2021年全國(guó)各省市中考真題分類匯編：圓的壓軸題含解析

2021年全國(guó)各省市中考真題匯總：圓的壓軸

1.(2021?威海)如圖，A8是。。直徑，弦C￡＞_LAB,垂足為點(diǎn)E.弦B尸交C￡＞于點(diǎn)G,

點(diǎn)尸在CQ延長(zhǎng)線上，且PF=PG.

(1)求證：PF為。。切線；

(2)若OB=10,BF=16,BE=8,求PF的長(zhǎng).

2.(2021?湖北)如圖，AB為。。直徑，。為。。上一點(diǎn)，BCJ_C。于點(diǎn)C,交。。于點(diǎn)E,

CD與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,BD平分NABC.

(1)求證：C￡＞是。。的切線；

(2)若48=10,CE=l,求CD和。尸的長(zhǎng).

3.(2021?本溪)如圖，在Rt/VIBC中，ZACB=90°,延長(zhǎng)C4到點(diǎn)。，以4。為直徑作

。。，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,延長(zhǎng)8c到點(diǎn)F,使BF=EF.

(1)求證：EF是。。的切線；

(2)若OC=9,AC=4,AE=8,求BF的長(zhǎng).

4.(2021?襄陽)如圖，直線AB經(jīng)過。。上的點(diǎn)C,直線80與。O交于點(diǎn)尸和點(diǎn)O,OA

與。O交于點(diǎn)E,與OC交于點(diǎn)G,OA=OB,CA=CB.

(1)求證：AB是。。的切線；

(2)若FC〃OA,CD=6,求圖中陰影部分面積.

5.(2021?黃石)如圖，PA.P8是。。的切線，A、8是切點(diǎn)，AC是。。的直徑，連接OP,

交。。于點(diǎn)。，交AB于點(diǎn)反

(1)求證：BC//OP-.

(2)若E恰好是。。的中點(diǎn)，且四邊形0AP8的面積是16?,求陰影部分的面積；

(3)若sin/BAC=1?，且AQ=2jE，求切線PA的長(zhǎng).

6.(2021?棗莊)如圖，。。是△4BC的外接圓，點(diǎn)。在8c邊上，/BAC的平分線交。。

于點(diǎn)￡>,連接B￡>,CD,過點(diǎn)。作。。的切線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸.

(1)求證：DP//BCi

(2)求證：XABDSXDCP；

(3)當(dāng)AB=5cm,AC=12cm時(shí),求線段PC的長(zhǎng).

7.(2021?呼和浩特)已知AB是。。的任意一條直徑.

(1)用圖1,求證：。。是以直徑AB所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；

(2)已知。。的面積為4兀，直線CD與。。相切于點(diǎn)C,過點(diǎn)8作BOLCD,垂足為

如圖2.

求證：①工802=28。；

2

②改變圖2中切點(diǎn)C的位置，使得線段0￡>J_8C時(shí)，。。=2圾.

圖1圖2

8.(2021?婁底)如圖，點(diǎn)4在以BC為直徑的。。上，/ABC的角平分線與AC相交于點(diǎn)

E,與。。相交于點(diǎn)。，延長(zhǎng)C4至M,連結(jié)8”,使得過點(diǎn)A作的平行

線與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N.

(1)求證：與。。相切；

(2)試給出AC、AD.CN之間的數(shù)量關(guān)系，并予以證明.

9.(2021?大慶)如圖，已知AB是。。的直徑.8c是。。的弦，弦EQ垂直A8于點(diǎn)尸,

交8c于點(diǎn)G.過點(diǎn)C作。O的切線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P

(1)求證：PC=PG；

(2)判斷尸G2=PZ>PE是否成立？若成立，請(qǐng)證明該結(jié)論;

10.(2021?包頭)如圖，在銳角三角形A8C中，A。是BC邊上的高，以A。為直徑的。。

交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,過點(diǎn)尸作FGL48,垂足為H,交會(huì)于點(diǎn)G,交A。于點(diǎn)

M,連接AG,DE,DF.

(1)求證：ZGAD+Z￡DF=180°；

(2)若NACB=45°,AO=4,tanZABC=2,求HF的長(zhǎng).

