方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)教案

《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》教案一、教學(xué)內(nèi)容函數(shù)與方程是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，既是初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，又是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的連接紐帶。在現(xiàn)實(shí)生活注重理論與實(shí)踐相結(jié)合的今天，函數(shù)與方程都有著十分重要的應(yīng)用，再加上函數(shù)與方程還是中學(xué)數(shù)學(xué)四大數(shù)學(xué)思想之一，因此函數(shù)與方程在整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有十分重要的地位。二、教學(xué)目標(biāo)以二次函數(shù)的圖象與對(duì)應(yīng)的一元二次方程的關(guān)系為突破口，探究方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)并掌握在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點(diǎn)的判定方法；學(xué)會(huì)在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點(diǎn)的判定方法。讓學(xué)生在探究過(guò)程中體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，從特殊到一般的歸納思想，培養(yǎng)學(xué)生的辨證思維以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。三、教學(xué)分析本節(jié)通過(guò)對(duì)二次函數(shù)的圖象的研究判斷一元二次方程根的存在性以及根的個(gè)數(shù)的判斷建立一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系，再由特殊到一般，將其推廣到一般方程與相應(yīng)的函數(shù)的情形。它既揭示了初中一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，也引出對(duì)函數(shù)知識(shí)的總結(jié)拓展。四、教學(xué)思想教學(xué)理念：培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)會(huì)嚴(yán)密思考教學(xué)原則：因材施教，注重各個(gè)層面的學(xué)生教學(xué)方法：采用以學(xué)生為主體的探究式教學(xué)方法，采用“設(shè)問(wèn)——探索——?dú)w納——定論”層層遞進(jìn)的方式來(lái)突破本課的重難點(diǎn)。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：了解函數(shù)零點(diǎn)的概念，函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的關(guān)系；掌握函數(shù)零點(diǎn)存在性的判斷。難點(diǎn)：準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)零點(diǎn)的概念，在合情推理中讓學(xué)生體會(huì)到判定定理的充分非必要性，能利用適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嗔泓c(diǎn)的存在或確定零點(diǎn)。六、教學(xué)過(guò)程第一階段：方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)提出問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：求解下列方程6x-1=0;(2)3x2+6x-1=0;(3)3x3+6x-1=0（產(chǎn)生疑問(wèn)，引起興趣，引出課題）第三題學(xué)生無(wú)法解答，產(chǎn)生疑惑，給學(xué)生介紹一次方程、二次方程甚至三次方程、四次方程的解都可以通過(guò)系數(shù)的四則運(yùn)算，乘方與開(kāi)方等運(yùn)算來(lái)表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，引出近似解方法二分法引入課題。問(wèn)題2：觀察下列幾組一元二次方程及其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象x2-2x-3=0與y=x2-2x-3x2-2x+1=0與y=x2-2x+1x2-2x+3=0與y=x2-2x+3引導(dǎo)學(xué)生解方程、畫(huà)函數(shù)圖象、分析方程的根與對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象和x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，推廣到一般的方程和函數(shù)，引出零點(diǎn)概念：對(duì)于y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。根據(jù)零點(diǎn)概念，提出幾個(gè)問(wèn)題：零點(diǎn)是點(diǎn)嗎？零點(diǎn)與函數(shù)方程的根有何關(guān)系？函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)與函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)有何關(guān)系？學(xué)生完成解答后，教師再概括總結(jié)前幾個(gè)問(wèn)題的結(jié)論。概念：函數(shù)的零點(diǎn)并不是“點(diǎn)”，它并不是以坐標(biāo)的形式出現(xiàn)，而是實(shí)數(shù)。例如函數(shù)y=x2-2x-3的零點(diǎn)為x=-1，3函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方和f(x)=0的實(shí)根，也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。引導(dǎo)師學(xué)生仔細(xì)體會(huì)上述結(jié)論后，再提出問(wèn)題：如何根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義求零點(diǎn)？一方面，讓學(xué)生理解函數(shù)零點(diǎn)的含義，另一方面，通過(guò)對(duì)比讓學(xué)生再次加深對(duì)二者關(guān)系的認(rèn)識(shí)，使函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)到函數(shù)零點(diǎn)的概念轉(zhuǎn)變變得更自然、更易懂。通過(guò)對(duì)比教學(xué)提示知識(shí)點(diǎn)之間的密切關(guān)系。是不是所有的二次函數(shù)都有零點(diǎn)？根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義探索研究二次函數(shù)的零點(diǎn)情況，并進(jìn)行交流，總結(jié)概括形成以下結(jié)論。判斷二次函數(shù)的零點(diǎn)，看△（）△>0，方程有兩不相等的實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。2）△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)。