第5章 隨機(jī)事件與概率

隨機(jī)事件與概率《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系

05目錄/Contents5.15.2大數(shù)定律中心極限定理目錄/Contents5.1大數(shù)定律一、切比雪夫（Chebyshev）不等式二、依概率收斂三、大數(shù)定律例1解：因?yàn)?/p>

，所以一、切比雪夫不等式定理1（切比雪夫不等式）

證明：僅給出X為連續(xù)型隨機(jī)變量的證明。一、切比雪夫不等式例2因?yàn)?/p>

，由切比雪夫不等式得一、切比雪夫不等式解例3

證明利用切比雪夫不等式得，對(duì)任意的，有一、切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量的方差，求證，服從參數(shù)為的退化分布。由的任意性知個(gè)常數(shù),使得對(duì)任意一個(gè),或等價(jià)地那么稱(chēng)

依概率收斂于,記作

設(shè)是隨機(jī)變量序列,如果存在一定義1當(dāng)充分大時(shí)幾乎總是發(fā)生二、依概率收斂總有依概率收斂性具有下列性質(zhì)：處連續(xù)如果，

，且函數(shù)在

例如，，則定理2二、依概率收斂定理3切比雪夫大數(shù)定律三、大數(shù)定律

因?yàn)殡S機(jī)變量?jī)蓛刹幌嚓P(guān)，根據(jù)期望和方差的性質(zhì)得證明三、大數(shù)定律定理4（獨(dú)立同分布大數(shù)定律）三、大數(shù)定律定理5（伯努利大數(shù)定律）三、大數(shù)定律頻率的穩(wěn)定性

在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,設(shè)隨機(jī)變量

那么次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的頻率為三、大數(shù)定律設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，在下列三種情況下，當(dāng)時(shí)三、大數(shù)定律例4123三、大數(shù)定律解例4續(xù)三、大數(shù)定律01OPTION02OPTION03OPTION目錄/Contents5.15.2大數(shù)定律中心極限定理例5（高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)）

如圖，有一排有一個(gè)板上面有

排釘子，每排相鄰的兩個(gè)釘子之間的距離均相等。上一排釘子的水平位置恰巧位于下一排緊鄰的兩個(gè)釘子水平位置的正中間。從上端入口處放入小球，在下落過(guò)程中小球碰到釘子后以相等的可能性向左或向右偏離，碰到下一排相鄰的兩個(gè)釘子中的一個(gè)。如此繼續(xù)下去，直到落入底部隔板中的一格中。問(wèn)當(dāng)有大量的小球從上端依次放入，任其自由下落,問(wèn)小球最終在底板中堆積的形態(tài).

設(shè)釘子有16排高爾頓釘板中心極限定理首先進(jìn)行分析。小球堆積的形態(tài)取決于小球最終下落在底部隔板的位置的分布。設(shè)隨機(jī)變量X為“小球最終下落在底部隔板中的位置”。又引入隨機(jī)變量中心極限定理顯然和的分布計(jì)算是復(fù)雜的。有沒(méi)有其他的方法呢？經(jīng)過(guò)試驗(yàn)我們觀(guān)察發(fā)現(xiàn)小球堆積形態(tài)呈現(xiàn)出中間高兩邊低的特點(diǎn)，能否認(rèn)為近似服從正態(tài)分布？由于中心極限定理的證明需要使用其它的數(shù)學(xué)工具，因此這里不給出證明。中心極限定理定理6（列維—林德伯格中心極限定理）

例5已知某計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，要對(duì)每個(gè)加數(shù)四舍五入取整。假設(shè)所有取整的誤差相互獨(dú)立，并且均服從

。（1）如果將1200個(gè)數(shù)相加，求誤差總和的絕對(duì)值超過(guò)20的概率；（2）要使誤差總和的絕對(duì)值不超過(guò)5的概率超過(guò)0.95，最多有多少個(gè)加數(shù)？中心極限定理解中心極限定理所以最多有78個(gè)加數(shù)，才能使誤差總和的絕對(duì)值不超過(guò)5的概率超過(guò)0.95。中心極限定理解例6在街頭賭博中,莊家在高爾頓釘板的底板兩端距離原點(diǎn)超出8格的位置放置了值錢(qián)的東西來(lái)吸引顧客，試用中心極限定理來(lái)揭穿這個(gè)街頭賭博中的騙術(shù)。-110.50.5中心極限定理解中心極限定理定理7（德莫弗—拉普拉斯中心極限定理）中心極限定理解某單位的局域網(wǎng)有100個(gè)終端,每個(gè)終端有

10%的時(shí)間在使用,如果各個(gè)終端使用與否是相互獨(dú)立的.（1）計(jì)算在任何時(shí)刻同時(shí)最多有15個(gè)個(gè)終端在使用的概率；（2）用中心極限定理計(jì)算在任何時(shí)刻同時(shí)最多有15個(gè)個(gè)終端在使用的概率的近似值；（3）用泊松定理計(jì)算在任何時(shí)刻同時(shí)最多有15個(gè)終端在使用的概率近似值。例7中心極限定理解即在任何時(shí)刻同時(shí)最多有15個(gè)終端在使用的概率為0.9601。即在任何時(shí)刻同時(shí)最多有15個(gè)終端在使用的概率近似值為0.9522.中心極限定理解即在任何時(shí)刻同時(shí)最多有15個(gè)終端在使用的概率近似值為0.9513.中心極限定理總結(jié)/summary切比雪夫不等式理解切比雪夫不等式的定義，掌握用切比雪夫不等式求解概率上界大數(shù)定律理解依