2021年全國新高考Ⅱ卷(含解析)

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國新高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保持答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若全集，集合，，則()A. B. C. D.3.若拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則()A.1 B.2 C. D.44.衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度指衛(wèi)星到地球表面的最短距離）.把地球看成一個(gè)球心為O，半徑為6400km的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道所在平面所成角的度數(shù)，地球表面能直接觀測(cè)到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星的點(diǎn)的緯度的最大值記為.該衛(wèi)星信號(hào)覆蓋的地球表面面積（單位：），則S占地球表面積的百分比為()A.26% B.34% C.42% D.50%5.正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則四棱臺(tái)的體積為()A. B. C. D.6.某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論中不正確的是()A.σ越小，該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大B.σ越小，該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10的概率為0.5C.σ越小，該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10.01與小于9.99的概率相等D.σ越小，該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率與落在內(nèi)的概率相等7.若，，，則()A. B. C. D.8.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則()A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.下列數(shù)字特征能體現(xiàn)一組數(shù)據(jù)離散程度的是()A.標(biāo)準(zhǔn)差 B.中位數(shù) C.極差 D.平均數(shù)10.如圖，下列各正方體中，O為下底面的中心，M，N為頂點(diǎn)，P為所在棱的中點(diǎn)，則滿足的是()A. B.C. D.11.已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說法正確的是()A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D.若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切12.設(shè)正整數(shù)，其中，記，則()A. B.C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知雙曲線，離心率，則雙曲線C的漸近線方程為___________.14.寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)____________.①；②當(dāng)時(shí)，；③是奇函數(shù).15.已知向量，，，則____________.16.已知函數(shù)，，，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)處的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則的取值范圍是__________.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（10分）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值.18.（12分）在中，角A，B，C所對(duì)的邊長為a，b，c，，.（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)a，使得為鈍角三角形？若存在，求a；若不存在，說明理由.19.（12分）在四棱錐中，底面ABCD是正方形，若，，.（1）證明：平面平面ABCD；（2）求二面角的平面角的余弦值.20.（12分）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線MN與曲線相切.證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是.21.（12分）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，……該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，.（1）已知，，，，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實(shí)際含義.22.（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：有一個(gè)零點(diǎn).①，；②，.

參考答案1.答案：A解析：本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及幾何意義.因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.2.答案：B解析：本題考查集合的交集和補(bǔ)集.由題可得，所以.3.答案：B解析：本題考查點(diǎn)到直線的距離及拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).拋物線的焦點(diǎn)為.由題意，得，解得.4.答案：C解析：本題考查解三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用.由題意可知，，所以從同步衛(wèi)星上可望見的地球的表面積，此面積與地球表面積之比約為.5.答案：D解析：本題考查棱臺(tái)的體積.將正四棱臺(tái)補(bǔ)成四棱錐，作底面ABCD于點(diǎn)O，交平面于點(diǎn)，則棱臺(tái)的體積.由題意，，易知，，，而，所以，則，，所以棱臺(tái)的體積.6.答案：D解析：本題考查正態(tài)曲線的特點(diǎn).根據(jù)正態(tài)曲線可直接得出B項(xiàng)，C項(xiàng)正確；越小，則正態(tài)曲線越“瘦高”，該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，A項(xiàng)正確；同理，落在內(nèi)的概率大于落在內(nèi)的概率，D項(xiàng)錯(cuò)誤.7.答案：C解析：本題考查對(duì)數(shù)的大小比較.因?yàn)?，，所?8.答案：B解析：本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性和函數(shù)圖象的對(duì)稱性.因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；又函數(shù)為奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，再將所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)圖象既關(guān)于直線對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以4為函數(shù)的一個(gè)周期.