(dòng)率預(yù)測(cè)

基于廣義誤差分布擴(kuò)展標(biāo)準(zhǔn)的多分形模型參數(shù)估計(jì)和波動(dòng)率預(yù)測(cè)

1資產(chǎn)收益模型自20世紀(jì)90年代以來(lái)，中國(guó)的股市快速發(fā)展，規(guī)模不斷擴(kuò)大。但是,作為新興市場(chǎng),我國(guó)股市存在自由化程度較低、市場(chǎng)結(jié)構(gòu)不夠健全、市場(chǎng)投機(jī)性較強(qiáng)等不足。另外,正如爆發(fā)于2007年的全球金融危機(jī)表現(xiàn)出來(lái)的那樣,隨著金融全球化進(jìn)程的推進(jìn),國(guó)外的各種政策變化和信息沖擊對(duì)我國(guó)市場(chǎng)的影響力正在逐步增強(qiáng)。國(guó)內(nèi)外因素共同加劇了我國(guó)金融市場(chǎng)的波動(dòng)性。這迫切要求我們不斷提高波動(dòng)率預(yù)測(cè)能力,以更好地管理金融風(fēng)險(xiǎn)。綜觀波動(dòng)率建模與預(yù)測(cè)的文獻(xiàn)資料,標(biāo)準(zhǔn)GARCH模型能夠刻畫波動(dòng)集聚性、時(shí)變性,在短期波動(dòng)率預(yù)測(cè)中一般具有最好的表現(xiàn),是目前最為常用的波動(dòng)預(yù)測(cè)模型。但是,考慮更多資產(chǎn)收益典型事實(shí)(如長(zhǎng)記憶性、區(qū)制轉(zhuǎn)換等)的模型往往能夠提高樣本外預(yù)測(cè)能力。其中,多分形(multifractality)指數(shù)據(jù)的不同階矩的標(biāo)度行為的變異性,或者說(shuō)是不同階矩存在不同程度的長(zhǎng)程相依(long-termdependence),近年來(lái)已經(jīng)得到經(jīng)濟(jì)物理學(xué)家的廣泛認(rèn)可,可以說(shuō)是資產(chǎn)收益的另一個(gè)典型事實(shí)。特別地,Mandelbrot等提出的資產(chǎn)收益多分形模型(multifractalmodelofassetreturns,MMAR)被認(rèn)為是迄今為止最全面地刻畫資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)特征的模型。進(jìn)一步地,Calvet和Fisher提出馬爾可夫轉(zhuǎn)換多分形模型(Markov-switchingmultifractalmodelofassetreturns,MSM),克服了MMAR的非平穩(wěn)性,同時(shí)保留了MMAR的優(yōu)良特性,是另一種波動(dòng)建模的良好選擇,如Idier利用MSM模型研究巴黎、法蘭克福、倫敦和紐約四個(gè)市場(chǎng)的聯(lián)動(dòng)性,發(fā)現(xiàn)了MSM在解釋資產(chǎn)價(jià)格共同變化與聯(lián)系、經(jīng)濟(jì)周期判斷、波動(dòng)的長(zhǎng)記憶性等方面具有重要作用。Chuang等在標(biāo)普500指數(shù)波動(dòng)率預(yù)測(cè)比較研究中發(fā)現(xiàn),MSM模型相對(duì)歷史波動(dòng)率、隱含波動(dòng)率和GARCH模型具有更強(qiáng)的波動(dòng)率預(yù)測(cè)能力。Lux等通過(guò)基于不同數(shù)據(jù)生成過(guò)程的蒙特卡洛模擬研究驗(yàn)證了MSM模型相對(duì)較強(qiáng)的波動(dòng)預(yù)測(cè)能力。盡管已經(jīng)有少量研究通過(guò)實(shí)證研究證實(shí)了MSM的優(yōu)勢(shì)及其在資產(chǎn)定價(jià)、金融風(fēng)險(xiǎn)管理領(lǐng)域的應(yīng)用前景,但相關(guān)的實(shí)證研究還很少,且集中針對(duì)發(fā)達(dá)金融市場(chǎng)的股票、匯率等數(shù)據(jù)集,缺乏來(lái)自新興市場(chǎng)的經(jīng)驗(yàn)證據(jù)。另一方面,標(biāo)準(zhǔn)MSM模型假定殘差序列服從正態(tài)分布,這與金融資產(chǎn)收益序列普遍存在的尖峰厚尾現(xiàn)實(shí)不符。