【解析】山西省忻州市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題

20192020學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)（理）試題第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)正確.每小題5分，共60分）1.若復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，代入已知等式利用復(fù)數(shù)相等的定義計(jì)算．【詳解】設(shè)，則為，即，所以，解得，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的定義，掌握復(fù)數(shù)相等定義是解題關(guān)鍵．2.已知:命題“”;命題“”,則下列命題正確的是A.命題“”是真命題 B.命題“”是真命題C.命題“”是真命題 D.命題“”是真命題【答案】B【解析】【詳解】【分析】因?yàn)?所以命題p是假命題,則命題是真命題;由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,命題q是真命題,命題是假命題,故命題“”是真命題.故選B3.如右邊程序框圖所示，已知集合A={x|框圖中輸出的x值}，集合B={y|框圖中輸出的y值}，全集U=Z（Z為整數(shù)集），當(dāng)輸入x的值為一l時(shí)．（A. B. C. D.【答案】D【解析】考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)；交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．專題：圖表型．分析：結(jié)合程序框圖的要求，寫出所有的循環(huán)結(jié)果，即求出集合A，B；利用集合的交集，補(bǔ)集的定義求出值．解答：解；經(jīng)過第一次循環(huán)輸出y=3，x=0經(jīng)過第二次循環(huán)輸出y=1，x=1經(jīng)過第三次循環(huán)輸出y=1，x=2經(jīng)過第四次循環(huán)輸出y=3，x=3經(jīng)過第五次循環(huán)輸出y=5，x=4經(jīng)過第六次循環(huán)輸出y=7，x=5經(jīng)過第七次循環(huán)輸出y=9，x=6結(jié)束循環(huán)所以A={0，1，2，3，4，5，6}；B={3，1，1，3，5，7，9}（CUA）∩B={3，1，7，9}故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)是常采用寫出其前幾次循環(huán)結(jié)果，找規(guī)律、考查集合的交集，補(bǔ)集，并集的定義．4.已知向量滿足,向量是與同向的單位向量,則向量在向量上的投影向量為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)投影的公式以及單位向量的概念求解即可.【詳解】.故在上的投影為.又因?yàn)槭桥c同向的單位向量.故在上的投影向量為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了投影的公式以及單位向量的理解等.屬于基礎(chǔ)題型.5.等于（）A.1 B.2 C. D.4【答案】D【解析】【分析】對(duì)定積分進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)的正負(fù)進(jìn)行分段，根據(jù)定積分的公式，得到答案.【詳解】.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用微積分基本定理求定積分的值，屬于簡(jiǎn)單題.6.現(xiàn)有6位同學(xué)站成一排照相，甲乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？（）A.720 B.360 C.240 D.120【答案】C【解析】【分析】6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起，這是相鄰問題，一般用“捆綁法”.將甲乙兩名同學(xué)“捆綁”在一起，看成一個(gè)元素，再與剩下的4人一起全排列，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)果.【詳解】將甲乙“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，與其余4人一起排列，而甲和乙之間還有一個(gè)排列，共有.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合、兩個(gè)基本原理的應(yīng)用，相鄰問題“捆綁法”求解，屬于基礎(chǔ)題.7.若，則函數(shù)的圖象在處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由微積分基本定理求得值，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求切線方程.【詳解】，，，，則切線方程為，即．【點(diǎn)睛】本題考查微積分基本定理和由導(dǎo)函數(shù)求切線方程，屬于基礎(chǔ)題.8.從點(diǎn)向圓引切線，則切線長(zhǎng)的最小值()A. B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)切線長(zhǎng)為,則再利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求函數(shù)的最小值得解.【詳解】設(shè)切線長(zhǎng)為,則,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線問題,考查直線和圓的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.9.已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是邊長(zhǎng)為的等腰三角形和邊長(zhǎng)為的正方形，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是棱長(zhǎng)為的正方體中一三棱錐P﹣ABC，如圖所示；∴該三棱錐的體積為××a2×a=．故選A．點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.10.已知實(shí)數(shù)1，，4構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】，則，當(dāng)，則，離心率；當(dāng)，則，離心率；所以離心率為或，故選C．11.設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令，確定在上是減函數(shù)，不等式等價(jià)為，根據(jù)單調(diào)性解得答案.【詳解】由，得，即，令，則當(dāng)時(shí)，得，即在上是減函數(shù)，，，即不等式等價(jià)為，在是減函數(shù)，由得，即，又，解得，故.故選:：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)單調(diào)性解不等式，構(gòu)造函數(shù)，確定其單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.12.已知函數(shù)，，，若，，使得成立，則的最小值為（）A.5 B.4 C. D.3【答案】A【解析】【詳解】【分析】,則當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,,,作函數(shù)的圖像如圖所示，

當(dāng)時(shí)，方程兩根分別為和，則的最小值為.故選A點(diǎn)晴:本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性,任意性與存在性問題，可利用數(shù)形結(jié)合的辦法解決，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.對(duì)于方程的有解，恒成立問題以及可轉(zhuǎn)化為有解、恒成立問題的問題，注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）13.若，滿足約束條件，則的最小值為_____．【答案】【解析】【分析】先畫出約束條件的可行域，再求出可行域中各角點(diǎn)的坐標(biāo)，將各點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)的解析式，分析后易得目標(biāo)函數(shù)的最小值．【詳解】解：由約束條件得如圖所示的三角形區(qū)域，令，，顯然當(dāng)平行直線過點(diǎn)，時(shí)，取得最小值為：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求最小值問題，我們常用幾何法求最值.14.已知向量與的夾角為，，，則__________.【答案】6.【解析】【分析】求出即得解.【詳解】由題意，向量的夾角為，所以，所以.故答案為：6【點(diǎn)睛】本題主要考查向量模的計(jì)算，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.15.