江蘇省蘇州市2022-2023學年高二上學期期末學業(yè)質量陽光指標調研數(shù)學試題（教師版含解析）

蘇州市2022~2023學年第一學期學業(yè)質量陽光指標調研卷高二數(shù)學注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求：1.本卷共6頁，包含單項選擇題(第1題~第8題)、多項選擇題(第9題~第12題)、填空題(第13題~第16題)、解答題(第17題~第22題).本卷滿分150分，答題時間為120分鐘.答題結束后，請將答題卡交回.2.答題前，請務必將自己的姓名、調研序列號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.記正項數(shù)列的前項和為，且是等比數(shù)列，且，，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比中項的性質可得出關于的方程，結合可求得的值，可求得數(shù)列的通項公式，進而可得出的值.【詳解】由等比數(shù)列的性質，，，，由題意可得，即，即，，解得，則，數(shù)列的公比為，所以，，因此，.故選：C.2.直線的傾斜角是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直線方程確定直線的斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關系即可得.【詳解】解：直線的方程可化為，可知傾斜角，滿足，因此.故選：B.3.設數(shù)列各項非零，且平面的法向量為，直線的方向向量為，則“數(shù)列為等比數(shù)列”是“平面平行于直線”的()A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】分別從充分性和必要性進行說明即可判斷.【詳解】若已知數(shù)列為等比數(shù)列，則，因此有成立，所以可知，但無法得知是否在平面內，因此充分性不成立；若已知平面平行于直線，則可知，根據(jù)定義，及即可得到，即，但不能認為為等比數(shù)列，即必要性不一定成立.所以“數(shù)列為等比數(shù)列”是“平面平行于直線”的既不充分也不必要條件，故選：.4.記橢圓的左焦點和右焦點分別為，右頂點為，過且傾斜角為的直線上有一點，且在軸上的投影為.連接，的方向向量，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量，分析出的值，證明出，最后借助的兩種表達方式列方程求解.【詳解】由于，根據(jù)直線方向向量性質可得，直線的斜率為，即傾斜角為，于是，即，故，由此得到，，，所以離心率.故選：C5.如圖，正方形的邊長為14cm，，，，依次將，，，分為的兩部分，得到正方形，依照相同的規(guī)律，得到正方形、、…、.一只螞蟻從出發(fā)，沿著路徑爬行，設其爬行的長度為，為正整數(shù)，且與恒滿足不等式，則的最小值是()A.19 B.20 C.21 D.22【答案】C【解析】【分析】由題結合圖形，通過數(shù)學歸納得出數(shù)列以6為首項，為公比的等比數(shù)列，求和分析即可.【詳解】由題意可知，，.所以，因此由數(shù)學歸納的思想可知，.設數(shù)列，則該數(shù)列以6為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，因此，故選：C.6.已知數(shù)列，且，記其前項和為.若是公差為的等差數(shù)列，則()A.200 B.20200 C.10500 D.10100【答案】D【解析】【分析】根據(jù)是公差為的等差數(shù)列，求出其通項公式，進而可求，利用與的關系即可求出的通項公式，再用等差數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】容易得到的首項，因此，所以，將替換為，則有，兩式相減得.由于，，所以，可得，因此，所以.故選:D.7.如圖1所示是素描中的由圓錐和圓柱簡單組合體，抽象成如圖2的圖像.已知圓柱的軸線在平面內且平行于軸，圓錐與圓柱的高相同.為圓錐底面圓的直徑，，且.若到圓所在平面距離為2.