為了考慮收益率分布的厚尾特征,Lux和Morales-Arias將學(xué)生t分布引入MSM模型,實(shí)證結(jié)果表明MSM-t模型在總體上預(yù)測(cè)能力優(yōu)于MSM、(FI)GARCH模型,且MSM和(FI)GARCH模型的聯(lián)合預(yù)測(cè)能力高于任意單個(gè)模型?？梢?更貼近資產(chǎn)收益分布實(shí)際的厚尾分布?xì)埐罴俣ㄓ兄诟倪M(jìn)MSM模型的波動(dòng)預(yù)測(cè)能力。目前MSM模型的殘差分布也僅限于正態(tài)分布和學(xué)生t分布。廣義誤差分布(generalizederrordistribution,GED)的自由度參數(shù)范圍比學(xué)生t分布更大,能夠更加靈活地描述收益率分布的尾部特征。借鑒GARCH模型的殘差設(shè)定方案,在理論上,將GED引入MSM模型不僅能降低不恰當(dāng)殘差假定導(dǎo)致的模型設(shè)定誤差,而且有助于探討波動(dòng)率長(zhǎng)記憶性與收益分布厚尾特征的動(dòng)態(tài)關(guān)系。因此,有必要利用GED擴(kuò)展標(biāo)準(zhǔn)MSM模型。與已有研究相比,本文的主要工作是:第一,首次利用GED擴(kuò)展標(biāo)準(zhǔn)MSM模型,并探討相應(yīng)的參數(shù)估計(jì)和波動(dòng)預(yù)測(cè)問(wèn)題;第二,應(yīng)用MSM模型預(yù)測(cè)中國(guó)股市波動(dòng)率,通過(guò)與GARCH、FIGARCH模型的比較,驗(yàn)證MSM模型在中國(guó)股市波動(dòng)率預(yù)測(cè)中的適用性,為多分形波動(dòng)建模提供來(lái)自新興市場(chǎng)的經(jīng)驗(yàn)證據(jù)。2基于ged的擴(kuò)展標(biāo)準(zhǔn)msm模型假設(shè)瞬時(shí)波動(dòng)率Mt由k個(gè)波動(dòng)乘子(volatilitycomponents)組成,Mt=(M1,t;M2,t;…;Mk,t)∈,Mt的波動(dòng)乘子Mi,t為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,Mi,t的分布函數(shù)為M,要求滿足M≥0,E(M)=1。Mi,t對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)換概率γi,不同且獨(dú)立。假設(shè)t-1時(shí)刻的波動(dòng)率Mt-1已知,則在t時(shí)刻,Mt的波動(dòng)乘子Mi,t以概率γi轉(zhuǎn)換,并從M分布中取值;Mi,t以概率1-γi保持t-1時(shí)刻的取值Mi,t-1不變。與之對(duì)應(yīng)的波動(dòng)狀態(tài)向量為Mt={(m1,…,md}∈(d=2k)。收益率和波動(dòng)率的表達(dá)式分別為:其中,σ表示無(wú)條件波動(dòng)率,μt為收益率殘差,標(biāo)準(zhǔn)模型假定μt～N(0,1)。在Mt條件下,rt-E(rt)～N(0,)。下面利用GED擴(kuò)展標(biāo)準(zhǔn)MSM模型。GED也稱為廣義正態(tài)分布,密度函數(shù)為:其中表伽馬函數(shù)。Calvet和Fisher假設(shè)M服從二項(xiàng)分布,且Mi,t以相同概率分別取值m0和m1。由M的限制條件有:m0值反映了序列的不同波動(dòng)狀態(tài),m0越大,MSM模型可以刻畫的異常值越多,序列的長(zhǎng)記憶和多分形特征越明顯。當(dāng)m0=1時(shí),波動(dòng)率為常數(shù),此時(shí)序列不具有長(zhǎng)記憶和多分形特征。收益率殘差服從標(biāo)準(zhǔn)學(xué)生t分布或標(biāo)準(zhǔn)GED分布時(shí),MSM的模型參數(shù)向量為其中,m0為波動(dòng)乘子的分布參數(shù),σ為無(wú)條件波動(dòng)率,b和γk為波動(dòng)乘子的轉(zhuǎn)換概率參數(shù),v表示自由度,也稱形狀參數(shù)。從參數(shù)化程度看,MSM模型與GARCH模型一樣簡(jiǎn)單,但通過(guò)波動(dòng)乘子的狀態(tài)轉(zhuǎn)換卻能產(chǎn)生更為靈活多樣的波動(dòng)特征,以增強(qiáng)對(duì)真實(shí)波動(dòng)率的擬合程度。另外,收益率分布與殘差分布假定和波動(dòng)過(guò)程密切相關(guān)。