基于malab的土壓力問題的分析與求解

基于malab的土壓力問題的分析與求解

0土壓力及其作用點位置coulumb土壤壓力理論是法國科學(xué)家coulumb在1773年的力學(xué)文章中提出的“建筑力學(xué)的最大和小規(guī)律應(yīng)用”中提出的。這是200多年前提出的，在重力墻的結(jié)構(gòu)設(shè)計中仍然很常見。Coulomb土壓力理論雖然解決了主動土壓力和被動土壓力的大小問題，但對力的作用點位置問題依然采用了土壓力強度沿墻高線性分布的假定。然而，大量的現(xiàn)場觀測和室內(nèi)測試資料表明：土壓力沿墻高并非線性分布，而是某種曲線形式；土壓力的作用點位置與Coulomb理論的結(jié)果不一致，并非總是作用在1/3墻高處，而是與墻體變位模式的類型等多種因素有關(guān)，是個變化的值。另外，Coulomb土壓力理論是以土體平面滑動破壞假定為基礎(chǔ)的，此假定的物理背景仍需在理論上進行分析。1土壤閉合負荷的基本方程1.1物權(quán)粘聚力分析建模計算分析的基本假定：(1)所研究的問題為平面應(yīng)變問題；(2)墻后土體為Coulomb材料，可用其物性參數(shù)粘聚力c和內(nèi)摩擦角?表征；(3)墻后土體產(chǎn)生主動或被動土壓力時，土體形成滑動楔體，其滑裂面通過墻踵；(4)擋土結(jié)構(gòu)剛性且其運動不受限制，運動位移與墻高相比可忽略不計；(5)墻土之間的摩擦可用摩擦角δ表示。1.2土體平衡方程圖1和圖2分別表示墻后土體處于主動和被動極限狀態(tài)的情況，AC表示擋土結(jié)構(gòu)，AB為土層的水平面，BC為土層的破壞面，W為ABC部分土體的重量，Pa、Pp分別表示作用在墻背上的主動和被動土壓力，δ為墻土間的摩擦角，并且假定其小于土體的內(nèi)摩擦角?，d為力的作用點距墻底的垂直距離，h為墻高，σ、τ分別為作用在滑動面上的法向、切向應(yīng)力。取ABC部分的土體為隔離體，可以建立其處于平衡狀態(tài)時的2個力的平衡方程。由ΣX=0可得式中Pn為土體的極限荷載。當(dāng)n=1時，Pn為主動土壓力Pa，當(dāng)n=-1時，Pn為被動土壓力Pp;y˙=dy/dx。由ΣY=0可得式中γs為土體的重度。設(shè)在破裂面上法向應(yīng)力σ與切向應(yīng)力τ服從Mohr-Coulomb破壞準則，即式中c、?分別為土體的粘聚力和內(nèi)摩擦角，代入式（3），式（1）、式（2）變?yōu)閷⑹剑?）代入式（5）可得至此，推導(dǎo)出了滑動土體ABC處于極限平衡狀態(tài)的2個力的平衡方程，式（4）、式（6）。1.3lagrange函數(shù)式（4）、式（6）表示土壓力Pn為含有2個自變量函數(shù)y(x）、σ（x）的泛函，且為邊界待定的條件變分極值問題?；衙媲€的起始點為（墻踵處）C點，坐標(biāo)為xc=0,yc=0，終點為坡面上的B點，坐標(biāo)為x=xB,xB待定，yB=h。依據(jù)泛函在約束條件下的變分法，用Lagrange乘子法構(gòu)造如下的泛函J*，從而使上述條件極值問題轉(zhuǎn)化為無約束的極值問題：式中λ1為Lagrange乘子；其余符號的意義同上?；瑒用娴姆匠蘺(x）及沿滑動面的y(x）分布的法向應(yīng)力σ（x）須滿足以下條件：(1)輔助函數(shù)F的Euler微分方程(2)積分約束方程：式（6）。(3)兩類邊界條件1)可動邊界點處的變分邊界條件—橫截條件：式中δ為變分算子；其余符號的意義同上。