如何正確運用反證法

如何正確運用反證法

反證法是數(shù)學中常見的證明方法。如果一些問題很難直接表明，并且不能從積極的角度打開，大多數(shù)情況會打開。因此，高中生必須掌握巧妙使用反證法。作為中學數(shù)學教師來說,更應(yīng)該全面、系統(tǒng)地掌握這一證明方法。1反證法和反證法的理論依據(jù)、主題類型和性質(zhì)1.1什么是反證法反證法是通過證明原命題的反面不成立來確定原命題正確的一種證明方法,它是一種間接證法。1.2否定了b不真對于任何一個命題“若A則B”,根據(jù)排中律,B真和B不真(即ˉBBˉˉˉ真)之中必有一個正確,否定了一個就肯定了另一個,因此,否定了B不真,就肯定了B真。那么,如何否定B不真呢?如果假定B不真(即ˉBBˉˉˉ真),就會導致矛盾,根據(jù)矛盾律,數(shù)學體系中不可能有矛盾的結(jié)果,而各步推理又正確,所以ˉBBˉˉˉ真是不可能的,這就否定了B不真,從而也就肯定了B真。1.3反證法的證明模型證明是“a.b”1.3.1注意常見結(jié)論詞的否定形式設(shè)結(jié)論B不成立,即ˉBBˉˉˉ成立。這一步的關(guān)鍵是要正確作出反設(shè),要注意常用結(jié)論詞的否定形式,如“是”對應(yīng)“不是”,“都是”對應(yīng)“不都是”,“大于”對應(yīng)“不大于”,“至少一個”對應(yīng)“一個也沒有”,“至少n個”對應(yīng)“至多n-1個”,“至多一個”對應(yīng)“至少兩個”,等等;1.3.2論證由ˉBBˉˉˉ?B1?B2?…?Bn,Bn與公理、定理、定義、已知條件等等中的某一個矛盾。這一步是反證法的關(guān)鍵;1.3.3得出結(jié)論反設(shè)不成立,即ˉBBˉˉˉ不成立,從而B成立1.4反證法的類型1.4.1a2-bb2-cb2-bb2-bbb2-bbb2-bbb2-bbbb2-bbb2-bbb2-bbb2-bbbb2-bbb2-bbb2-bbb2-b2-b1.2.例1設(shè)a,b,c∈(0,2),求證b(2-a)、c(2-b)、a(2-c)不可能同時大于1。證假設(shè)b(2-a)、c(2-b)、a(2-c)同時大于1,則b(2-a)·c(2-b)·a(2-c)=a(2-a)b(2-b)c(2-c)>1.因為a∈(0,2),所以0＜a(2-a)≤((a+2-a)/2)2=10＜a(2?a)≤((a+2?a)/2)2=1,即0<a(2-a)≤1;同理可證0<b(2-b)≤1,0<c(2-c)≤1.于是a(2-a)b(2-b)c(2-c)≤1,矛盾。原命題得證。1.4.2sin+結(jié)論的反面不是一種情形,必須將它們逐一駁倒,才能達到證題目的。例2設(shè)0°<α,β<90°,sin2α+sin2β=sin(α+β),求證α+β=90°。證由sin2α+sin2β=sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ得sinα(sinα-cosβ)=sinβ(cosα-sinβ)(1)若α+β>90°,則α>90°-β>0°,sinα>sin(90°-β)=cosβ,cosα<cos(90°-β)=sinβ,從而sinα-cosβ>0,cosα-sinβ<0,與(1)矛盾;若0°<α+β<90°,則0°<α<90°-β,sinα<sin(90°-β)=cosβ,cosα>cos(90°-β)=sinβ,同樣與(1)矛盾,于是有α+β=90°。2反證法中的矛盾類型如前所述,反證法的關(guān)鍵是如何由反設(shè)導出矛盾,下面來分析一下這些矛盾的類型。2.1當p為形,有例3證明形如4n+3(n∈Z)的整數(shù)P不可能表為兩個整數(shù)的平方和。證設(shè)存在a,b∈Z,使P=a2+b2,因為P為奇數(shù),所以a,b一奇一偶。