第一章 概率論的基本概論

歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助!歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助!感謝閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助!感謝閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助!歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助!感謝閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助!概率論的基本概論確定現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象，如向上拋一石子必然下落，等隨機(jī)現(xiàn)象：稱某一現(xiàn)象是“隨機(jī)的”，如果該現(xiàn)象（事件或試驗(yàn)）的結(jié)果是不能確切地預(yù)測(cè)的。由此產(chǎn)生的概念有：隨機(jī)現(xiàn)象，隨機(jī)事件，隨機(jī)試驗(yàn)。例：有一位科學(xué)家，他通曉現(xiàn)有的所有學(xué)科，如果對(duì)一項(xiàng)試驗(yàn)（比如：擲硬幣），該萬(wàn)能科學(xué)家也無(wú)法確切地預(yù)測(cè)該實(shí)驗(yàn)的結(jié)果（是正面朝上還是反面朝上），這一實(shí)驗(yàn)就是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果是“隨機(jī)的”----為一隨機(jī)事件。例：明天下午三點(diǎn)鐘”深圳市區(qū)下雨”這一現(xiàn)象是隨機(jī)的，其結(jié)果為隨機(jī)事件。隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果（隨機(jī)事件）的隨機(jī)度如何解釋或如何量化呢？這就要引入”概率”的概念。概率的描述性定義：對(duì)于一隨機(jī)事件A，用一個(gè)數(shù)P(A)來(lái)表示該事件發(fā)生的可能性大小，這個(gè)數(shù)P(A)就稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率?！?.1隨機(jī)試驗(yàn)序號(hào)條件觀察特性E1拋一枚硬幣正、反面出現(xiàn)的情況正面H,反面TE2將一枚硬幣拋擲三次正、反面出現(xiàn)的情況HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTTE3同上出現(xiàn)正面的次數(shù)0,1,2,3E4拋一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)1,2,3，4，5，6E5記錄電話交換機(jī)呼喚次數(shù)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)0,1,2,3,….E6一批燈泡中任抽取一次測(cè)量使用壽命非負(fù)實(shí)數(shù)E7記錄某地晝夜溫度最高和最低溫度以上試驗(yàn)的共同特點(diǎn)是:1．試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；2．試驗(yàn)的全部可能結(jié)果不止一個(gè)，并且在試驗(yàn)之前能明確知道所有的可能結(jié)果；3．每次試驗(yàn)必發(fā)生全部可能結(jié)果中的一個(gè)且僅發(fā)生一個(gè)，但某一次試驗(yàn)究竟發(fā)生哪一個(gè)可能結(jié)果在試驗(yàn)之前不能預(yù)言。我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行一次觀察和實(shí)驗(yàn)統(tǒng)稱為隨機(jī)試驗(yàn)，它一定滿足以上三個(gè)條件。我們把滿足上述三個(gè)條件的試驗(yàn)叫隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，記E。§1.2樣本空間與隨機(jī)事件(一)樣本空間與基本事件E的一個(gè)可能結(jié)果稱為E的一個(gè)基本事件，記為ω，e等。