若，則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)所建空間直角坐標系，由求出的坐標，得到，，的長度，利用余弦定理求與夾角的余弦值.【詳解】如圖2所示的空間直角坐標系中，設，.，，所以，，由，所以所以，，由對稱性這里取，則，，又，所以，，，因此由余弦定理，.故選：C8.在寫生課上，離身高1.5m的絮語同學不遠的地面上水平放置著一個半徑為0.5m的正圓，其圓心與絮語同學所站位置距離2m.若絮語同學的視平面平面，平面，，且平面于點，，則絮語同學視平面上的圖形的離心率為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出圖形，結合題中數(shù)據(jù)和三角形相似即可求解.【詳解】畫出題中所述圖：可知圓在視平面上得到的是橢圓，且長軸長為圓的直徑，即通過相似關系，由及，代入數(shù)據(jù)：，，所以，則，，所以.故選：D.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.每小題給出的四個選項中，都有多個選項是正確的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，選錯或不答的得0分.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.9.已知直線，，設兩直線分別過定點，直線和直線的交點為，則下列結論正確的是()A.直線過定點，直線過定點 B.C.面積的最大值為5 D.若，，則恒滿足【答案】AB【解析】【分析】直線恒過定點參數(shù)前面的系數(shù)為判斷選項A，由兩直線垂直判斷交點在以為直徑的圓上，判斷選項B，由面積最大值求選項C，點滿足方程，再由題設得，判斷選項D.【詳解】對于A，可化作，可發(fā)現(xiàn)過定點，同理，過定點，A正確；對于B，，可得恒成立，因此是以為直徑的圓上的點，根據(jù)定義，，B正確；對于C，，當且僅當時等號成立，故C錯誤；對于D，由題可知在圓上運動，設，若,則，化簡可得，與的方程不符合，故D錯誤.故選：AB.10.設平面直角坐標系中，雙曲線的左焦點為，且與拋物線有公共的焦點.若是上的一點，下列說法正確的是()A.和不存在交點B.若，則直線與相切C.若是等腰三角形，的坐標是D.若，則的橫坐標為【答案】BD【解析】【分析】利用雙曲線和拋物線的性質，對選項逐個驗證.【詳解】對于A，聯(lián)立：，消去得，由，解得，雙曲線與拋物線有交點，A錯誤；對于B，由，，則直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去得，判別式，則直線與拋物線相切，B正確；對于C，不在拋物線上，故C錯誤；對于D，是拋物線上的一點，設，則有，，，若，有，因此，即，解得，D正確.故選：BD11.數(shù)列是百余年前的發(fā)現(xiàn)，在近代數(shù)論中有廣泛的應用.數(shù)列是把中的分母不大于的分子與分母互質的分數(shù)從小到大排成一列,并且在第一個分數(shù)之前加上，在最后一個分數(shù)之后加上，該數(shù)列稱為階數(shù)列，記為，并記其所有項之和為.數(shù)列還有一個神奇的性質.若設的相鄰兩項分別為，，則.下列關于數(shù)列說法正確的是()A. B.數(shù)列中共有18項C.當時，的最中間一項一定是 D.若中的相鄰三項分別為，，，則【答案】CD【解析】【分析】舉特例即可說明A項錯誤；根據(jù)定義，列舉即可判斷B項；根據(jù)數(shù)列的定義，可得數(shù)列中元素的特征，進而即可判斷C項；由題意可得，，整理即可判斷D項.【詳解】對于A，列舉數(shù)列：，，可知，A錯誤；對于B，列舉可得：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19項，B錯誤；對于C，由于數(shù)列按照大小排列，且若在中，則一定也在中，又當時，在中，所以個數(shù)一定為奇數(shù)個.因此根據(jù)的定義可得，中間一項一定為，C正確；對于D，由于，，整理即可得到，D正確.故選：CD.12.《瀑布》(圖1)是埃舍爾為人所知作品.畫面兩座高塔各有一個幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”(圖2).在棱長為2的正方體中建立如圖3所示的空間直角坐標系(原點O為該正方體的中心，x，y，z軸均垂直該正方體的面)，將該正方體分別繞著x軸，y軸，z軸旋轉，得到的三個正方體，，2，3(圖4，5，6)結合在一起便可得到一個高度對稱的“三立方體合體”(圖7).在圖7所示的“三立方體合體”中，下列結論正確的是()

