3.實(shí)驗(yàn)三 靜電場(chǎng)的描繪

《大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)講義（電磁學(xué)部分）》PAGE６9-預(yù)習(xí)要求:1.認(rèn)真閱讀本實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(shū)，學(xué)習(xí)用模擬法研究靜電場(chǎng)。2.在正規(guī)的實(shí)驗(yàn)報(bào)告紙上預(yù)先寫(xiě)好實(shí)驗(yàn)報(bào)告的[實(shí)驗(yàn)?zāi)康腯、[儀器和用具]、[實(shí)驗(yàn)原理]三部份并在分組實(shí)驗(yàn)時(shí)呈給指導(dǎo)教師檢查。待實(shí)驗(yàn)后再補(bǔ)充完實(shí)驗(yàn)報(bào)告余下的[實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、步驟]、[數(shù)據(jù)記錄](méi)、[數(shù)據(jù)處理]、[結(jié)果報(bào)道]等部分。通知：1.將坐標(biāo)紙裁成的規(guī)格（兩張），在其中一張坐標(biāo)紙的背面（白色那面畫(huà)一個(gè)六等分的圓），具體畫(huà)法如下：在其中一張坐標(biāo)紙背面（白色那面）畫(huà)兩條對(duì)角線交于一點(diǎn)，以這點(diǎn)為圓心畫(huà)一個(gè)盡量大的圓，此時(shí)圓與兩條對(duì)角線有四個(gè)交點(diǎn)，將其中一條對(duì)角線擦掉，剩一條對(duì)角線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，分別以這兩個(gè)交點(diǎn)為等分點(diǎn)，圓的半徑為等分長(zhǎng)度，在圓上得四個(gè)等分點(diǎn)，將這四個(gè)等分點(diǎn)對(duì)角連線，即得圓六等分。2.若實(shí)驗(yàn)前沒(méi)按要求將坐標(biāo)紙裁好并畫(huà)好一個(gè)六等分圓，實(shí)驗(yàn)操作分扣10分。實(shí)驗(yàn)中會(huì)有個(gè)別同學(xué)需重做，請(qǐng)多帶裁好規(guī)格的坐標(biāo)紙。3.需帶圓規(guī)、直尺、鉛筆、橡皮擦、坐標(biāo)紙（按要求裁好的）、復(fù)寫(xiě)紙。若沒(méi)帶這些用具，請(qǐng)不用來(lái)上該實(shí)驗(yàn)。4.熟練掌握游標(biāo)卡尺的讀數(shù)。實(shí)驗(yàn)三靜電場(chǎng)的描繪[目的]1.學(xué)習(xí)用模擬法研究靜電場(chǎng)；2.描繪圓柱形電容器中的等勢(shì)線。[儀器和用具]1.靜電場(chǎng)描繪儀（DZ-2型）；2.靜電場(chǎng)描繪儀電源（AC-12型,0-12V、1KHZ）；3.游標(biāo)尺(0-150mm、精度：0.02mm)；4.導(dǎo)線4條；5.毫米尺（0－200mm），圓規(guī)，計(jì)算器；6.坐標(biāo)紙二張【140×140(mm)2】，復(fù)寫(xiě)紙【140×140(mm)2】注：5和6由學(xué)員自帶。[原理]一、靜電場(chǎng)與穩(wěn)恒電流場(chǎng)靜電場(chǎng)是靜止電荷周圍存在的一種特殊物質(zhì)。各種電子器件的研制以及化學(xué)電鍍、靜電噴漆等工藝，均需了解帶電體或電極間的靜電場(chǎng)分布。但是，除極簡(jiǎn)單的情況外，大部分情況下不能得到靜電場(chǎng)的解析表達(dá)式。為了解決實(shí)際問(wèn)題，一般借助實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)描述電場(chǎng)強(qiáng)度或其電勢(shì)的空間分布。但是由于靜電場(chǎng)中不存在電流，無(wú)法用直流電表直接測(cè)量，而用靜電式儀表測(cè)量，必須用金屬探頭，然而金屬探頭伸入靜電場(chǎng)中將發(fā)生靜電感應(yīng)現(xiàn)象，產(chǎn)生感應(yīng)電荷，感應(yīng)電荷的電場(chǎng)疊加于被測(cè)的靜電場(chǎng)中，改變了靜電場(chǎng)原來(lái)的分布，使之發(fā)生顯著的變化，導(dǎo)致測(cè)量誤差極大。