E的基本事件全體構(gòu)成的集，稱為E的樣本空間，記為S或,即：S={ω|ω為E的基本事件}，={e}.注意：ω的完備性，互斥性特點(diǎn)。例：§1.1中試驗(yàn) E---E7E：S={H,T}E：S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}E：S={0，1，2，3}E：S={1,2,3,4,5,6}E:S={0,1,2,3,…}E：S={t}E7：S={}（二）隨機(jī)事件我們把試驗(yàn)E的全部可能結(jié)果中某一確定的部分稱為隨機(jī)事件。記為事件是由基本事件組成的，事件是樣本空間的子集。集合論集合點(diǎn)子集概率論SA在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的含義是，當(dāng)且僅當(dāng)A中的某一個(gè)基本事件發(fā)生。事件A發(fā)生也稱為事件A出現(xiàn)。必然事件：S不可能事件：例1.(P4)在E2中事件A1:”第一次出現(xiàn)是的H”,即：(三)事件的關(guān)系與運(yùn)算設(shè)E的S，A，B，1．2．3．4．5．7．。記。(常用的關(guān)系）補(bǔ)充1．2．3．吸收律若，則特別注意：德·莫根律（對(duì)偶公式）推廣：，。例2：P6,在例1中….其它例子：例3：：設(shè){甲中}，{乙中}，問(wèn)與各表示什么事件？是否是相等事件？留為練習(xí)例4：一射手向目標(biāo)射擊3發(fā)子彈，表示第i次射擊打中目標(biāo)。試用及其運(yùn)算表示下列事件：（1）“三發(fā)子彈都打中目標(biāo)”；（2）“三發(fā)子彈都未打中目標(biāo)”；（3）“三發(fā)子彈至少有一發(fā)打中目標(biāo)”；（4）“三發(fā)子彈恰好有一發(fā)打中目標(biāo)”；（5）“三發(fā)子彈至多有一發(fā)打中目標(biāo)”.留為練習(xí)§1.3概率與頻率事件的頻率及其穩(wěn)定性設(shè)某試驗(yàn)的樣本空間為，為E的一個(gè)事件。把試驗(yàn)E重復(fù)進(jìn)行了n次，在這n次試驗(yàn)中，A發(fā)生的次數(shù)稱為A的頻數(shù)。稱為事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記作:。頻率的基本性質(zhì)對(duì)任意事件A，有；，；若是互不相容的，則，推論：對(duì)任一事件A，有。實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A的頻率幾乎穩(wěn)定地接近一個(gè)常數(shù)p。頻率的這種性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性，它是事件本身所固有的。書(shū)上p8—9頁(yè)例1，2.概率的頻率定義定義1.1在一組不變的條件下，重復(fù)作n次試驗(yàn)，記m是n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，如果頻率穩(wěn)定地在某數(shù)值p附近擺動(dòng)，而且一般地說(shuō)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，這種擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，則稱數(shù)值p為事件A在這一組不變的條件下發(fā)生的概率，記作p。補(bǔ)充：概率的幾種度量方法事件A的概率，記為P(A)，表示該事件發(fā)生的可能性大小，是事件的一個(gè)非負(fù)實(shí)值函數(shù)，滿足某種概率進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算的公理。對(duì)概率P(A)有幾種不同的度量方法：前面給出了用頻率度量概率的方法，也稱為古典概率度量。還是二種度量方法。幾何概率度量 表示”在區(qū)域中隨機(jī)取一點(diǎn)，而該點(diǎn)落在區(qū)域g中”這一事件。例：這時(shí)，可以是整個(gè)園：測(cè)度為面積；也可以是整個(gè)園周：測(cè)度為長(zhǎng)度。主觀概率度量對(duì)事件A的信念度稱為這一事件的概率P(A).主觀概率（信念度）是通過(guò)相對(duì)似然的概念來(lái)運(yùn)算的。例如：見(jiàn)朱手稿。?！