A.設點的坐標為，，2，3，則B.設，則C.點到平面的距離為D.若G為線段上的動點，則直線與直線所成角最小為【答案】ACD【解析】【分析】正方體的頂點到中心的距離不變，判斷A，寫出各點坐標，利用空間向量法求解判斷BCD．【詳解】正方體棱長為2，面對角線長為，由題意，，，，旋轉后，，，，，，，，，，，，旋轉過程中，正方體的頂點到中心的距離不變，始終為，因此選項A中，，2，3，正確；，設，則，，，則存在實數(shù)，使得，，，，∴，B錯；，，設是平面的一個法向量，則，令，得，又，∴到平面的距離為，C正確；，設，，，，令，則，時，，遞增，時，，遞減，∴，又，，所以，即，，夾角的最小值為，從而直線與直線所成角最小為，D正確．故選：ACD．【點睛】方法點睛：本題正方體繞坐標軸旋轉，因此我們可以借助平面直角坐標系得出空間點的坐標，例如繞軸旋轉時時，各點的橫坐標()不變，只要考慮各點在坐標平面上的射影繞原點旋轉后的坐標即可得各點空間坐標．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，若兩個空，第一個空2分，第二個空3分，共計20分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.13.已知，，且，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標表示列出等式解出即可.【詳解】由，，且則，所以，解得，故答案為：.14.若數(shù)列和數(shù)列同時滿足，，，，則______，______.【答案】①.②.【解析】【分析】將，相加，相減分別可得為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，即可求解.【詳解】因為，，令前式后式，化簡可得①，令前式+后式，化簡可得②由①，且，故是首項為1，公差為2的等差數(shù)列.可得，由②，且，故是首項為1，公比為的等比數(shù)列.可得所以，故答案為:；.15.若，且在上，在圓上，則的最小值為______.【答案】1【解析】【分析】結合點與圓的位置關系可得，證明等于點到直線的距離的一半，利用平面幾何結論求的最小值.【詳解】如圖，，當且僅當為線段與圓的交點時等號成立；設點的坐標為，則，，，所以等于點到直線的距離的一半，過點作直線的垂線，垂足記為，過點作直線的垂線，垂足記為，則當且僅當點為線段與橢圓的交點時等號成立，此時點的坐標為，所以的最小值為1，故答案為：1.16.已知圓的直徑上有兩點、，且有，為圓的一條弦，則的范圍是______.【答案】【解析】【分析】分析可知的中點為圓心，利用平面向量數(shù)量積的運算性質可得，計算可得，利用三角不等式可求得的取值范圍，可得出的取值范圍，進而可求得的取值范圍.【詳解】因為圓的直徑上有兩點、，且有，則的中點為圓心，故圓的半徑為，，由于，且，當且僅當時，等號成立，，當且僅當、方向相同且為圓的直徑時，兩個等號同時成立，故，則，所以，所以.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共計70分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.平常所說的樂理，一般是指音樂理論中的基礎部分，關于基礎的音樂理論的著作浩如煙海，是學習音樂的必修課程.我們平常所說的樂理，一般是指音樂理論中的基礎部分，解決有關聲音的性質、律制、記譜法、音樂的基本要素、音與音之間結合的基本規(guī)律等等，而記譜(和讀譜)的方法是其中很重要的一個部分。音樂是人類共同的語言.音樂中，我們常用音階描述音符音調高低的關系，即1(do)，2(re)，3(mi)，4(fa)，5(sol)，6(la)，7(ti)，i(do).如圖，在鋼琴上，一個八度內白鍵、黑鍵共有13個(不計入圖中最右側的半個黑鍵)，相鄰琴鍵對應的音符頻率比相等且1的頻率與的頻率比為2.(1)若兩音與的音程關系為一度，求兩音的頻率比；(2)利用“五度相生”可以構造出被稱為“宮商角徵羽”的五聲音階.