與GARCH族模型不同,MSM模型的殘差分布假定與波動(dòng)過(guò)程會(huì)相互影響,這種交互作用最終共同決定了收益率分布。利用極大似然法估計(jì)MSM模型參數(shù),在GED殘差分布假定下,對(duì)數(shù)似然函數(shù)為:其中,rt代表第t天的收益率,ω(rt)=(g[rt;σ2(m1),],…,g[rt;σ2(md)])代表rt在不同波動(dòng)狀態(tài)下的概率密度組成的向量,A指狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,其元素為aij=P(Mt+1=mj|Mt=mi)i,j=1,…d,Πt為條件概率矩陣,它可以通過(guò)ω(rt-1)和A計(jì)算。獲得參數(shù)估計(jì)值以后,波動(dòng)率預(yù)測(cè)通過(guò)貝葉斯方法實(shí)現(xiàn),即首先利用參數(shù)估計(jì)值預(yù)測(cè)波動(dòng)狀態(tài)空間{m1,…,md],那么,給定Πt的條件下,未來(lái)波動(dòng)狀態(tài)的概率分布為:最后結(jié)合波動(dòng)狀態(tài)空間和波動(dòng)狀態(tài)概率分布,預(yù)測(cè)未來(lái)波動(dòng)率:3確認(rèn)研究3.1描述性統(tǒng)計(jì)分析樣本數(shù)據(jù)為上證綜指2006年1月2日至2013年3月29日的每日收盤價(jià),共計(jì)1758個(gè)交易日。日收益率通過(guò)相鄰兩個(gè)交易日的對(duì)數(shù)收盤價(jià)之差計(jì)算,共1757個(gè)收益率數(shù)據(jù),其中前1045個(gè)樣本數(shù)據(jù)用于模型樣本內(nèi)估計(jì),后712個(gè)樣本數(shù)據(jù)用于模型預(yù)測(cè)。數(shù)據(jù)來(lái)源于同花順炒股軟件。由表1所示的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果及相關(guān)檢驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn):上證綜指日收益率序列不服從正態(tài)分布,存在明顯的尖峰厚尾特征;序列平穩(wěn),存在ARCH效應(yīng),可以采用GARCH類模型進(jìn)行波動(dòng)率建模;Sattarhoff提出的多分形檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量M在99%置信水平下拒絕原假設(shè),表明收益率序列存在顯著的多分形性,有必要在波動(dòng)率建模中考慮多分形特性。3.2fiearch模型簡(jiǎn)單模型往往展現(xiàn)出良好的波動(dòng)預(yù)測(cè)能力,而長(zhǎng)記憶性是多分形特性的一種最常見表現(xiàn)形式。因此,后文考慮標(biāo)準(zhǔn)GARCH和考慮長(zhǎng)記憶性的FI-GARCH模型作為對(duì)比模型。由于FIGARCH模型存在對(duì)系數(shù)的限制,過(guò)多滯后項(xiàng)會(huì)增加參數(shù)估計(jì)誤差,因而選擇FIGARCH(1,d,1)模型。限于篇幅,GARCH模型和FIGARCH模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果不在文中列示,有需要可向作者索取。表2列示了不同殘差分布假定下的MSM模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果。MSM、MSM-t和MSM-GED的分布參數(shù)m0均顯著不等于1,說(shuō)明收益率序列存在長(zhǎng)記憶性和多分形性。MSM-GED自由度顯著小于2,說(shuō)明表明收益率殘差序列具有比正態(tài)分布更厚的尾部特征。值得注意的是,殘差分布假定對(duì)MSM模型的參數(shù)估計(jì)具有顯著影響:對(duì)于分布參數(shù)m0,MSM-t和MSM-GED的m0值比MSM模型小,這說(shuō)明在學(xué)生t分布和GED假定下,為獲得更好的擬合效果,必須在表征尾部厚度的自由度參數(shù)v和刻畫分形特征的分布參數(shù)m0之間權(quán)衡;厚尾殘差分布假定會(huì)影響MSM模型的分形參數(shù),進(jìn)而影響其波動(dòng)預(yù)測(cè)能力。