浙江省杭州市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁浙江省杭州市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．設(shè)，若，，，則（

）A． B． C． D．4．函數(shù)和函數(shù)在同一坐標系下的圖像可能是（

）A． B．C． D．5．為預(yù)防病毒感染，學(xué)校每天定時對教室進行噴灑消毒．已知教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（單位：）隨時間（單位：）的變化如圖所示，在藥物釋放過程中，與成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為為常數(shù)），則（

）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，C．小時后，教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量降低到以下D．小時后，教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量降低到以下6．已知是單位平面向量，若對任意的，都有，則的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．如圖是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC?直角邊AB?AC，已知以直角邊AC?AB為直徑的半圓的面積之比為，記，則的值為（

）A．-1 B．-2 C．0 D．18．設(shè)函數(shù)，對于任意正數(shù)，都．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，若，則的解集為（

）A． B．C． D．評卷人得分二、多選題9．已知關(guān)于的不等式的解集為，下列說法正確的是（

）A．B．C．不等式的解集為D．不等式的解集為10．下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形是（

）A． B．C． D．11．已知是單位向量，且，則（

）A．B．與垂直C．與的夾角為D．12．在中，分別為的對邊，（

）A．若，則為等腰三角形B．若，則為等腰三角形C．若，則D．若，則為鈍角三角形第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分三、填空題13．設(shè)，則__________．14．函數(shù)的最小正周期為__________．15．“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家構(gòu)造的一個幾何模型．如圖1，正方體的棱長為2，用一個底面直徑為2的圓柱去截該正方體，沿著正方體的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一個牟合方蓋（如圖2）．已知這個牟合方蓋與正方體內(nèi)切球的體積之比為，則正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為__________．16．如圖所示，在平面直角坐標系中，動點以每秒的角速度從點出發(fā)，沿半徑為2的上半圓逆時針移動到，再以每秒的角速度從點沿半徑為1的下半圓逆時針移動到坐標原點，則上述過程中動點的縱坐標關(guān)于時間的函數(shù)表達式為___________.評卷人得分四、解答題17．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利工具．如圖筒車的半徑為，軸心距離水面，筒車上均勻分布了12個盛水筒．已知該筒車按逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，2分鐘轉(zhuǎn)動一圈，且當(dāng)筒車上的某個盛水筒從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計算時間．(1)將點距離水面的距離（單位：．在水面下時為負數(shù)）表示為時間（單位：分鐘）的函數(shù)；(2)已知盛水筒與相鄰，位于的逆時針方向一側(cè)．若盛水筒和在水面上方，且距離水面的高度相等，求的值．18．在中，角的對邊分別為，且．(1)求；(2)在①，②，③這三個條件中，選出其中的兩個條件，使得唯一確定．并解答之．若___________，___________，求的面積．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．19．如圖，在中，已知(1)求；(2)已知點是上一點，滿足點是邊上一點，滿足，是否存在非零實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.20．已知.（1）求的解析式；（2）解關(guān)于x的方程.21．如圖，在等腰梯形中，，在等腰梯形中，，將等腰梯形沿所在的直線翻折，使得，在平面上的射影恰好與重合．(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．22．?dāng)?shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)：，其中．利用該公式可以得到：當(dāng)時，(1)證明：當(dāng)時，；(2)設(shè)，當(dāng)?shù)亩x域為時，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”．當(dāng)時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法，求出復(fù)數(shù)z即可.【詳解】復(fù)數(shù)z滿足，，故本題選B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算，要求掌握復(fù)數(shù)的除法運算，比較基礎(chǔ).2．B【解析】【分析】分別判斷充分性和必要性是否成立即可.【詳解】若，如，則，故充分性不成立；若，則，則，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3．C【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】∵，∴，，，∴.故選：C.4．C【解析】【分析】按照和的圖像特征依次判斷4個選項即可.【詳解】必過，必過，D錯誤；A選項：由圖像知，由圖像可知，A錯誤；B選項：由圖像知，由圖像可知，B錯誤；C選項：由圖像知，由圖像可知，C正確.故選：C.5．D【解析】【分析】利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，并根據(jù)函數(shù)解析式計算藥含量變化情況．【詳解】當(dāng)時，設(shè)，則，故，即，故錯誤；當(dāng)時，把代入可得：，，即，故B錯誤；令，即，，解得，故C錯誤，D正確．故選：D．6．C【解析】【分析】由題意可知，單位向量的夾角最小時，正整數(shù)n有最大值，利用向量數(shù)量積的定義求出此時n的值即可.【詳解】依題意，設(shè)單位向量的夾角為，因為，所以，，所以，根據(jù)題意，正整數(shù)n的最大值為.故選：C.7．A【解析】【分析】由圓的面積公式及半圓面積比可得，即有，將目標式由弦化切求值即可.【詳解】以直角邊AC，AB為直徑的半圓的面積分別為：，，由面積之比為，得：，即，在中，，則，故選：A.8．