又，所以.9.答案：AC解析：本題考查樣本的數(shù)字特征.平均數(shù)和中位數(shù)反映的是一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，標(biāo)準(zhǔn)差和極差則體現(xiàn)了一組數(shù)據(jù)的離散程度.10.答案：BC解析：本題考查直線與直線的位置關(guān)系.設(shè)四個(gè)選項(xiàng)中的均為邊長為2的正方體.對(duì)于A項(xiàng)，如圖1，取的中點(diǎn)，則，所以MN與OP共面，為所求角，連接，又可求得，，所以，所以MN與OP不垂直，A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，如圖2，取AD的中點(diǎn)，連接，，則，且平面，即，所以平面，所以，B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，如圖3，取AD的中點(diǎn)，連接，，，則，且平面，即，所以平面，所以，又，所以，C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，如圖4，取的中點(diǎn)，連接，，則，即為異面直線MN與OP的夾角，又，，所以，所以MN與OP不垂直，D項(xiàng)錯(cuò)誤.11.答案：ABD解析：本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系.圓心到直線的距離，若點(diǎn)A在圓上，則，則，所以直線l與圓C相切，故A項(xiàng)正確；若點(diǎn)A在圓內(nèi)，則，則，所以直線l與圓C相離，故B項(xiàng)正確；若點(diǎn)A在圓外，則，則，所以直線l與圓C相交，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；若點(diǎn)A在直線l上，則，即，則點(diǎn)A也在圓C上，，所以直線l與圓C相切，故D項(xiàng)正確.12.答案：ACD解析：本題考查對(duì)新定義的理解.，假設(shè)，，…，，中有m個(gè)1（），則.又，則，，…，，中也有m個(gè)1，則，故A項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，，所以，又，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；，，由A知，，所以，所以，故C項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以，，…，，中有n個(gè)1，所以，故D項(xiàng)正確.13.答案：解析：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì).雙曲線C的離心率，所以，所以雙曲線C的漸近線方程為.14.答案：（答案不唯一）解析：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.由條件②可知，在上單調(diào)遞增；由條件③可知，可能為偶函數(shù)，再結(jié)合條件①，可構(gòu)造函數(shù)或等.15.答案：解析：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算.由，得，所以，所以，解得.由，得，所以，所以，解得.同理可得，所以.16.答案：解析：本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程及取值范圍問題.畫出的圖象，如圖所示，由題意知兩條切線的斜率存在且不為零.當(dāng)時(shí)，，，過點(diǎn)的切線斜率；當(dāng)時(shí)，，，過點(diǎn)的切線斜率.因?yàn)閮蓷l切線互相垂直，所以，即，即，所以.過點(diǎn)的切線方程為，令，則；過點(diǎn)的切線方程為，令，則，則，，所以.因?yàn)?，所以，所以的取值范圍?17.答案：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則解得所以.（2）結(jié)合（1）可知，，則等價(jià)于，解得或，又，所以，故使成立的n的最小值為7.18.答案：（1）由正弦定理知，聯(lián)立，解得則.由余弦定理可知.因?yàn)?，所以，則的面積為.（2）因?yàn)?，所以，所以若存在正整?shù)a，使得為鈍角三角形，只需角C為鈍角，所以只需滿足，即，則，化簡得，解得.因?yàn)閍為正整數(shù)，所以a可取1，2.當(dāng)時(shí)，的三邊的長度分別為1，2，3，此時(shí)不滿足三角形的三邊關(guān)系，即該三角形不存在；當(dāng)時(shí)，的三邊的長度分別為2，3，4滿足題意.因此當(dāng)時(shí)，為鈍角三角形.19.答案：（1）如圖，取AD的中點(diǎn)E，連接EQ，EC.因?yàn)?，所?又因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，，所以，，此時(shí)，所以.又，EC，平面ABCD，所以平面ABCD.因?yàn)槠矫鍽AD，所以平面平面ABCD.（2）由（1）知平面ABCD，因此以點(diǎn)E為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Exyz，則，，，，.設(shè)平面BDQ的法向量，則即取，得，則.易知平面AQD的一個(gè)法向量，則，由圖可知二面角的平面角為銳角，因此二面角的平面角的余弦值為.20.答案：（1）由題意得，，可得，從而，所以橢圓C的方程為.（2）設(shè)，，若軸，由MN與相切可知，直線MN的方程為，不過點(diǎn)F，不合題意，所以MN的斜率必存在且不為0.設(shè)直線MN的方程為.由直線MN與相切知，即.將與橢圓方程聯(lián)立，消去y，化簡得，.由根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以.又，所以.（*）若點(diǎn)M，N，F(xiàn)共線，則，即.又，所以，代入（*）式可得.反之，若，則，即，整理得，又，所以.又曲線為右半圓，則m與k異號(hào)，所以，或，，即MN的方程為或，經(jīng)檢驗(yàn)，都經(jīng)過點(diǎn)F，所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是.21.答案：（1）由題意知.（2）由題意知.設(shè)，則，，，.方程的判別式，不妨設(shè)其兩根分別為，，且，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，，則，且，且.當(dāng)時(shí)，，所以，故的最小實(shí)數(shù)根為1，即（如圖1）.當(dāng)時(shí)，，所以，即存在使得（如圖2），即.（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，即1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)期望不大于1，則該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率為1，即該微生物會(huì)滅絕.當(dāng)時(shí)，，即1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)期望大于1，則該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率小于1，即該種微生物可通過多代繁殖而不至于滅絕.22.答案：（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，得或，①當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，②當(dāng)時(shí)，且等號(hào)不恒成立，所以在R上單調(diào)遞增.③當(dāng)時(shí)，令，