3.3殘差假定對(duì)模型預(yù)測(cè)的影響為評(píng)價(jià)不同模型的波動(dòng)預(yù)測(cè)能力,采用滾動(dòng)窗口法進(jìn)行動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè),即設(shè)定時(shí)間窗口H=1045,利用t至t+1044(t=1,…712)估計(jì)模型參數(shù),基于參數(shù)估計(jì)值分別進(jìn)行向前1天、5天、10天和22天的波動(dòng)率預(yù)測(cè)。以日內(nèi)收益平方作為市場(chǎng)真實(shí)波動(dòng)率的代理變量,采用常見預(yù)測(cè)誤差指標(biāo),如MAE、RMSE、QLIKE、R2LOG、HMAE和HMSE等綜合評(píng)價(jià)波動(dòng)率預(yù)測(cè)精度,結(jié)果如表3、表4所示。HMAE和HMSE給出的結(jié)果與表4類似,這里不列出。首先進(jìn)行同一模型在不同殘差假定和不同預(yù)測(cè)期的預(yù)測(cè)誤差分析。對(duì)于GARCH模型,當(dāng)預(yù)測(cè)期相同時(shí),改變殘差假定對(duì)波動(dòng)率預(yù)測(cè)能力基本沒(méi)有影響;在相同的殘差假定下,隨著預(yù)測(cè)期延長(zhǎng),其預(yù)測(cè)誤差隨之增加,預(yù)測(cè)能力下降。FIGARCH模型的情形與之類似。對(duì)于MSM模型,在相同的殘差假定下,隨著預(yù)測(cè)期的延長(zhǎng),預(yù)測(cè)誤差也會(huì)隨之變大,這與GARCH和FIGARCH模型相似;當(dāng)預(yù)測(cè)期相同時(shí),根據(jù)QLIKE和R2LOG的結(jié)果,采用厚尾分布?xì)埐罴俣梢栽谝欢ǔ潭壬辖档筒▌?dòng)率預(yù)測(cè)誤差,提高預(yù)測(cè)能力,其中尾部參數(shù)靈活度更高的GED表現(xiàn)最好。這與殘差分布假定的作用機(jī)理有關(guān),MSM模型的不僅可以通過(guò)參數(shù)估計(jì)值影響波動(dòng)預(yù)測(cè)結(jié)果,還可以通過(guò)未來(lái)波動(dòng)狀態(tài)的概率分布實(shí)現(xiàn)影響,而(FI)GARCH模型殘差假定只會(huì)影響模型參數(shù)估計(jì),對(duì)樣本內(nèi)的擬合效果影響更顯著,對(duì)樣本外預(yù)測(cè)的影響不明顯。因此,MSM模型在波動(dòng)預(yù)測(cè)中可以更加充分地利用殘差分布假定新息,從而獲得更接近真實(shí)波動(dòng)率的預(yù)測(cè)值,具有更強(qiáng)的波動(dòng)率預(yù)測(cè)能力,尤其是尾部信息更豐富的MSM-GED模型。其次進(jìn)行不同模型的橫向比較。在相同殘差分布假定下,根據(jù)MAE和RMSE,三個(gè)模型的短期(向前1天)預(yù)測(cè)能力無(wú)差異,但QLIKE和R2LOG顯示MSM模型具有更強(qiáng)的短期預(yù)測(cè)能力。在中長(zhǎng)期(向前一周、兩周、一個(gè)月)波動(dòng)預(yù)測(cè)中,無(wú)論在何種殘差分布假定下,所有預(yù)測(cè)誤差均表明MSM模型能夠提供更精確的波動(dòng)率預(yù)測(cè)。綜合三種殘差分布和三個(gè)波動(dòng)模型組成的9種情形來(lái)看,在向前一天的短期預(yù)測(cè)中,MAE和RMSE顯示所有模型的預(yù)測(cè)效果無(wú)差異,其他誤差指標(biāo)說(shuō)明MSM-GED模型的預(yù)測(cè)效果最優(yōu)。在中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)中,除了MAE和RMSE指示的極少數(shù)情形外,所有誤差指標(biāo)均說(shuō)明MSM-GED模型具有最好的波動(dòng)率預(yù)測(cè)效果。4多分形性模型分析本文在MSM模型中引入GED殘差分布假定,并利用極大似然法估計(jì)模型參數(shù),通過(guò)貝葉斯更新預(yù)測(cè)波動(dòng)率。以上證綜指日收益率為樣本數(shù)據(jù)的實(shí)證研究表明,中國(guó)股市確