11.(2021?永州)如圖1,A8是。。的直徑，點(diǎn)E是。。上一動(dòng)點(diǎn)，且不與A,B兩點(diǎn)重

合，/E4B的平分線交。。于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CDJ_AE,交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

圖2

(1)求證：CD是。。的切線;

(2)求證：AC2=24Z>AO：

(3)如圖2,原有條件不變，連接BE,BC,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)M,NEBM的平分線交AC

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，/C4B的平分線交/C8M的平分線于點(diǎn)Q.求證：無論點(diǎn)E如何運(yùn)動(dòng),

總有NP=NQ.

12.(2021?包頭)如圖，已知△ABC是等邊三角形，P是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，連接8P,

CP.

(1)如圖1,以8c為直徑的半圓。交48于點(diǎn)Q,交AC于點(diǎn)R,當(dāng)點(diǎn)P在旅上時(shí),

連接AP,在BC邊的下方作/BCO=NBAP,CD^AP,連接。P,求/CPO的度數(shù);

(2)如圖2,E是BC邊上一點(diǎn),且EC=38E,當(dāng)BP=CP時(shí);連接EP并延長(zhǎng)，交AC

于點(diǎn)F,若SAB=4BP,求證：4EF=3A8；

(3)如圖3,M是AC邊上一點(diǎn)，當(dāng)AM=2MC時(shí)，連接MP.若/CMP=150。，AB=

6a,MP=0i,△ABC的面積為Si，ZYBCP的面積為S2，求S|-S2的值(用含a的代

數(shù)式表示).

13.(2021?綏化)如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。與BC相交于點(diǎn)。,

DELAC,垂足為E.

(1)求證：QE是。。的切線；

(2)若弦MN垂直于AB,垂足為G,—MN=M，求。。的半徑;

AB4

(3)在(2)的條件下，當(dāng)乙BAC=36。時(shí)，求線段CE的長(zhǎng).

14.(2021?賀州)如圖，在RtZiABC中，ZC=90°,。是48上的一點(diǎn)，以A。為直徑的

(D。與8c相切于點(diǎn)E,連接AE,DE.

(1)求證：AE平分/BAC；

(2)若48=30。，求患的值.

DE

15.(2021?齊齊哈爾)如圖，為。。的直徑，C為。。上的一點(diǎn)，AE和過點(diǎn)C的切線

CQ互相垂直，垂足為E,AE與。O相交于點(diǎn)凡連接AC.

(1)求證：AC平分/EAB；

(2)若AE=12,tan/CAB=返，求。8的長(zhǎng).

3

16.(2021?張家界)如圖，在RlZiAOB中，ZABO=90°,/。48=30。，以點(diǎn)。為圓心，

OB為半徑的圓交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作。4的平行線，交。。于點(diǎn)D,連接AZX

(1)求證：為。O的切線；

(2)若08=2,求弧CD的長(zhǎng).

17.(2021?通遼)如圖，AB是。。的直徑，過點(diǎn)A作。O的切線AC,點(diǎn)尸是射線AC上

的動(dòng)點(diǎn)，連接OP,過點(diǎn)B作8O〃OP,交。。于點(diǎn)。，連接PD

(1)求證：P。是。。的切線；

(2)當(dāng)四邊形P08。是平行四邊形時(shí)，求N4PO的度數(shù).

cc

備用圖

18.(2021?玉林)如圖，。0與等邊△ABC的邊AC,4B分別交于點(diǎn)。，E,4E是直徑,

過點(diǎn)。作OFLBC于點(diǎn)F.

(1)求證：。尸是。。的切線；

(2)連接E凡當(dāng)EF是。。的切線時(shí)，求。。的半徑r與等邊△ABC的邊長(zhǎng)a之間的數(shù)

量關(guān)系.

19.(2021?鄂州)如圖，在RtZXABC中,NABC=90°,。為8c邊上一點(diǎn)，以。為圓心,

OB長(zhǎng)為半徑的0O與AC邊相切于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.

(1)求證：AB=A￡＞；

(2)連接。E,若tan/EZ)C=工，DE=2,求線段EC的長(zhǎng).