B【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，構(gòu)造函數(shù)判斷的單調(diào)性和奇偶性，分情況討論，利用單調(diào)性即可求解.【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，故函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，記是奇函數(shù).記所以是偶函數(shù)，對于任意正數(shù)，都，即，所以在單調(diào)遞增，且，是偶函數(shù),故在單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的解集為.故選：B9．ABD【解析】【分析】根據(jù)已知條件得和是方程的兩個實根，且，根據(jù)韋達定理可得，根據(jù)且，對四個選項逐個求解或判斷即可.【詳解】因為關(guān)于的不等式解集為，所以和是方程的兩個實根，且，故A正確；所以，，所以，因為，又，所以，故B正確；不等式可化為，因為，所以，故C錯誤；不等式可化為，又，所以，即，解得，故D正確.故選：ABD.10．AD【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理分別判斷即可【詳解】解：在A中，連接AC，則AC∥MN，由正方體性質(zhì)得到平面MNP∥平面ABC，∴AB∥平面MNP，故A成立；對于B，若下底面中心為O，則NO∥AB，NO∩面MNP＝N，∴AB與面MNP不平行，故B不成立；對于C，過M作ME∥AB，則E是中點，則ME與平面PMN相交，則AB與平面MNP相交，∴AB與面MNP不平行，故C不成立；對于D，連接CE，則AB∥CE，NP∥CD，則AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立.故選：AD.【點睛】此題考查線面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題11．BC【解析】【分析】利用向量的模運算和數(shù)量積運算求解即可，難點在于計算和理解【詳解】，故A錯誤；因為是單位向量，且，得，與垂直，故B正確；，，故D錯誤；，所以與的夾角為，故C正確．故選：BC12．ACD【解析】【分析】A選項，利用正弦定理得到，證明出等腰三角形；B選項，利用正弦定理定理得到，從而或，即為等腰三角形或直角三角形；C選項，由正弦定理得到，求出；D選項，利用正切的和角公式得到，結(jié)合，得到，證明出為鈍角三角形.【詳解】A選項，因為，所以，由正弦定理得：，所以，故為等腰三角形，A正確；B選項，因為，所以，由正弦定理得：，即，所以或，故或，則為等腰三角形或直角三角形，B錯誤；，由正弦定理得：，又因為，所以，因為，所以，所以，故，因為，所以，C正確；因為，所以，即，因為，所以，結(jié)合，所以一負二正，所以為鈍角三角形，D正確.故選：ACD13．16【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式的互化即可求解.【詳解】由得.故答案為：1614．【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式、降冪公式和輔助角公式化簡，然后由周期公式可得.【詳解】因為所以.故答案為：15．【解析】【分析】根據(jù)正方體的體積以及內(nèi)切球的體積，可得牟合方蓋的體積，即可求解.【詳解】正方體的體積為，正方體的內(nèi)切球體積為.所以牟合方蓋的體積為，正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為故答案為：16．【解析】【分析】首先分析動點在半徑為2的上半圓上運動時，時間的范圍，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求得點的坐標，再分析動點在半徑為1的下半圓上運動時，時間的范圍，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求得點的坐標，最后寫出函數(shù)表達式即可.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得：當(dāng)動點在半徑為2的上半圓上運動時，，終邊對應(yīng)的角度為，所以點坐標為，當(dāng)動點在半徑為1的下半圓上運動時，，終邊對應(yīng)的角度為，所以點坐標為，綜上：動點的縱坐標關(guān)于時間的函數(shù)表達式為，故答案為：【點睛】本題主要考查利用三角函數(shù)的定義解決實際問題，在做題過程中點的坐標與角度之間的關(guān)系，從而幫助解題.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）以為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)，根據(jù)題意可表示出函數(shù)；（2）根據(jù)題意表示出兩點的縱坐標，因為兩點距離水面的高度相等，進而可求出的值．(1)以為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)，由題意，得，所以；(2)易知，點縱坐標，點縱坐標，由題意，得，所以或，解得，由盛水筒和在水面上方，得，所以，所以，因為，所以．18．(1)(2)答案不唯一，具體見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，即可求解.（2）根據(jù)正余弦定理結(jié)合可求，然后根據(jù)面積公式即可求解.(1)由正弦定理，得，整理得，即，又，所以．(2)方案一：選①和②．由正弦定理，得，由余弦定理，得，所以的面積．方案二：選①和③．由余弦定理，得，解得．，，所以為直角三角形，所以的面積．19．(1)；(2)存在，.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合向量數(shù)量積求出，再求出夾角B作答.（2）假定存在滿足條件的實數(shù)，利用向量的線性運算、數(shù)量積運算求解作答.(1)在中，，，則，顯然有，于是得，，所以.(2)假設(shè)存在非零實數(shù)，使得，由，得，則，又，則，于是得，而，解得，所以存在非零實數(shù)，使得.20．（1）；（2）當(dāng)時，方程無解；當(dāng)，則；若，則.【解析】【分析】（1）令即,代入解析式化簡求出,即可求得的解析式;（2）由（1）得,化簡,可得,即可求得答案.【詳解】（1）令即，則（2）由化簡得:即當(dāng)時,方程無解當(dāng)時,解得若,則,若,則.綜上所述,當(dāng)時,方程無解當(dāng),則若,則.【點睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)求解析式和解指數(shù)方程.求復(fù)合函數(shù)的解析式,可用換元法,這是解本題關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.21．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）先根據(jù)射影的定義得出線面垂直，然后可得平面與平面垂直；（2）根據(jù)條件證明平面，找出直線與平面所成角，求解直角三角形可得答案.(1)證明：在平面上的射影恰好與重合，平面，又平面，平面平面．(2)如圖1，分別延長交于點，如圖2，過作邊的垂線，垂足為，由等腰梯形的性質(zhì)得，又，同理，而，即．又平面平面，平面平面平面，平面直線與平面所成角為，且為直角．在等腰梯形中，，，由平面，又，

故直線與平面所成角的正弦值為．22．(1)證明見解析(2)存在；有唯一的“和諧區(qū)間”【解析】【分析】（1）根據(jù)