，F(xiàn)通過(guò)例子說(shuō)明此方法：例1：事件A”明天下午3點(diǎn)深圳市區(qū)有雨”，求P(A):即求A的主觀概率；現(xiàn)有一大轉(zhuǎn)盤(pán)，標(biāo)有紅色區(qū)域，事件B：”指針落在紅色區(qū)域”。讓你選擇A發(fā)生還是B發(fā)生的可能性大，為了迫使你選擇，有這樣的將勵(lì)機(jī)制，。。。選擇對(duì)的話，將10萬(wàn)元。。。紅色區(qū)域如果開(kāi)始時(shí)，紅色區(qū)域充滿整個(gè)園，你當(dāng)然要選B發(fā)生的可能性大，逐步調(diào)節(jié)紅色區(qū)域的大小，漸漸縮小，。。。等到選A或B都一樣時(shí)停止，這時(shí)，可以由B的幾何概率作為A的主觀概率。當(dāng)你對(duì)選A或B誰(shuí)發(fā)生的可能性大沒(méi)有偏好時(shí)，。。。例2.假如你面臨以下兩種選擇：1.如果事件A發(fā)生，你將得到少量的報(bào)酬R；否則沒(méi)有報(bào)酬。2.參加抽獎(jiǎng)，你贏得一份小報(bào)酬R的概率為P，但是你輸或者說(shuō)你得不到報(bào)酬的概率為1-P。如果你對(duì)1，2兩種選擇沒(méi)有偏好，那么你判斷事件A發(fā)生的概率為P.(主觀)(二)概率的公理化定義概率的公理化定義定義1.2設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，如果對(duì)每一個(gè)事件A都有一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，且滿足下面三條公理：公理1（非負(fù)性）：對(duì)任一事件A，有；公理2（規(guī)范性）：對(duì)必然事件S，有；公理3（完全可加性）若可列無(wú)窮多個(gè)事件互不相容，則，那么稱為事件A的概率。概率的性質(zhì)(1);(2)有限可加性:若互不相容，則;(3)對(duì)事件A,都有;若,則?;?；特別的，對(duì)任何事件A，都有;對(duì)任何兩個(gè)事件A,B，都有;對(duì)任何n個(gè)事件,都有例10---12為第一版上的例子。例10：A,B是E中二個(gè)事件，已知，，求解：例11：在某城市的居民中訂購(gòu)報(bào)紙的情況是：訂購(gòu)A報(bào)的占45%，訂購(gòu)B報(bào)的占35%；訂購(gòu)C報(bào)的占30%，同時(shí)訂購(gòu)A,B的占10%，同時(shí)訂購(gòu)A,C的占8%，同時(shí)訂購(gòu)B,C的占5%，同時(shí)訂購(gòu)A,B,C的占3%。求下列事件的概率（百分率）（1）{只訂購(gòu)A報(bào)紙的}；（2）{至少訂一種報(bào)紙的}。例12：在所有的兩位數(shù)（即從10至99）中，任取一個(gè)數(shù)，求這個(gè)數(shù)能被2或者3整除的概率。§1.4等可能概型（古典概型）一、古典概率1．古典概型與計(jì)算公式E滿足：①S中基本事件ω個(gè)數(shù)是有限的n；②每個(gè)基本事件發(fā)生是等可能的.稱E為古典概型。E中事件A包含k個(gè)基本事件，則A發(fā)生的概率為P(A).2．古典概率的基本性質(zhì)設(shè)E是古典概型，其樣本空間為，A，A，A，…，A是E中事件：①．0≤P（A）≤1②．P（S）=1，P（）=0③．若A，A，…，A是互不相容的事件，則有P；推論：P（A）=1-P（）。P13，將一枚硬幣擲三次，。。。。P14---17例2—7.照書(shū)上講。。。以下例4---9為第一版上的例子：例4：E中求任取一球的號(hào)碼為偶數(shù)的概率。解：設(shè)A={所取的球的號(hào)碼為偶數(shù)}={w2，w4，w6}即A中基本事件數(shù)k=3，于是P（A）=.例5：（1.10）在一袋中有10個(gè)相同的球，分別標(biāo)有號(hào)碼。每次任取一個(gè)球，記錄其號(hào)碼后放回袋中，再任取下一個(gè)。這種取法叫做“有放回抽取”。今有放回抽取3個(gè)球，求這3個(gè)球的號(hào)碼均為偶數(shù)的概率。例6：(1.11)在一袋中有10個(gè)相同的球，分別標(biāo)有號(hào)碼。每次任取一個(gè)球，記錄其號(hào)碼后不放回袋中，再任取下一個(gè)。這種取法叫做“不放回抽取”。今不放回抽取3個(gè)球，求這3個(gè)球的號(hào)碼均為偶數(shù)的概率。