不妨設(shè)a=2s+1,b=2t,s,t∈Z,則P=a2+b2=(2s+1)2+(2t)2=4(s2+s+t2)+1,P為形如4n+1的整數(shù),與已知條件矛盾。原命題得證。2.2解析法提取acmp例4設(shè)a,b,c,m,n,p∈R,且ap-2bn+cm=0,b2-ac<0,求證mp-n2≤0.證設(shè)mp-n2>0,則mp>n2,由b2-ac<0得,b2<ac,所以acmp>b2n2.(2)因為ap-2bn+cm=0,所以bn=ap+cm2bn=ap+cm2(3)由(2),(3)得acmp＞(ap+cm2)2,整理得,(ap-cm)2<0,此與實數(shù)性質(zhì)相矛盾。從而mp-n2≤0.2.3a為條件,當a后b例5設(shè)a∈N,a>1,所有不大于√a的素數(shù)均不能整除a,則a為素數(shù)。證若a不是素數(shù),因為a>1,所以a為合數(shù),設(shè)a=bc,b,c∈N,b>1,c>1.顯然b＞√a,否則b≤√a?b的素因子p≤√a,又p|b,b|a,從而p|a,此與已知條件矛盾,故b＞√a.同理得c＞√a,于是bc>a,這與反設(shè)a=bc矛盾。因此,a為素數(shù)。2.4社會主義情況下,有4.8x0,5.8x0,5.10.3,5.3y0,5.10-3y0,5.10-3y0,5/8x0,5.10-3a,5/3a,5/3a,5/3a,5.10-3a,5.3s,5/3a,5.2,5.2s,5/3a,5/3a,5.3a,5/3a,5.3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5.3,5.3,5.3,5.3,5.3,5.3,5.3,5.3,5.3,5.3,5.3,5.3,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5/3a,5例6求證不定方程8x+15y=50無正整數(shù)解。證設(shè)8x+15y=50有正整數(shù)解x=x0,y=y0,x0,y0∈N,則8x0+15y0=50,即8x0=50-15y0=5(10-3y0),則5/8x0.因(5,8)=1,故5/x0,于是x0≥5.又8x0=50-15y0≤50-15=35,x0≤358＜5,矛盾。原命題得證。3違反處理法第四百二十九次面對一個數(shù)學命題,是用反證法還是用其他方法進行證明,不可能給出一個嚴格標準,立即用此標準作出判斷。但根據(jù)多年數(shù)學教學經(jīng)驗,我們認為,當碰到下述幾類數(shù)學命題時,可考慮應(yīng)用反證法進行證明。3.1未約化合理m/nn,n如要證某元素不存在或不具有某種性質(zhì)等,結(jié)論的反面是肯定形式,較之否定形式來說,一般要簡單一些。例7證明:不存在這樣兩個既約分數(shù)(分母不是±1),它們的和與它們的積均是整數(shù)。證假設(shè)存在這樣兩個既約分數(shù)m1/n1?m2/n2?n1?n2不是±1,使得(m1/n1)+(m2/n2)=m,(m1/n1)?(m2/n2)=n?m,n∈Ζ,則m1/n1,m2/n2是方程x2-mx+n=0的兩根,即(m12/n12)-m(m1/n1)+n=0,從而m12/n1=mm1-nn1。因為(m1,n1)=1,所以m12/n1?Ζ?但mm1-nn1∈Z,矛盾。原命題得證。3.2雙反應(yīng)/雙有限如要證某種元素的個數(shù)有無限多個,數(shù)的無限表示(如無理數(shù))等,結(jié)論與“無限”有關(guān),“無限”的反面是“有限”,較“無限”要具體一些。例8證明:存在無限多個素數(shù)。證設(shè)素數(shù)個數(shù)只有有限個,不妨設(shè)為p1,p2,…,pn,記a=p1p2…pn+1,顯然a>1,所以存在素數(shù)p,p|a.易知p≠pi,i=1,2,…,n,否則p|1,不可能,因此,p是另外的素數(shù),矛盾。