因此，一般采用間接測(cè)量的方法來(lái)描述靜電場(chǎng)，利用穩(wěn)恒電流場(chǎng)來(lái)模擬測(cè)繪靜電場(chǎng)的分布，就是一種常用的測(cè)量方法。靜電場(chǎng)和穩(wěn)恒電流場(chǎng)本是不同的場(chǎng)，但是它們都遵守高斯定理，對(duì)靜電場(chǎng)有對(duì)穩(wěn)恒電流場(chǎng)，則有另外，它們也都引入了電勢(shì)U的概念且電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)又存在的關(guān)系，因此描繪出U的分布即可利用此關(guān)系描繪出的分布。根據(jù)兩種場(chǎng)的這種相似性，我們可將不良導(dǎo)體作為電介質(zhì)，并使其與作為電極的良導(dǎo)體以及輸出電壓穩(wěn)定的電源構(gòu)成閉合電路，從而在不良導(dǎo)體中建立一個(gè)穩(wěn)恒電流場(chǎng)，改變電極和介質(zhì)的形狀，使介質(zhì)中電流場(chǎng)的電位分布與欲測(cè)量的靜電場(chǎng)的電位分布完全相似，測(cè)出穩(wěn)恒電流場(chǎng)的電勢(shì)分布，即可得到相應(yīng)的靜電場(chǎng)的電勢(shì)分布，根據(jù)該電勢(shì)分布圖，描繪出等位線（或等位面）圖，再根據(jù)電力線與等位線正交的性質(zhì)，作出電力線圖，即可得到靜電場(chǎng)的分布圖。上述這種利用規(guī)律和形式上的相似，由一種測(cè)量代替另一種測(cè)量的方法，就稱為模擬法。二、兩共軸無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱體間的靜電場(chǎng)如圖3－1（a）(h→∞)，設(shè)內(nèi)圓柱A的半徑為，其電勢(shì)為；外環(huán)內(nèi)半徑為，其電勢(shì)為，則靜電場(chǎng)中距離軸心為處的P點(diǎn)的電勢(shì)可表示為：（3－1）根據(jù)高斯定理可知，對(duì)于兩共軸無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱體系統(tǒng)，垂直于軸線的任一截面S內(nèi)，都有均勻分布的如圖3－1（b）的輻射狀電力線，這是一個(gè)與圓柱中心軸線無(wú)關(guān)的二維場(chǎng)，即只需研究任一截面上的電場(chǎng)分布即可。而在二維場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度平行于x、y平面，其等位面為一簇同軸圓柱面的同心圓，圓等位面與電力線正交。如圖3－1(b),當(dāng)時(shí)，電荷均勻分布的兩同軸無(wú)限長(zhǎng)圓柱體內(nèi)距軸心距離為的場(chǎng)強(qiáng)大小為（3－2）式中C由圓柱體上的線電荷密度決定。將式（3－2）代入式（3－1）可得（3－3）在r=rb處，電勢(shì)值代入式（8－3）有整理后可得：（3－4）將此式代入式（3－3），并取Ua=U0，Ub=0，整理后可得：即或（3－5）將式（3－5）方程兩邊取自然對(duì)數(shù)的形式可得：（3－6）式（3－5）和式（3－6）即為兩共軸無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱體間靜電場(chǎng)中任意點(diǎn)P的電勢(shì)Ur與該點(diǎn)距軸心的距離的函數(shù)關(guān)系式。三、圓柱形電容器的模擬場(chǎng)對(duì)圓柱形電容器，當(dāng)其圓柱的高度h>>rb時(shí),可將其視為兩共軸無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱體。兩圓柱體間的電勢(shì)分布規(guī)律仍如式（3－6）的函數(shù)關(guān)系，由此關(guān)系式可知，在兩圓柱體間的任意位置，只要r相等，其對(duì)應(yīng)的電勢(shì)值均相等。可見(jiàn)，以r為半徑的圓柱面上的電勢(shì)處處相等，因此，任一截面的電勢(shì)及電場(chǎng)分布的規(guī)律均相等，只要模擬一個(gè)截面的電勢(shì)分布，即可反映整個(gè)圓柱體間的電勢(shì)及電場(chǎng)分布情況。