若函數(shù)在上無極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在R上恒大于等于零即可，，分離參數(shù)即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在R上無極值點(diǎn)，故函數(shù)單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，又，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性，極值，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于中檔題.16.已知定義在上的函數(shù)存在零點(diǎn)，且對(duì)任意，都滿足，則函數(shù)有_____個(gè)零點(diǎn)．【答案】3.【解析】因?yàn)槎x在上的函數(shù)存在零點(diǎn)，且對(duì)任意，都滿足，所以可設(shè)為的零點(diǎn)，則，，，令得分別作出和函數(shù)圖象，如圖所示，由圖象可知，和函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，有三個(gè)零點(diǎn)，故答案為.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與方程思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個(gè)數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)．三、解答題（本大題6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，并把解答寫在答卷紙的相應(yīng)位置上只寫最終結(jié)果的不得分）17.在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且asinB＝－bsin.(1)求A；(2)若△ABC的面積S＝c2，求sinC的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式即得A=.(2)先根據(jù)△ABC的面積S＝c2得到b＝c，再利用余弦定理得到a＝c，再利用正弦定理求出sinC的值．【詳解】(1)因?yàn)閍sinB＝－bsin，所以由正弦定理得sinA＝－sin，即sinA＝－sinA－cosA，化簡(jiǎn)得tanA＝－，因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝.(2)因?yàn)锳＝，所以sinA＝，由S＝c2＝bcsinA＝bc，得b＝c，所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝7c2，則a＝c，由正弦定理得sinC＝.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.18.已知等差數(shù)列中，，，，順次成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，的前項(xiàng)和，求.【答案】(1)；（2）【解析】【分析】（1）利用三項(xiàng)成等比數(shù)列可得，利用和來表示該等式，可求得；利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得結(jié)果；（2）由（1）可得，則可利用裂項(xiàng)相消的方法來進(jìn)行求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，順次成等比數(shù)列，又，化簡(jiǎn)得：，解得：（2）由（1）得：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和的問題，關(guān)鍵是熟練掌握關(guān)于通項(xiàng)中涉及到的裂項(xiàng)方法.19.某蔬果經(jīng)銷商銷售某種蔬果，售價(jià)為每公斤25元，成本為每公斤15元.銷售宗旨是當(dāng)天進(jìn)貨當(dāng)天銷售.如果當(dāng)天賣不出去，未售出的全部降價(jià)以每公斤10元處理完.根據(jù)以往的銷售情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算該種蔬果日需求量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）；（2）該經(jīng)銷商某天購進(jìn)了250公斤這種蔬果，假設(shè)當(dāng)天的需求量為公斤，利潤為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并結(jié)合頻率分布直方圖估計(jì)利潤不小于1750元的概率.【解析】【分析】（1）用頻率分布直方圖的每一個(gè)矩形的面積乘以矩形的中點(diǎn)坐標(biāo)求和即為平均值；（2）討論日需求量與250公斤的關(guān)系，寫出分段函數(shù)再利用頻率分布直方圖求概率即可.【詳解】（1）故該種蔬果日需求量的平均數(shù)為265公斤.（2）當(dāng)日需求量不低于250公斤時(shí)，利潤元,當(dāng)日需求量低于250公斤時(shí)，利潤元所以由得，所以＝故估計(jì)利潤不小于1750元概率為0.7.【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，做此類題的關(guān)鍵是理解題意，屬于中檔題.20.如圖，在多面體中，平面，平面平面，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】(1)通過面面垂直的判定轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直從而證明;(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量計(jì)算即可.【詳解】證明：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，∵，∴，，∵平面，平面平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴，又，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵是等邊三角形，∴，∵平面，平面平面，平面平面，∴平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．解：（2）由（1）得平面，∴，又，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面一個(gè)法向量為，，則，取，得，設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為，則．∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的空間想象能力及計(jì)算能力,難度不大.建立合適的空間直角坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵.21.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，是曲線上的任意一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與點(diǎn)的軌跡方程交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)符合題意.【解析】【分析】（1）設(shè)，，利用相關(guān)點(diǎn)代入法得到點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，因?yàn)橹本€l的傾斜角不可能為，故設(shè)直線l的方程為，利用斜率和為0，求得，從而得到定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)，，則，，.又，則即因?yàn)辄c(diǎn)N為曲線上的任意一點(diǎn)，所以，所以，整理得，故點(diǎn)C的軌跡方程為.（2）設(shè)存在點(diǎn)，使得，所以.由題易知，直線l的傾斜角不可能為，故設(shè)直線l的方程為，將代入，得.設(shè)，，則，.因?yàn)椋?，即，所?故存在點(diǎn)，使得.【點(diǎn)睛】本題考查相關(guān)點(diǎn)代入法求軌跡方程及拋物線中的定點(diǎn)問題，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，求解時(shí)注意直線方程的設(shè)法，能使運(yùn)算過程更簡(jiǎn)潔.22.已知函數(shù)；.（1）判斷在上的單調(diào)性，并說明理由；（2）求的極值；（3）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）極小值.（3）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定單調(diào)性，（2）利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定導(dǎo)函數(shù)符號(hào)