2

20.(2021?安順)如圖，在。。中，AC為。。的直徑，AB為。。的弦，點(diǎn)E是菽的中點(diǎn),

過點(diǎn)E作AB的垂線，交AB于點(diǎn)交。。于點(diǎn)N,分別連接EB,CN.

(1)與8E的數(shù)量關(guān)系是

(2)求證：EB=CN!

(3)若MB=1,求陰影部分圖形的面積.

參考答案

(1)證明：連接。尸，

???PF=PG,

:?/PFG=/PGF,

?：NBGE=/PGF,

:?/PFG=/BGE,

OF=OB,

：.ZOFB=ZOBF,

CDLAB,

：.ZBGE+ZOBF=90°,

：.ZPFG+ZOFB=90°9

???。尸是。。半徑，

???尸產(chǎn)為。。切線；

(2)解：連接A尸，過點(diǎn)P作PMJ_bG,垂足為M,

?「AB是。。直徑,

,ZAFB=90%

：.AB2=AF2+BF2,

VOB=10,

：.AB=20,

/=16,

：.AF=U,

在RtAABF中，tan5=3>cosB=—,

45

在中，—=^-,—

84GB5

：?GE=6,GB=10,

VBF=16,

：.FG=6,

9：PMA_FG,PF=FG,

MG=—FG=3,

2

?:NBGE=NPFM,NPMF=NBEG=90。,

:APFMs/\BGE,

.FMPFpn3JF

GEGB610

解得:PF=5,

.?.PF的長(zhǎng)為5.

(1)證明：連接?！?gt;,

平分乙4BC.

ZABD=ZDBC,

又

：.NOBD=NODB,

又〈BCLCD,

AZC=90°,

：.ZDBC+ZBDC=90°,

：.ZODB+ZBDC=90°f

即OO_L。。，

(2)解：連接AE交。。于點(diǎn)”，

「AB為。0直徑，

,?NAEB=90。，

??NHEC=90。,

:BCLCD,ODLDC,

,?NODC=NC=90。，

??四邊形"EC￡＞是矩形，

\DH=CE=\,HE=CD,ZEHD=90°,HE//CD,

\OD±AEf

??AH=HE,

??4B=10,

\OA=OD=5,

\OH=OD-DH=5-1=4,

,?^//=VOA2-OH2=752-42=3,

??HE=AH=3,

??CD=HE=3,

:HE"CD,

??△OAH~/\OFD,

.AH_QH

’?而而

.34

??~~~~—-,

FD5

：.DF=—.

4

3.證明(1)連接OE,

9：OA=OE,

：.ZOEA=ZOAE9

在RtZ\ABC中，ZACB=90°,

???N84C+NB=90。，

?：BF=EF,

：./B=/BEF,

u

：ZOAE=ZBACf

：.ZOEA=ZBAC,

：.ZOEF=ZOEA+ZBEF=NBAC+N8=90。,

：.OE1,EF,

???OE是。。的半徑，

???EF是。。的切線；

(2)解：連接QE,

VOC=9,AC=4,

.\OA=OC-AC=5f

\'AD=2OAf

：.AD=lOf

???AO是。。的直徑，

???ZAED=90°,

在RtZVLDE中，

7D￡=VAD2-AE2=V102-82=6>

AC4

在Rt/XABC中，cosZBAC=—=—

ABAB

9

：ZBAC=ZDAEf

?4_4

??，

AB5

：.AB=5,

：.BE=AB+AE=5+8=13,

,/OD=OE,

：?/ODE=/OED,

???E/是。。的切線，

：.ZFEO=90°f

VZOED+ZOEA=90°,ZF￡B+ZOEA=90°,

:?/FEB=/OED,

：./B=ZFEB=ZOED=NODE,

:AFBES^ODE,

.BF_BE

??麗―瓦’

?.?BF_,13

56

：.BF=—.

6

4.(1)證明：連接oc,

,：OA=OB,CA=CB,

；.OC_LAB,

;oc是。。的半徑，

.?.48是。。的切線；

(2)解：尸是。。的直徑,

：.ZDCF^90°,

'：FC//OA,

???/DGO=NDCF=90。,

:,DG工CD,

：.DG=—CD=—xC)^3,

22

,:OD=OC,

：.ND0G=4C0G,

■：OA=OB,AC=CB,

：./AOC=ZBOC,

：.NDOE=/AOC=NBOC^—x180°=60°,

3

在RtAODG中，

VsinZD(?G=—,cosZODG=—,

0D0D

3

?3忐寸喙=2歷

OG=ODcosZQOG=2匾x/=正，

???S般=s廚彩。DE-SgOG=60兀.&何2_得x&X3=2兀-羋?