3）△<0，方程無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)。本節(jié)的第一階段以二次函數(shù)作為例子來(lái)研究，此題是從特殊到一般的升華，也全面總結(jié)了二次函數(shù)零點(diǎn)的情況，給學(xué)生一個(gè)清晰的解題思路，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力。第二階段：零點(diǎn)存在性的探索提出問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：畫(huà)出二次函數(shù)的圖像，觀察函數(shù)在區(qū)間[-2，1]上有無(wú)零點(diǎn)，計(jì)算f(-2)與f(1)的乘積，你能發(fā)現(xiàn)他們的乘積有什么特點(diǎn)？在區(qū)間[2，4]上是否也有這種特點(diǎn)呢？通過(guò)函數(shù)的圖象和計(jì)算發(fā)現(xiàn)：_____0(<或>)，在(-2,1)有零點(diǎn)_____，它是的根。問(wèn)題2：觀察函數(shù)f(x)=0的圖象（下圖），并回答=1\*GB3①區(qū)間[a,b]上_____(有/無(wú))零點(diǎn)；___0(<或>)。=2\*GB3②區(qū)間[b,c]上_____(有/無(wú))零點(diǎn)；___0(<或>)。=3\*GB3③區(qū)間[c,d]上_____(有/無(wú))零點(diǎn)；___0(<或>)。引起學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象，分析函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值的符號(hào)情況與函數(shù)零點(diǎn)之間是否存在關(guān)系。根據(jù)零點(diǎn)的意義結(jié)合函數(shù)圖象，歸納得出函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，并進(jìn)行總結(jié)概括，形成以下結(jié)論：一般地，我們有：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線并且有<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)的根。學(xué)生理解以上結(jié)論后，再提出以下問(wèn)題：已知函數(shù)，問(wèn)：方程f(x)=0在區(qū)間[-1,0]內(nèi)有沒(méi)有實(shí)數(shù)解？問(wèn)方程在區(qū)間內(nèi)有沒(méi)有實(shí)數(shù)解，意味著要判斷相應(yīng)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)有沒(méi)有零點(diǎn)，由剛才得出的結(jié)論，我們只需驗(yàn)證是否小于0.提出這個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)一步地深刻理解所得出的結(jié)論，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，鞏固知識(shí)點(diǎn)。本節(jié)的第二階段引導(dǎo)學(xué)生探索歸納總結(jié)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，培養(yǎng)歸納總結(jié)能力和邏輯思維。第三階段：范例研究例1.已知函數(shù)有如下函數(shù)值表：x-2-1.5012f(x)10944.171-8-107函數(shù)y=f(x)在哪幾個(gè)區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)？為什么？通過(guò)本例，引導(dǎo)例2的探索。例2.探索1：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且>0，函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)嗎？探索2：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且<0，函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，但是否只有一個(gè)零點(diǎn)？探索3：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)，一定有<0？學(xué)生完成解答后，教師再進(jìn)行總結(jié)：兩個(gè)條件：1）函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線2）在區(qū)間[a,b]上有<0一個(gè)結(jié)論：函數(shù)y=f(X)在區(qū)間[a,b]內(nèi)單調(diào)則函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)學(xué)生理解結(jié)論后，再進(jìn)行例3.的研究。例3.求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，問(wèn)題：1）你可以想到什么方法來(lái)判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)？2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性你能得到該函數(shù)的單調(diào)性具有什么特性？通過(guò)本例，可以加深學(xué)生對(duì)例2中得出的結(jié)論的理解。例4.利用函數(shù)的圖象，判斷下列方程有沒(méi)有根，有幾個(gè)根：(1)(2)例5.利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間：(1)(2)通過(guò)例4、例5，讓學(xué)生結(jié)合圖象考察零點(diǎn)所在的大致區(qū)間與個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，使其認(rèn)識(shí)到函數(shù)的圖象及基本性質(zhì)（特別是單調(diào)性）在確定函數(shù)零點(diǎn)中的重要作用。本節(jié)的第三階段利用練習(xí)鞏固新知識(shí)，加深學(xué)生的理解。七、課堂小結(jié)零點(diǎn)概念零點(diǎn)存在性的判斷零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用：零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷與方程根所在區(qū)間八、教學(xué)反思本次教學(xué)用提出問(wèn)題的方式引起學(xué)生的好奇心，并產(chǎn)生學(xué)生探索新知識(shí)欲望，活躍了課堂氣氛，并遵循了由淺入深，循序漸進(jìn)的原則，分三步在展開(kāi)這部分的內(nèi)容。第一步，從學(xué)生認(rèn)為較簡(jiǎn)單的一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)入手，建立一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系，再將共推廣到一般方程與相應(yīng)函數(shù)的情形。第二步，通過(guò)函數(shù)圖象和性質(zhì)研究方程的解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系，并體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。第三步，構(gòu)造了5個(gè)例子，例子設(shè)計(jì)精巧，層層遞進(jìn)，由此引發(fā)了學(xué)生積極的思考、探索與交流。教學(xué)中，激發(fā)了學(xué)生探索新知識(shí)的興趣，重點(diǎn)突出，容量適