原命題得證。3.3inx-a相異如證某方程(組)只有一解、交點只有一個等等,唯一的反面是多于一個,作出反設(shè)后就給證明開辟了新途徑。例9設(shè)0<b<1,a∈R,方程x=bsinx+a的實根存在,求證其實根唯一。證若其實根不唯一,則至少有兩個相異實根x1和x2,x1=bsinx1+a,x2=bsinx2+a.二式相減得x1-x2=b(sinx1-sinx2)=2bcos(x1+x2)/2sin(x1-x2)/2,從而|x1-x2|≤2b|sin(x1-x2)/2|≤2b|(x1-x2)/2|=b|x1-x2|,即|x1-x2|≤b|x1-x2|,此與x1≠x2且0<b<1矛盾。原命題得證。3.4有理數(shù)例10證明:在平面上過點A(√2?√3)的任意一條直線上至多只有一個有理點。證顯然,過A且與坐標軸平行的兩條直線l1和l2上均沒有有理點,其他情形我們用反證法來證明。設(shè)直線l過A(l不是l1,也不是l2),l上有兩個理點(x1,y1),(x2,y2),則l的方程為y-y1=k(x-x1),其中k=(y1-y2)/(x1-x2)≠0,且為有理數(shù)。從而y-kx=a,a=y1-kx1為有理數(shù)。因為l過A點,所以√3-k?√2=a,兩邊平方得3-2√6k+2k2=a2,即√6=12k(2k2+3-a2),12k(2k2+3-a2)為有理數(shù),故此式不可能成立。所以,l上至多只有一個有理點。證畢。3.5所對的邊都等同如“三角形兩角平分線相等,則這兩角所對的邊也相等”這個命題,是“等腰三角形的兩底角的平分線相等”的逆命題,直接證較困難,宜用反證法進行證明。3.6兩直線國家之間存在同一條件條件,只有一個農(nóng)業(yè)條理、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線、兩種直線此時可用的知識較少,有時直接證感到無從下手,故宜用反證法。如對“兩直線相交,只有一個交點”這一命題,可這樣證:若有兩個交點,則由“過兩點有且只有一條直線”這一條公理可得,所給的二直線重合、矛盾。因此,只有一個交點。3.7盤上小格內(nèi)乘子的確定例11有兩個同心圓盤,各分成n個相等的小格,外圓盤固定,內(nèi)圓盤可以轉(zhuǎn)動,內(nèi)、外圓盤小格上分別填上實數(shù)ai、bi(i=1,2,…,n),且a1+a2+…+an<0,b1+b2+…+bn<0.證明:可將內(nèi)圓盤轉(zhuǎn)動到一個合適位置,使兩圓盤上的小格對齊,這時,兩圓盤上n個對應(yīng)小格內(nèi)數(shù)字乘積之和為一個正數(shù)。分析結(jié)論要求找一個合適位置,根據(jù)本題條件和要求,這是很難把握很難入手的,故考慮用反證法來證明。證假設(shè)不論內(nèi)圓盤轉(zhuǎn)動到什么位置,兩圓盤n個對應(yīng)小格內(nèi)數(shù)字乘積之和都不是正數(shù),則a1b1+a2b2+…+an-1bn-1+anbn≤0,a1b2+a2b3+…+an-1bn+anb1≤0,……a1bn+a2b1+…+an-1bn-2+anbn-1≤0.將這n個不等式相加得a1(b1+b2+…+bn)+a2(b1+b2+…+bn)+…+an(b1+b2+…+bn)≤0,即(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)≤0.但a1+a2+…+an<0,b1+b2+…+bn<0,故(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)>0.矛盾。原命題得證。3.8相鄰東南角面例12在正八邊形頂點上,是否可記上數(shù)字1,2,…,8,使得任意三個相鄰頂點上的數(shù)字之和大于13解結(jié)論是不可能,下面用反證法進行證明。