36022

5.(1)證明：PB是。。的切線,

：.PA=PBt

?：OA=OB,

：?OPLAB,

〈AC是直徑，

???NA8C=90。，

：.BC//OP.

（2）解：'：OE=DE,AB.LOD,

：.AO=ADf

9：0A=0D,

：.AD=OA=OD,

J△AO。是等邊三角形,

???ZAOD=60°,

設(shè)OE=m,則0A=2mt0P=4m,

,四邊形OAPB的面積是16A/3,

?，?OP?A5=16?,

,-^■'x4m'x2y[2f）i=16^/3,

.771=2或-2（舍棄），

：?OE=2,AB=4?,O4=2〃?=4,

?,?俞=俞，

.??NAOO=N8OO=60°,

???ZAOB=2ZAOD=120°,

2

,?S陰=S扇形OAB-SZXA08=12O[--^-X4A/3X2=-^--4^/^.

360No

（3）解：在RtZ\AOE中，sinZCAB=—=X

AO3

，可以假設(shè)OE=x,則OA=OD=3x,DE=2x,AE=yj°/_0日2={（^?。?_燈2=2正1,

222

在REMADE中，AD=AE+DEf

：.（2蟲）2=（2心）2+⑵）2,

Ax=l或-1（舍棄）,

：.OE=1,0A=3,AE=2近,

〈PA是切線，

：.PA±OAf

：.ZOAP=90°f

\ZCAB+ZBAD=90%NAPO+NPAE=90°,

：.ZCAB=ZAPO,

iAF

：.sinZAPE=sinZCAB=—=—

3PAt

：.PA=3AE=6y/2-

A

6.解：(1)連接OQ,

???。尸是。。的切線，

：?DO上DP,

???AO是N3AC的平分線,

：.ZBAD=ZCADf

ABD=CD>

???BC是圓的直徑，

.\ZBAC=90o,

：.ZBAD=45°f

：.ZBOD=90°,

：.ODA.BC,

：.DP//BC；

(2)*：DP//BC,

：.ZACB=ZPf

??人-—'

?AB=AB，

JZACB=ZADB,

：.ZP=ZADB9

;OD=OC,

???NOOC=45。，

.\ZCDP=45°,

???/XABDSADCP；

u

(3)：AB=5cm9AC=\2cm,NBAC=90。，

?\BC=13cmf

在Rt^COD中，CD=13>^,

2

在Rt^BOD中，BD=13>^,

2

?.,/\ABDS/\DCP,

?^__BD

?0-B'

51訴

■-13A/2，

2CP

7.(1)證明：如圖，設(shè)P是。。上點(diǎn)A,B以外任意一點(diǎn)，

過點(diǎn)尸作PP'_LAB,交。。于點(diǎn)P,垂足為M,

若M與圓心0不重合，

連接OP,0P',

在△OPP中，

OP=OP',

...△OPP'是等腰三角形，

又PP1.AB,

:.PM=MP',

則AB是P嚴(yán)的垂直平分線，

若M與圓心。重合，顯然4B是PP的垂直平分線，

這就是說，對(duì)于圓上任意一點(diǎn)P,在圓上都有關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)戶，因此。。是以直

徑AB所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；

圖1

(2)①證明：設(shè)。。半徑為八

由兀a=4?？傻胷=2,

???A8=4,

連接AC,則N8C4=90。，

???c是切點(diǎn)，連接0C,

:.OC1,CD,

VBD1CZ),

???OC//BD,

：./OCB=/DBC,

而/OCB=NOBC,

：./DBE=ZOBC,

又丁ZBCA=N8OC=90。，

:.△ACBs^CDB,

?.?BC,BD

ABBC

:.BC=AB?BD=4BD,

12

?'-yBC=2BD；

②證明：由①證明可知NCBO=NOBC,與切點(diǎn)C的位置無關(guān),

c

DB

圖3

X0D1BC,

：?BD=OB,

又,?,△OCB是等腰三角形，

???8C與。?；ハ啻怪逼椒?，

又NBDC=90。,

???四邊形BOCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，

A0D=2V2.