設1的頻率為，在1的基礎上不斷升高五度，生成新的音符，并為方便辨認新的音符，將生成的頻率大于的音降一個八度，請你利用五度相生的理論推斷出“宮商角徵羽”可能對應的音符(無需一一對應).參考數(shù)據(jù)：1234567891011121.051.121.181.251.331.411.491.581.681.781.892【答案】(1)(2)對應音符為1，2，3，5，6【解析】【分析】(1)根據(jù)題意即可求解；(2)結合題意，先求出一組“五聲調式”：，，，，，，將生成的頻率大于的音降一個八度，然后根據(jù)參考數(shù)據(jù)即可求解.【小問1詳解】由題可知，若兩個音距離一個八度，則頻率比為2，所以若兩個音的音程為一度，半個音(即相鄰琴鍵)之間的頻率比為，所以兩個成一度之間的音符頻率比為.【小問2詳解】通過五聲調式，可以先構成一組“五聲調式”：，，，，，，將其中大于的降一個八度，即除以：，，，，，，根據(jù)參考數(shù)據(jù)可以估計得到，五個音分別為1，5，2，6，3.因此“宮商角徵羽”對應的音符為1，2，3，5，6.18.已知拋物線，記其焦點為.設直線：，在該直線左側的拋物線上的一點P到直線的距離為，且.(1)求的方程；(2)如圖，過焦點作兩條相互垂直的直線、，且的斜率恒大于0.若分別交于兩點，交拋物線于、兩點，證明：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】(1)利用拋物線的定義以及準線方程即可求解；(2)利用全等三角形的性質以及三角形內角和即可求解.【小問1詳解】拋物線的準線的方程為，則可知，解得，所以的方程為.【小問2詳解】作于，于.由拋物線定義，，，又因為，，所以，，由此，，，所以，，所以，定值.19.如圖，三棱錐中，，且平面平面，，設為平面的重心，為平面的重心.(1)棱可能垂直于平面嗎？若可能，求二面角的正弦值，若不可能，說明理由；(2)求與夾角正弦值的最大值.【答案】(1)不可能，理由見解析(2)1【解析】【分析】(1)先作出輔助線，由面面垂直得到線面垂直，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，，假設垂直于平面，則有，得到方程組，無解，所以假設不成立，不可能垂直于平面；(2)由重心性質表達出，且，表達出，分與兩種情況，求出與夾角余弦值的最小值，得到與夾角正弦值最大值.【小問1詳解】設中點為，連接，由于，因此，又因為平面平面，交線為AB，平面PAB，所以⊥平面.因為，，由勾股定理得：，以為原點作空間直角坐標系，則，，，設，有對稱性可知和情況相同，不妨設，則.所以，，.設平面的法向量為，則有，所以取，則，則.假設垂直于平面，則有，則，無解，所以假設不成立，不可能垂直于平面；【小問2詳解】由重心的性質，，同理，，所以，，則，所以，要想求與夾角正弦值最大值，只需求出與夾角余弦值的最小值，當，即時，此時即為與夾角余弦值，設，令，則，.令，，，則，因為，，所以，即，又因為，所以在上是減函數(shù)，當時，，此時與夾角正弦值的最大值為1，當，即時，此時即為與夾角余弦值，設，令，則，.令，，，則，因為，，所以，即，又因為，所以在上是增函數(shù)，故，此時不存在最值，綜上，與夾角正弦值的最大值為1.20.在平面直角坐標系中，存在兩定點，與一動點A.已知直線與直線的斜率之積為3.(1)求A的軌跡；(2)記的左、右焦點分別為、.過定點的直線交于、兩點.若、兩點滿足，求的方程.【答案】(1)(2)或.【解析】【分析】(1)設，表示出直線與直線的斜率，由題可得A的軌跡；(2)設過定點的直線方程為，將其與聯(lián)立，后由及韋達定理可得答案.【小問1詳解】設，由題意，化簡可得所以A的軌跡為.【小問2詳解】由題設過定點的直線方程為，將其與聯(lián)立有：，消去y得：因交于、兩點，則.設，則由韋達定理有：.又，則，，則.又，，解得，則的方程為：或.21.完成下面兩題(1)如圖，一個半徑為的圓在一條直線上無滑動地滾動，與軸的切點為，設圓上一點，順時針旋轉到所轉過的角為，①設平行于軸的單位向量為，平行于軸的單位向量為，用表示；②在①的條件下，用題中所給字母表示，并以的形式寫出運動軌跡的方程；(2)如圖，設點在空間直角坐標系內從開始，以的角速度繞著軸做圓周運動，同時沿著平行于軸向上做線速度為的勻速直線運動,運動的時間為t，用題中所給字母表示的運動軌跡的方程