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本文格式為Word版,下載可任意編輯——數(shù)值分析第五版答案第一章緒論
1.設(shè)x?0,x的相對誤差為?,求lnx的誤差。解:近似值x*的相對誤差為?=e?lnx*??lnx*?lnx?*er?e*x*?x?x*x*而lnx的誤差為
1e*進而有?(lnx*)??x*
2.設(shè)x的相對誤差為2%,求xn的相對誤差。解:設(shè)f(x)?xn,則
函數(shù)的條件數(shù)為C又?f'(x)?nxn?1p?|xf'(x)|f(x),
x?nxn?1?Cp?||?nn又??r((x*)n)?Cp??r(x*)且er(x*)為
??r((x*)n)?0.02n
3.以下各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù),即誤差限不超過最終一位的半個單位,試指出它們是幾位有效數(shù)字:
******x1?1.1021,x2?0.031,x3?385.6,x4?56.430,x5?7?1.0.解:x1?1.1021是**?0.031是二位有效數(shù)字;x3?385.6是四位有效數(shù)五位有效數(shù)字;x2**?56.430是五位有效數(shù)字;x5?7?1.0.是二位有效數(shù)字。字;x44.利用公式(2.3)求以下各近似值的誤差限:(1)
********/x4x1x2x3,(3)x2.其中x1*,x2均為第,x3,x4***x1?x2?x4,(2)
3題所給的數(shù)。解:
121*?(x2)??10?321*?(x3)??10?1
21*?(x4)??10?321*?(x5)??10?12?(x1*)??10?4***(1)?(x1?x2?x4)***??(x1)??(x2)??(x4)111?4?3?3??10??10??10222?1.05?10?3***(2)?(x1x2x3)*********?x1x2?(x3)?x2x3?(x1)?x1x3?(x2)111?1.1021?0.031??10?1?0.031?385.6??10?4?1.1021?385.6??10?3222?0.215**(3)?(x2/x4)
?****x2?(x4)?x4?(x2)*x42110.031??10?3?56.430??10?322?56.430?56.430?10?5
5計算球體積要使相對誤差限為1,問度量半徑R時允許的相對誤差限是多少?解:球體體積為V4??R3則何種函數(shù)的條件數(shù)為3R?V'R?4?R2Cp???3
4V?R33??r(V*)?Cp??r(R*)?3?r(R*)又??r(V*)?1故度量半徑
R時允許的相對
誤差限為?r(R*)?1?1?0.33317831006.設(shè)Y0?28,按遞推公式Y(jié)n?Yn?1?計算到Y(jié)100。若取多大誤差?解:?Yn?Yn?1?783?27.982(5
(n=1,2,…)
位有效數(shù)字),試問計算Y100將有
111783?Y100?Y99?783Y99?Y98?7831001001001783100……Y1?Y0?1783100Y98?Y97?依次代入后,有Y100?Y0?100?若取1783即Y100?Y0?783,100783?27.982,?Y100?Y0?27.982
11*??(Y100)??(Y0)??(27.982)??10?3?Y100的誤差限為?10?3。
227.求方程x2?56x?1?0的兩個根,使它至少具有4位有效數(shù)字(783?27.982)。
783解:x2?56x?1?0,故方程的根應(yīng)為x1,2?28?故
x1?28?783?28?27.982?55.982?x1具有
5位有效數(shù)字
5位有效
x2?28?783?128?783?11??0.017863x2具有
28?27.98255.982數(shù)字8.當(dāng)
N
充分大時,怎樣求?NN?11dx21?x?解
?N?1N1dx?arctan(N?1)?arctanN1?x2設(shè)??arctan(N?1),??arctanN。則tan??N?1,tan??N.
1?N1?x2dx????N?1?arctan(tan(???))tan??tan?1?tan??tan?N?1?N?arctan1?(N?1)N1?arctan2N?N?1?arctan
9.正方形的邊長大約為了100cm,應(yīng)怎樣測量才能使其面積誤差不超過1cm2?解:正方形的面積函數(shù)為A(x)?x2
1??(A*)?2A*??(x*).當(dāng)x*?100時,若?(A*)?1,則?(x*)??10?2
2故測量中邊長誤差限不超過0.005cm時,才能使其面積誤差不超過1cm2
10.設(shè)S?1gt2,假定g是確鑿的,而對t的測量有?0.1秒的誤差,
2證明當(dāng)t增加時S的絕對誤差增加,而相對誤差卻減少。解:?S?1gt2,t?0??(S*)?gt2??(t*)
2?r(S*)??(S*)S*gt2??(t*)當(dāng)t*增加時,S*的絕對誤差增加?1g(t*)22?(t*)?2*t
當(dāng)t*增加時,?(t*)保持不變,則S*的相對誤差減少。11.序列?yn?滿足遞推關(guān)系yn?10yn?1?1(n=1,2,…),若y0?2?1.41(三位有效數(shù)字),計算到y(tǒng)10時誤差有多大?這個
計算過程穩(wěn)定嗎?解:?y0?12?1.41??(y0*)??10?2又?yn?10yn?1?1?y1?10y0?1
2??(y2*)?102?(y0*)??(y1*)?10?(y0*)又?y2?10y1?1??(y2*)?10?(y1*)
??(y10*)?1010?(y0*)
1?1010??10?221??1082
計算到y(tǒng)10時誤差為12.計算f1?108,這個計算過程不穩(wěn)定。2?(2?1)6,取2????,利用以下等式計算,哪一個得
到的結(jié)果最好?
1(2?1)6,(3?22)3,
1(3?22)3,99?702。
解:設(shè)y?(x?1)6,若x?計算y值,則
??y*????????????????1???x*?*7(x?1)1則??x*??1?10?1。若通過2,x*?1.4,
2(2?1)66**y??x?*7(x?1)
??????????????y*??x*?若通過(3?22)3計算y值,則
??y*???????(3?2x*)2???x*?6y*???x*?*3?2x????????????y*??x*???????????
若通過1(3?22)3計算y值,則
??y*??????????????????1*???x?*4(3?2x)1y*??x*?*7(3?2x)
????????????????y*??x*?通過1(3?22)3計算后得到的結(jié)果最好。
x2?1
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