8.證明:(1)BBC是直徑,

AZBAC=90°,

???ZABE+ZAEB=90°,

???5。平分NABC

???NABD=NDBC,

,:MB=ME,

:"MBE=NMEB,

:?/MBE+/EBC=9。。,

：.ZMBC=90°f

???3M與。O相切；

(2)Af=CN?AD,

理由如下：VZACD=ZABDtZDBC=ZDAC,

：.ZDCA=ZDACf

：.AD=DC9

???BC是直徑，

：.ZBDC=90°9

???NBCO+ND8C=90。,

?：AN.LBC9

???NN+N￡)C8=90。，

J/N=/DBC,

：.NN=/DBC=ZDCA=ZDAC,

.,.△DAC^AACN,

,ACCD

??-二—1,

CNAC

:.AC2=CN-AD.

9.解：(1)連接。C,

*：OC=OB,

:?NOCB=/OBC,

〈CP是。。的切線，

AZOCP=90°,

???弦EQ垂直A3于點(diǎn)EAB是。。的直徑，

：.ZGFB=90°f

:?/FGB=/PCG,

■:NFGB=/FGB,

:"PCG=/PGC,

：?PC=PG；

(2)如圖1,連接￡C、CD,

9：EDLAB,AB是圓。的直徑，

,?倉(cāng)=俞，

:?/ECB=/BCD,

?:PG=PC,

：.ZPCG=ZPGCf

■:NCGP=/E+/ECB,NGCP=/PCD+/BCD,

:?/PCD=/E,

:.△PCDSNEC,

.PC_PD

?瓦一記

:.P，=PE?PD,

?：PC=PG,

：.PG2=PD'PE-,

(3)如圖2,連接OG,EO,

為BC中點(diǎn)，

：.OG±BC,

在RtZkBOG中，OG=加，sin8=返，

5

：.OB=5,BG=2娓,

'：GFLOB,

:.NB+NFGB=90°,ZB+ZBOG=W0,

：.ZGOF=ZFGB,

:.叢FGBS/\GOB,

.GB_FB

"OB"GB'

.275_FB

,-52后

.?.FB=4,

；.OF=1,

在RtZXEOF中，OF=1,￡0=5,

:.EF=2氓,

:.ED=4氓.

10.(1)證明：由題可知NAGF=NAOF(同弧所對(duì)的圓周角相等)，

,JGFLAB,A。為圓的直徑，

...NAGF+/GAE=90。，ZADF+ZFAD=90°,

：.ZGAE^ZFAD,

ZGAE+ZDAE=ZFAD+ZDAE,即ZGAD=NEAF,

:四邊形AE。尸是圓的內(nèi)接四邊形，

.\Z￡AF+ZEDF=180°,

：.ZGAD+ZEDF=ISO°.

(2)解:如圖,

連接OF，

是圓的直徑，且AO是aABC的高，GFLAB,

：.ZAED=ZADB=4AHM=ZAFD=90°,

.AH=_^

??市一麗’

An

；tan/A8C=H=2,

BD

.道=2,

HM

NACB=45°,

，ZDAC=ZADF=ZAFO=45°,

???ZAOF=90°,

,/在Rt/\AHM與RtAFOM中：ZAMH=ZFMO（對(duì)頂角）,

：.XAHMS[\FOM,

.FO=AH=2

?而一而一,

VAD=4,

JOF=OA=2f

.,.—=2,解得OM=1,AM=OA-OM^\,

OM

設(shè)HM=x,則AH=2x,

在中有：A〃2+"W2=AM2,

即（2x）2+x2=l,解得xi=±2,X2=-義殳（舍去），

55

5

"：OF=OA=2,

:.AF=2五,

在中，有：AH2+HF2=AF2,

即（多^）2+HF2=（2我）2,

解得4F=EI,或“F=-0/5（舍去），

55

故HF的長(zhǎng)為殳度.