模擬裝置可設(shè)計(jì)為如圖3－2所示的結(jié)構(gòu)。A、B電極分別為高度h≈8mm的銅質(zhì)圓柱體及圓環(huán)，利用自來(lái)水作為兩電極間的導(dǎo)電介質(zhì)；為電源檔，即穩(wěn)定的正弦交流電源。由于水在穩(wěn)恒的直流電流場(chǎng)中會(huì)產(chǎn)生極化現(xiàn)象，從而在模擬場(chǎng)出現(xiàn)一附加電場(chǎng)，與模擬場(chǎng)的原型不符，使描繪出的等勢(shì)線產(chǎn)生較大的偏差。而水在正弦交流電流場(chǎng)中不會(huì)產(chǎn)生極化，而穩(wěn)定的正弦交流電源的電壓、電流有效值是穩(wěn)定的，由此建立的場(chǎng)是穩(wěn)恒的電流場(chǎng)，其等位線與被描繪的靜電場(chǎng)的等位線能夠完全相似，故本實(shí)驗(yàn)的工作電源改用穩(wěn)定的正弦交流電源。因?yàn)檎医涣麟娫磳?duì)水不產(chǎn)生電解，且正弦交流電源的電壓、電流有效值等效于直流電的電壓和電流值，所以只要采用穩(wěn)定的正弦交流電源，當(dāng)實(shí)驗(yàn)中水溫基本不變時(shí)，通過(guò)水中的交流電流有效值可視為穩(wěn)定的，由此建立的場(chǎng)可視為穩(wěn)恒的電流場(chǎng)，其等位線與被描繪的靜電場(chǎng)的等位線必定相似，實(shí)驗(yàn)也證實(shí)了這一點(diǎn)；圖中，為測(cè)量檔，即交流毫伏表，用來(lái)測(cè)定等勢(shì)線，由于其內(nèi)阻(大于2MΩ)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于A、B電極間的電阻值，故電表內(nèi)阻引入的系統(tǒng)誤差完全可略。設(shè)A電極相對(duì)于B電極的電勢(shì)值為U0，A、B間介質(zhì)（水）的等效電阻為R，流經(jīng)介質(zhì)的電流有效值為I，則根據(jù)歐姆定律可得：(3－7)當(dāng)水為均勻時(shí)，由于模擬裝置的對(duì)稱性，則I又可表示為（3－8）式中，h為水的厚度，r為測(cè)量點(diǎn)P離A電極軸心的距離，j為通過(guò)高為h,半徑為r的圓柱面的電流密度（有效值）。當(dāng)電流場(chǎng)空間充滿均勻的電導(dǎo)率為σ的不良導(dǎo)體時(shí)，不良導(dǎo)體內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度與電流密度矢量之間遵循歐姆定律，故根據(jù)歐姆定律的微分形式，有(3－9)式中，σ為介質(zhì)的電導(dǎo)率。聯(lián)解式（8－7）、式（8－8）及式(8－9)可得：（3－10）式中，=常量。因?yàn)閁0及R在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中是保持不變的，因此上式是恒定電流場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)分布表示式，與上述圓柱形電容器中的靜電場(chǎng)強(qiáng)分布關(guān)系式（3－2）完全相似。場(chǎng)強(qiáng)的分布確定后，模擬場(chǎng)中各點(diǎn)的電勢(shì)可根據(jù)下式確定(3－11)式中積分常數(shù)由電極的形狀即邊界條件確定。當(dāng)時(shí)，取，則有：，即，代入式（3－11）可得：（3－12）當(dāng)時(shí)，時(shí)由（3－12）可得將式（3－12）除以式（3－13）可得或?qū)懗墒?3-15)與式(3－6)完全一致?？梢?jiàn)，圓柱形電容器中靜電場(chǎng)的電力線和等勢(shì)線與模擬模型的電流場(chǎng)的電流線和等勢(shì)線具有完全相似的分布，故可用上述的模擬模型來(lái)模擬圓柱形電容器中的電勢(shì)分布，從而描繪出靜電場(chǎng)的分布。歸納以上的討論可知，電流場(chǎng)模擬靜電場(chǎng)的條件為：1.電流場(chǎng)所用的電極系統(tǒng)應(yīng)與被模擬的靜電場(chǎng)的電極系統(tǒng)的幾何形狀相似。