2)固定邊界點條件：1.4土體平動破壞模型求解Euler方程，不難證明沿平面滑動是墻后土體可能的破壞機制。由式（11）及式（8）、式（9）、式（10）、式（14）可得由式（12）、式（13）及式（8）、式（9）、式（10）可得至此，已經(jīng)求出了土體平動破壞時滑動平面的方程—式（15）和沿滑動面的法向應(yīng)力分布—式（16）。1.5土體極限荷載的推導(dǎo)當(dāng)土體的內(nèi)摩擦角?為常數(shù)時，式（15）是一條直線方程。從而可知，當(dāng)墻后土體達到臨界狀態(tài)時，其破壞形式是沿平面滑動。下面推導(dǎo)臨界狀態(tài)下土體極限荷載的表達式。首先將滑動面BC的方程改寫為式中α為滑裂面與水平面的夾角，如圖3、圖4所示。由式（15）和式（17）可得另外，由圖3、圖4可得下面的關(guān)系式：式中xB為滑動體右上角點B的X坐標(biāo)。將式（17）、式（18）、式（20）及式（16）代入式（1）和式（2），化簡整理可得至此，推導(dǎo)出了土體極限荷載Pn的表達式—式（21）和式（22）。1.6土壓力pne土體極限荷載的作用點位置在確定了土體極限荷載的大小后，根據(jù)滑動體ABC靜力平衡的力矩式求出。此時，作用在滑動體ABC上的外力有主動土壓力和被動土壓力Pn的極值Pne、滑動面BC上作用的法向力σ和切向力τ、滑動體ABC受到的重力W對C點的力矩為MP、Mσ、Mτ、MW。因τ的作用線過C點，所以Mτ=0。力系對C點的力矩平衡可寫為參照圖3、圖4容易寫出由式（16）可知，土壓力Pn取極值Pne時滑動面上的從而同時，由圖3、圖4可知將式（24）、式（25）、式（27）、式（28）、式（29）代入式（23），可得式中Pne為土體極限荷載Pn的極值；αe、λ1e、xBe分別為土體極限荷載Pn取極值Pne時相應(yīng)滑動面與水平方向的夾角、Lagrange乘子、滑動體上B點x坐標(biāo)。確定Pne作用點的計算步驟如下：首先利用式（21）、式（22）確定αe、Pne，接下來利用式（19）、式（20）確定λ1e、xBe，最后把求得的參數(shù)代入式（30）就可求出Pne的作用點到墻踵的距離d與墻高h的比值。2土壓力函數(shù)的求解在利用式（21）和式（22）確定土體極限荷載的大小時，涉及到求解帶有約束的一元函數(shù)的極值問題。需借助于某種優(yōu)化方法確定其極值。經(jīng)過分析，本文選取了Matlab6.1優(yōu)化工具箱提供的fmincon函數(shù)。fmincon函數(shù)的功能為求多變量有約束非線性函數(shù)的最小值。因而，在求解主動土壓力問題時，需轉(zhuǎn)化為求取-Pa的最小值。對于本文求解問題，相應(yīng)的約束為：(1)角度α限定的區(qū)間為[0.π/2]，α為滑動面與水平方向的夾角；(2)滑動破裂面上的切向應(yīng)力τ大于0；(3)式（21）×sinδ—式（22）×cosδ=0。利用fmincon函數(shù)，編制了各種情況下的土體極限荷載計算程序的m文件。3土體極限荷載計算前文將土體極限荷載的泛函極值問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極值問題?？衫胒mincon函數(shù)確定土體極限荷載的大小，同時也確定了臨界滑動土體的幾何尺寸和位置，最后利用滑動體靜力平衡的力矩式求出土體極限荷載作用點在墻體的相對位置d/h。3.1最佳土壓力的確定為了驗證本文計算方法的合理性及正確性，下面先將c=0情況下的部分計算結(jié)果與Coulomb(1776）的解答進行了對比。