例7：盒中有a個(gè)紅球，b個(gè)白球（a≥2,b≥1），每次從中任取一球，不放回地連取三次，求下列事件的概率：(1)“取出的三個(gè)球依次為紅，白，紅色球”A；(2)“取出的三個(gè)球有兩個(gè)是紅色球”B.例：(1.13)在一袋中有10個(gè)相同的球，分別標(biāo)有號(hào)碼。今任取兩個(gè)球，求取得的第一個(gè)球號(hào)碼為奇數(shù)，第二個(gè)球號(hào)碼為偶數(shù)的概率。例8：（1.14）設(shè)一批同類型的產(chǎn)品共有件，其中次品有件。今從中任?。俣ǎ┘?，求次品恰有件的概率例9：一箱內(nèi)裝有同類產(chǎn)品六件（其中4件是正品，二件是次品）。從中每次取一件，連取兩次。求下列事件的概率：（1）“取到的兩件產(chǎn)品的質(zhì)量是相同的”A；（2）“取到的兩件產(chǎn)品至少有一件是正品”B.§1.5條件概率條件概率例1將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正反面的情況，設(shè)事件A為”到少有一次為H”，事件B為”兩次擲出同一面”?，F(xiàn)在來(lái)求已知事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。解：樣本空間為S={HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH},B={HH,TT}于是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率（記為P(B/A)）為：P(B/A)=1/3注意到：易知：定義：設(shè)A,B為E中的二個(gè)事件，且，則在事件A已發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率定義為：.同樣若，則。性質(zhì)（定理）如果,則是概率.計(jì)算方法法一：公式計(jì)算法;法二：直接計(jì)算法.不難驗(yàn)證，條件概率P(·/A)符合概率定義中的三個(gè)條件：1.非負(fù)性2.完全性3.可加性P19例2P19，。下面的例11--13為第一版。例11：甲乙二廠同生產(chǎn)一種零件，分放在二個(gè)箱內(nèi)，它們產(chǎn)品的情況如下：正品次品小計(jì)甲廠502070乙廠25530小計(jì)7525100從中任取一件產(chǎn)品，求下列事件的概率：（1）“取得的一件產(chǎn)品是甲廠產(chǎn)品”=A;(2)“取得的一件產(chǎn)品是次品”=B;(3)“取得的一件產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品”;(4)已知取得的一件產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的，求它是次品的概率。例12：在標(biāo)號(hào)依此為的15個(gè)同類球中，任取一球。易算出下列事件的概率和條件概率。(1)取得“標(biāo)號(hào)為偶數(shù)”（事件A）的概率；(2)取得“標(biāo)號(hào)小于6”（事件B）的概率；(3)取得“標(biāo)號(hào)既為偶數(shù)，又小于6”（事件AB）的概率；(4)若已知“所取球的標(biāo)號(hào)小于6”（即在B已發(fā)生的條件下），則“球的標(biāo)號(hào)為偶數(shù)”（即A再發(fā)生）的概率。例13：(書(shū)例1．20)設(shè)有100件同類型的產(chǎn)品，其中80件一等品，15件二等品，5件次品。從中任取一件，已知“取得的是非次品”（事件B），求“它是一等品”（事件A）的概率。(二)概率的乘法公式定義：設(shè)兩個(gè)事件,且，由條件概率公式得,若,有稱為概率的乘法公式（定理）.例3，4，P21---22;例14—16為第一版：例14：(書(shū)例1．21)10件同類型產(chǎn)品，其中8件正品，2件次品。今不放回抽取兩次，每次取一件，求“兩件均為正品”（事件A）的概率。推廣：對(duì)n個(gè)事件，且,則有。例15：(書(shū)例1.22)一城市位于甲，乙兩河的匯合處，當(dāng)兩河流至少有一泛濫時(shí)，該市就會(huì)被淹，已知在指定的時(shí)間內(nèi)，甲,乙兩河泛濫的概率均為0.01，又當(dāng)甲河泛濫時(shí)引起乙河泛濫的概率為0.5。求在指定的時(shí)間內(nèi)該市被淹的概率。