5

11.證明：（1）連接。C,

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

...NBOC=2/O4C,

：AC平分ZBAE,

：.ZBAE=2ZOAC9

:?/BAE=/BOC,

：.CO//AD,

VZD=90°,

：.ZDCO=90°,

：.0C1.CD,

???CD是。。的切線.

(2);AC平分N5AE,

JZBAC=ZCADt

〈AB是。。的直徑，

JZBCA=90°,

VZD=90°,

：.ZD=ZBCA9

:.XBACsXQAD,

,ABAC

??―—t

ACAD

：.Ad1=AB-AD,

：AB=2A。，

：.A(^=2AD>AO.

(3)VZCAB./CBM的角平分線交于點(diǎn)Q,

：.ZQAM=^ZCAB,ZQBM=^ZCBM,

,：ZQ是△QA8的一個(gè)外角，NCBM是△ABC的一個(gè)外角，

:./Q=NQBM-NQAM=/(NCBM-ZCAM),NACB=/CBM-ZCAM,

；.N。得/ACS,

ZACB=90°,

；.NQ=45。，

同理可證：NP=45。，

；./P=NQ.

D

12.解：(l)如圖1,連接80,

?.?△ABC是等邊三角形，

：.AB=BC,NA8C=60°,

在△54P和△BC。中，

'AB=BC

<ZBAP=ZBCD-

AP=CD

:.△BAP9/\BCD(SAS),

:.BP=BD,NABP=NCBD,

,//A8P+NPBC=60。，

：.ZCBD+ZPBC=60°,

即NP2O=60。，

AB。尸是等邊三角形，

；.NBPD=60°,

是。。的直徑，

二NBPC=90。,

：.NCPD=/BPC-NBPD=90°-60°=30°；

(2)如圖2,連接AP交BC于。，

?.?△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC=BC,ZABC=ZACB=60°,

'：BP=CP,

：.AD±BC,BD=CD=—BC=—AB,

22

.?.AO=4B?sin/48C=4B?sin60°=SAB,

2

,.FAB=4BP,

；.BP=^LLAB,

4__________________

PD={BP2_BD2=J哼屈）2_（_1AB）2=多以

：.PD=^-AD,即點(diǎn)P是A￡>的中點(diǎn)，

2

*：EC=3BE,

：.BE=—BC,BC=4BE,

4

-：BD=—BC,

2

：.BE=^BD,即點(diǎn)E是8。的中點(diǎn)，

???EP是△48。的中位線，

：.EF//AB,

:?△CEFs^CBA,

.EF_CE_3BE_3

**AB-CB-^E-T

：.4EF=3AB；

（3）如圖3,過點(diǎn)A作A。，8c于點(diǎn)。，過點(diǎn)P作尸ELBC于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)尸，作

P/7LAC于點(diǎn)”，

由（2）得：AD=^^~AB=3\l"^a,ZACB=60°,BC=AC=AB=6a9

VZCMP=150°,

.,-ZPMF=180°-ZCMP=180°-150°=30°,

VZC/7P=90°,

PH=PM-sinZPMF=^z?sin30。=^~a,

MH=PM?cosZPMF=5/§a?cos30。=,

VEF1BC,

.\ZCEF=90°,

???ZCFE=90°-NAC8=90。-60°=30°,

：?/CFE=NPMF,

：.PF=PM=6I,

FH=PF*cosZP/77=*>/^z?cos30°=多,

???AM=2MC,

JCF=CM++MH+HF=5a,

y

EF=CF*sinZACB=5tz*sin60°=5a,

_2

:.PE=EF-PF=^^a-礙i=M&a,

22

-BC,(AD-PE)=^x6〃x(35/30-

.-.Si-S2^S^BC-S^BCP^^BC-AD-￡BC.PE==

迄”"

，上22

DE

圖3

9c

ED

圖2

A

D

圖1

13.(1)證明：如圖1,連接OQ,

?：OB=OD,

：.ZOBD=ZODBf

^：AB=AC,

，ZABC=ZACBf

：.ZODB=ZACBf

J.OD//AC,

VD￡1AC,

：.DE.LOD,

??,。。是。。的半徑，

???DE是。。的切線；

(2)解：如圖2,連接OM,

?：AB.LMN,且A8為。。的直徑，MN=?,

1Vs

:.MG=+MN=^~,

22

設(shè)。。的半徑為r,則OM=r,AB=2r,

..AG1

?,

AB4

??AG=--AB——-ry

42

OG=OA-AG——r,

2

在RtZXOGM中，根據(jù)勾股定理得，OG2+MG2=OA/2,

(lr)2+(返)2=/,

22

r=1,

即。。的半徑為1;