此時，無量綱化的土壓力P為式中K為土壓力系數(shù)。表1、表2分別為主動土壓力、被動土壓力計算結(jié)果的對比，可以看出，土壓力大小的計算結(jié)果完全一致的，但力作用點位置并非總是作用在墻高的1/3處。對于土體極限荷載作用點不是總在墻高的1/3處，相關(guān)測試已經(jīng)證明。3.2土體粘聚力的極限荷載當(dāng)粘聚力c≠0時，本文計算了其變化對土體極限荷載大小的影響，見圖5?？梢姡瑹o量綱化的土體極限荷載大小Pne/（γsh2）與無量綱化后的土體粘聚力c/（γsh）成線性關(guān)系。考慮了土體粘聚力c的影響，土體的極限荷載的大小Pne在形式上可以表達為式中K?為與土體的內(nèi)摩擦角?相關(guān)的土壓力系數(shù)，可通過式（31）計算；Kc為與土體的粘聚力c相關(guān)的土壓力系數(shù)。(2）土體粘聚力c的影響利用滑動體ABC滿足的力矩平衡方程—式（30）確定土體極限荷載的作用點在墻高的相對位置d/h。土體的粘聚力c=0時，可以推導(dǎo)出土體極限荷載作用點在墻高的相對位置d/h的解析表達式。如圖6，此時沿滑動面BC作用的法向應(yīng)力σ在墻高的方向成線性分布，墻頂處為0，因而，滑動體受到的反力R作用在滑動面BC上距C點h/（3sinαe）長度處。根據(jù)平面匯交力系三力（重力W、反力R和土體極限荷載Pne）共點的特性，可以推導(dǎo)出其中n=1時，d為主動土壓力的作用點距墻底的高度；n=-1時，d為被動土壓力的作用點；其余符號的意義同上。土體的粘聚力c=0時，土體極限荷載作用點在墻高的相對位置d/h的計算結(jié)果見表1、表2?？梢园l(fā)現(xiàn)，.在主動極限狀態(tài)下，隨著土體內(nèi)摩擦角?和墻土之間摩擦角δ的增大，土壓力作用點相對位置d/h在減少；在被動極限狀態(tài)下，隨著土體內(nèi)摩擦角?和墻土之間摩擦角δ的增大，土壓力作用點相對位置d/h在增大。需要說明的是，墻后土體平動破壞機制的滑動體并不是在所有情況下都滿足力矩平衡的條件的，這可從式（33）看出。顯然，d/h的取值要大于0小于1，否則就沒有實際意義。對于一定的內(nèi)摩擦角?和墻土之間的摩擦角δ，式33就會得出小于0或大于1的結(jié)果。合理的解釋只能是，土體發(fā)生平動破壞是有條件的，對于一定的范圍的內(nèi)摩擦角?和墻土之間的摩擦角δ，墻后土體在臨界狀態(tài)時不是沿面滑動破壞的，或者對于給定的內(nèi)摩擦角?，墻土之間取過大的摩擦角δ是不合理的，也或者是，利用平面假定計算土體極限荷載有時是不滿足力矩平衡的條件的。因而，本文舍去了d/h不合理的計算結(jié)果。當(dāng)土體粘聚力c≠0時，可以計算各種情況下粘聚力c變化對d/h的影響?？梢缘贸觯S著土體的粘聚力c的增大，主動土壓力作用點相對位置d/h的計算結(jié)果在減?。槐粍油翂毫ψ饔命c相對位置d/h的計算結(jié)果在增大；對于墻后土體的兩種極限狀態(tài)，土壓力作用點相對位置d/h與土體的內(nèi)摩擦角?、墻土之間的摩擦角δ及土體的粘聚力c都有關(guān)系。土壓力的作用點并非總是作用在墻高的1/3處。只有當(dāng)墻背光滑，土體的粘聚力c=0且平動破壞的情況下，力的作用點才作用在墻高的1/3處。4粘聚力c=0時，土壓力系數(shù)及kc、c、h(1)以滑動體靜力平衡的力的極限平衡方程出發(fā)是可以推導(dǎo)出其沿平面滑動破壞的結(jié)論的，證明了Coulomb土壓力理論平面滑動破壞假定的合理性。(2)當(dāng)粘聚力c=0時，土壓力大小的結(jié)果與Coulo