2.穩(wěn)恒電流場(chǎng)中的導(dǎo)電物質(zhì)應(yīng)是不良導(dǎo)體，且電阻率分布均勻。3.模擬場(chǎng)所用的電極系統(tǒng)應(yīng)與被模擬的靜電場(chǎng)的電極系統(tǒng)的邊界條件相同。四、實(shí)驗(yàn)裝置及測(cè)繪方法實(shí)驗(yàn)裝置如圖3－3所示，左邊分為上、下兩層，模擬模型安裝在有機(jī)玻璃制成的水槽里并置以底層，上層放置記錄紙。記錄紙由兩張坐標(biāo)紙（用其背面）和一張復(fù)寫(xiě)紙疊加而成，安裝時(shí)將復(fù)寫(xiě)紙夾于兩張坐標(biāo)紙中，再置于記錄平臺(tái)上并用記錄紙壓緊裝置固定好。等臂記錄儀的兩根探針通過(guò)兩銅質(zhì)彈板固定于同一個(gè)手柄座上。一根探針置于作為導(dǎo)電介質(zhì)的水中，另一根置于記錄紙上方，兩根探針始終保持在統(tǒng)一鉛垂線上。移動(dòng)手柄座時(shí)，可保證兩探針的運(yùn)動(dòng)軌跡是一樣的。實(shí)驗(yàn)時(shí)，由水中的探針找到待測(cè)電勢(shì)值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)后，按壓記錄紙上的探針，即可利用復(fù)寫(xiě)紙?jiān)谧鴺?biāo)紙上留下測(cè)量點(diǎn)的記號(hào)，從而描繪出等勢(shì)線，再根據(jù)電力線與等勢(shì)線正交原理，畫(huà)出電力線。這樣就可由等勢(shì)線的間距、電力線的疏密和指向，將抽象的電場(chǎng)形象地反映出來(lái)。[實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與要求]利用模擬法描繪圓柱形電容器中等勢(shì)線的分布。要求：1.首先讀出游標(biāo)卡尺的零點(diǎn)讀數(shù)。然后，按圖3－2連接好電路。2.在圓柱形電容器等勢(shì)線的模擬模型中裝入自來(lái)水（電容器內(nèi)外都得充滿水，但水的高度不能漫過(guò)電極上表面）。然后，在靜電場(chǎng)描繪儀的記錄平臺(tái)上安裝好記錄紙。3.接通靜電場(chǎng)描繪儀電源（f=1KHZ的正弦交流電源）并調(diào)節(jié)其輸出電壓值，使得A、B電極間的電壓值U0=10.00V（用交流毫伏表測(cè)出）。再利用等臂記錄儀裝置，分別測(cè)繪出電勢(shì)值為1.00V、2.00V、3.00V、4.00V、5.00V等五條等勢(shì)線。每條等勢(shì)線至少要有分布較為均勻的六個(gè)等勢(shì)點(diǎn)，并作好記號(hào)。4.根據(jù)測(cè)繪的各等勢(shì)點(diǎn)的記錄圖，利用幾何方法，確定出各等勢(shì)線的共同圓心O，再利用游標(biāo)尺測(cè)出各等勢(shì)點(diǎn)至O點(diǎn)的距離，求出值；以為半徑，畫(huà)出相應(yīng)的等勢(shì)圓，并在各等勢(shì)圓上標(biāo)注其相應(yīng)的、值；再按電極半徑的實(shí)際尺寸，畫(huà)出A、B電極，然后畫(huà)出八條對(duì)稱的電力線。根據(jù)式（8－15），令、作出Y～X圖線，應(yīng)得到一條直線（否則應(yīng)重新測(cè)繪），求出直線的斜率b和截距a，按求出實(shí)驗(yàn)得到的B電極、A電極半徑，與用游標(biāo)尺測(cè)出的B電極、A電極半徑比較，判斷本次實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確程度。[數(shù)據(jù)記錄](méi)各等位線半徑測(cè)量記錄游標(biāo)尺精度：0.02；零點(diǎn)讀數(shù)值A(chǔ)電極半徑：，B電極內(nèi)半徑：毫伏表量程：準(zhǔn)確度等級(jí)：表8－1取AB電極間的電壓有效值：U0=10.00VUr(V)(mm)1234561.002.003.004.005.00書(shū)寫(xiě)實(shí)驗(yàn)報(bào)告應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：1.儀器和用具應(yīng)按實(shí)際所使用的型號(hào)、規(guī)格給出。2