(3)如圖3,作/ABC的平分線交4c于F,

在△ABC中，A8=AC,ZBAC=36°,

AZABC=ZC=—(180°-ZBAC)=72°,

2

ZABF=ZCBF=—ZABC=?>()°=ZBAC,

2

：.AF=BF,

設(shè)AF=BF=x,

在43。尸中，ZCBF=36°,ZC=72°,

，ZBFC=180°-36°-72°=72°=ZC,

：.BC=BF=x,

由(2)知，。。的半徑為1,

：.AB=AC=2f

：.CF=AC-AF=2-x,

?：/CBF=/CAB,

AZC=ZC,

:?△BCFsAACB,

,BCCF

??=,

ACCB

.x2-x

??二，

2x

??/=泥-1或x=-泥T(舍)，

:.BC=A1,

連接AD,

為。。的直徑，

NAOB=90。，

'：AB=AC,

，1

：.CD=—BC^^~；

22

'：DE±AC,

：.ZDEC=90°=ZADC,

；NC=NC,

：./\DEC^/\ADC,

.CECD

"CD"CA'

如T

.CE2

2_

??\^L-?—,

4

A

M,

圖2

圖1

14.(1)證明：連接OE,

??,BC是。。的切線,

：.OE.LBCf即NOE8=90。,

VZC=90°,

：.OE//AC,

：.ZOEA=ZEACf

9

：OE=OAf

：.ZOEA=ZOAE,

：.ZOAE=ZEACt即AE平分N8AC；

(2)解：???AD為。。的直徑，

???ZAED=90°,

,：ZOAE=ZEACfZC=90°,

:.△DAEsXEAC,

.CE_AE

"DE-AD'

VZC=90°,NB=30°,

AZBAC=90°-30°=60°,

ZDAE=—ZBAC^30°,

2

VcosZDAE=^-,COS30』^

AD2

15.(1)證明：連接。C,

：C。為。。的切線，

：.OC±DE,

,JAEVDE,

OC//AE,

：.ZEAC=ZOCA,

"：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

ZE4C=NOAC,即AC平分/EAB；

(2)解:連接2C,

???48為。。的直徑，

NAC8=90。，

VtanZCAB=-^,,NE4C=NO4C,

3

；.tan/￡AC=返,即絲=返，

3AE3

.EC-V3

??1,,

123

解得：EC=4?,

在Rt^AEC中，AC=VAE2+EC2=V122+(W3)2=

BCM

?tanZCAB=——

AC3

???BC=8,

在RtAABC中，^=VAC2+BC2=7(8V3)2+82=16-

；NOAB=30°,ZB=90°,

NAOB=60。，

又‘：CD"AO,

：.ZC=ZAOB=60°,

又：oc=。。，

...△COO是等邊三角形，

NCW=60。，

NAOO=180°-60°-60°=60°,

又,；OB=。。，AO=AO,

A/\AOB^/\AOD(SAS),

/AOO=NABO=90。，

又?..點(diǎn)。在。。上，

力是。。的切線；

(2)由題意得，。。的半徑OB=2=OC,ZCOD=60°,

根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得，1=60.X22="

11803

A

，??PA切。。于A,

：.PA.LABf

艮|JNPAO=90。，

■:OP//BD,

：.ZDBO=ZAOP9ZBDO=ZDOPf

?：OD=OB,

:?/BDO=/DBO,

：.ZDOP=ZAOP,

在AAOP和△OOP中

<AO=DO

,ZA0P=ZD0P，

PO=PO

???△AOP妾△￡>（?P（SAS）,

:?/PDO=/PAO,

VZPAO=90°,

：.ZPDO=90°.

即OD_LPD,

???oo過O,

???尸。是。。的切線；

???PA=PD,

??,四邊形POBD是平行四邊形,