例：已知，，，且，。求：?；?。例16：十個(gè)人抓一張電影票，問(wèn)每個(gè)人抓到電影票的概率與抽簽的次序是否有關(guān)？條件概率與有如下的一般關(guān)系(三)全概率公式例17（第一版）：口袋中有16個(gè)球，其中白球10個(gè)，紅球6個(gè)。每次取一球，取后不放回，連取兩次。求下列事件的概率：(1)“第一次,第二次取的都是白球”;(2)“第二次才取到白球”;(3)“第二次取到白球”.思考：?三個(gè)事件有什么不同？?第(3)個(gè)事件有何特點(diǎn)？難點(diǎn)在哪？怎么解決問(wèn)題？定理1.1（全概率公式）若事件組滿足：(1)互不相容且,,(2);則對(duì)任何事件A,均有。（1.19）稱滿足(1)、(2)的事件組為完備事件組。(1.19)式稱為全概率公式。重點(diǎn)在于:什么情況下用全概率公式，如何用全概率公式解決實(shí)際問(wèn)題。關(guān)鍵是找出且找出發(fā)生的“種可能原因”或“可能的前提條件”或“情況”將其視為。例18(第一版)：（書(shū)例1．23）市場(chǎng)出售的燈泡，甲廠占80%（其中合格率為95%），乙廠占20%（其中合格率為90%）。任買(mǎi)一燈泡，求它是合格品的概率。例19(第一版)：甲、乙、丙三廠生產(chǎn)一批同類產(chǎn)品。甲廠產(chǎn)量是乙廠、丙廠產(chǎn)量之和，而乙廠產(chǎn)量是丙廠產(chǎn)量的二倍。又知甲、乙、丙三廠產(chǎn)品的正品率分別為0.90,0.96,0.84。求從該批產(chǎn)品中任取一件是正品的概率；已知取得的一件是正品，問(wèn)它是哪個(gè)廠產(chǎn)品的可能性最大（概率）？(四)貝葉斯公式定理1.2若是一完備事件組，則對(duì)任意的事件，均有。此式稱為貝葉斯公式。例6，7，P24頁(yè)。例20(第一版)：（書(shū)例1．26）某廠產(chǎn)品96%是（真）合格品。有一驗(yàn)收方法，把（真）合格品判為“合格品”的概率為0.98，把非合格品判為“合格品”的概率為0.05。求此驗(yàn)收方法判為“合格品”的一產(chǎn)品為（真）合格品的概率。例21(第一版)：袋中有n個(gè)球，其中白球數(shù)未知，假設(shè)有i個(gè)白球的可能性對(duì)所有的i=0,1,…,n都相等。現(xiàn)從袋中任取一球，求在取得的球是白球的條件下，袋中原來(lái)有i個(gè)白球的概率？(i=0,1,…,n)§1.6事件的獨(dú)立性.伯努利概型一.事件的獨(dú)立性1.兩個(gè)事件A,B的獨(dú)立性定義1.3對(duì)任意的事件A,B,若,則稱事件A,B是相互獨(dú)立的。性質(zhì)1:若A與B獨(dú)立,則與B,A與,與相互獨(dú)立。2.推廣定義1.4對(duì)任意三個(gè)事件A,B,C，若則稱事件A,B,C相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A,B,C獨(dú)立。一般的，對(duì)任意n個(gè)事件，若?，；?，；…?。則稱事件相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱獨(dú)立。性質(zhì)2：若相互獨(dú)立，則。例22（第一版）：(書(shū)例1．27)甲，乙，丙三人同時(shí)獨(dú)立向同一目標(biāo)射擊，他們射中目標(biāo)的概率分別為0.4,0.5,0.7。求至少有一人射中目標(biāo)的概率；恰有一人射中目標(biāo)的概率。例23（第一版）：袋中裝有編號(hào)為的n個(gè)球，有放回地抽r次，求：(1)1號(hào)球不被抽到的概率；(2)1號(hào)球和2號(hào)球均被抽到的概率。二．伯努利概型若試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果A和,且,,則稱E為伯努利概型。稱A為“成功”,為“失敗”。n重伯努利試驗(yàn)將伯努利試驗(yàn)E，在相同條件下，獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次，作為一個(gè)試驗(yàn)，則這個(gè)試驗(yàn)為n重伯努利概型。記為En。注意兩點(diǎn)：?相同條件下，即每次相同。?各次試驗(yàn)結(jié)果是獨(dú)立的。3.定理1.3設(shè)E為伯努利試驗(yàn)，且，則在n重伯努利概型中，事件A恰好發(fā)生次的概率為：，。例2---