2021-2022學年江蘇省無錫市江陰市第一中學高一上學期第一次階段性練習數(shù)學試題

20212022學年江蘇省無錫市江陰市第一中學高一上學期第一次階段性練習數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則下圖中陰影部分所表示的集合為A． B．C． D．【答案】C【分析】由韋恩圖可知陰影部分表示的集合為，根據(jù)集合的運算求解即可．【詳解】由韋恩圖可知陰影部分表示的集合為，由于，所以故選C【點睛】本題主要考查韋恩圖表達集合的關(guān)系及運算、韋恩圖的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．2．函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)偶次根式被開方數(shù)非負，分母不等于列不等式組，解不等式組即可求解.【詳解】由題意可得：，解得：故函數(shù)的定義域為：，故選：C.3．集合的真子集的個數(shù)是（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【分析】根據(jù)條件求解的范圍，結(jié)合，得到集合為，利用集合真子集個數(shù)的公式即得解.【詳解】由于，，又，，，即集合故真子集的個數(shù)為：故選：C【點睛】本題考查了集合真子集的個數(shù)，考查了學生對真子集概念的理解.4．函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，且，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.【詳解】令，且，則，函數(shù)轉(zhuǎn)化為由，則，即值域為故選：A.【點睛】本題主要考查函數(shù)的值域以及二次函數(shù)的值域，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.5．集合論是德國數(shù)學家康托爾（G.Cantor）于19世紀末創(chuàng)立的.在他的集合理論中，用表示有限集合中元素的個數(shù)，例如：，則.若對于任意兩個有限集合，有.某校舉辦運動會，高一（1）班參加田賽的學生有14人，參加徑賽的學生有9人，兩項都參加的有5人，那么高一（1）班參加本次運動會的人數(shù)共有（

）A．28 B．23 C．18 D．16【答案】C【解析】設(shè)參加田賽、徑賽的同學組成集合，再由集合論即可得解.【詳解】設(shè)參加田賽的學生組成集合A，則，參加徑賽的學生組成集合B，則，由題意得，所以，所以高一（1）班參加本次運動會的人數(shù)共有.故選：C.【點睛】本題考查了數(shù)學文化與集合運算的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.6．設(shè)，則在①；②；③；④中恒成立的個數(shù)為（

）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由，則，所以，故①不正確；由，，故②不正確；由不等式的性質(zhì)，，所以，故③正確；當，，則，故④不正確；故選：A【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，考查了基礎(chǔ)知識的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.7．如圖，正方形ABCD的邊長為2，動點E從A開始沿A→B→C的方向以2個單位長/秒的速度運動到C點停止，同時動點F從點C開始沿CD邊以1個單位長/秒的速度運動到D點停止，則的面積y與運動時間x（秒）之間的函數(shù)圖像大致形狀是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】先求出時，的面積y的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象分析判斷得解.【詳解】由題得時，，所以的面積y，它的圖象是拋物線的一部分，且含有對稱軸.故選：A【點睛】本題主要考查函數(shù)的解析式的求法，考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.8．若兩個正實數(shù)滿足且存在這樣的使不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求．【詳解】解：正實數(shù)，滿足，當且僅當且，即，時取等號，存在，使不等式有解，，解可得或，即，故選：C．二、多選題9．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】對集合化簡可得：對集合M，有，，對集合N，有，，進行分析對比即可得解.【詳解】對集合M，有，，對集合N，有，，對集合M中任意一個元素集合N中都有，而當N中元素取時，集合M中不存在該元素，故且，故選：AB【點睛】本題考查了集合間的關(guān)系，考查了子集的概念，屬于基礎(chǔ)題.10．已知關(guān)于的不等式，關(guān)于此不等式的解集有下列結(jié)論，其中正確的是（

）A．不等式的解集可以是B．不等式的解集可以是C．不等式的解集可以是D．不等式的解集可以是【答案】BD【分析】選項A先假設(shè)結(jié)論成立，再得到不等式為并求解，最后與解集產(chǎn)生矛盾判斷選項A錯誤；選項B當，時，不等式恒成立，判斷選項B正確；選項C當時不等式成立，判斷選項C錯誤；選項D先假設(shè)結(jié)論成立，再求解得，符合題意，判斷選項D正確；【詳解】解：選項A：假設(shè)結(jié)論成立，則，解得，則不等式為，解得，與解集是矛盾，故選項A錯誤；選項B：當，時，不等式恒成立，則解集是，故選項B正確；選項C：當時，不等式，則解集不可能為，故選項C錯誤；選項D：假設(shè)結(jié)論成立，則，解得，符合題意，故選項D正確；故選：BD【點睛】本題考查一元二次不等式的解集問題，是基礎(chǔ)題.11．“關(guān)于的不等式的解集為R”的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】求出關(guān)于的不等式的解集為R的充要條件，然后根據(jù)集合包含關(guān)系判斷．【詳解】關(guān)于的不等式的解集為R，則，解得，因此A是充要條件，BD是必要不充要條件，C是充分不必要條件．故選：BD．【點睛】本題考查必要不充分條件，解題方法是求出充要條件，然后由集合包含關(guān)系判斷選擇，考查充分必要條件與集合包含之間的關(guān)系．12．下列各不等式，其中不正確的是（

）A．； B．；C．； D．.【答案】ACD【分析】利用基本不等式，對每個選項進行逐一分析，即可判斷正誤.【詳解】對A項，當時，，則A錯誤；對B項，當時，，當且僅當時，等號成立當時，，當且僅當時，等號成立，則B正確；對C項，當時，，則C錯誤；對D項，當時，，則D錯誤；故選：ACD【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，注意對目標式的變形和配湊，屬基礎(chǔ)題.三、填空題13．已知命題“，”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍為______.【答案】【解析】根據(jù)“，

”是假命題，得出它的否定命題是真命題，求出實數(shù)a的取值范圍．【詳解】解：∵命題“，

”是假命題，∴，是真命題，即使不等式有解；所以，解得：或.∴實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題主要考查根據(jù)特稱命題與全稱命題的真假求參數(shù)，考查了一元二次不等式能成立問題，屬于基礎(chǔ)題.14．已知,則的解析式為_________.【答案】【分析】利用換元法設(shè)t2（t≥2），則t﹣2，代入求出即可．【詳解】設(shè)t2（t≥2），則t﹣2，即x＝（t﹣2）2，∴f（t）＝（t﹣2）2+4（t﹣2）＝t2﹣4，∴f（x）＝x2﹣4（x≥2）．【點睛】本題考查了求函數(shù)的解析式問題，換元法是常用方法之一，是基礎(chǔ)題．15．已知實數(shù)、，滿足，，則的取值范圍是_______.【答案】【解析】利用待定系數(shù)法得出，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，，解得，所以，，，，所以，，，所以，，即.因此，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍，考查了待定系數(shù)法的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16．設(shè)集合，都是M的含有兩個元素的子集，則______；若滿足：對任意的,都有，且，則k的最大值是__________．【答案】

10

6【分析】列舉M的2個元素子集數(shù)個數(shù)即可；利用，再結(jié)合進行排除其他的即為答案.【詳解】的兩元素子集有，所以共有10個，因此10；因為前面的列舉方式已經(jīng)保證，只需要再增加條件即可，所以保留一個，保留一個，只能保留一個，所以以上10個子集需要刪去4個，還剩下6個，所以則k.故答案為：10;6.四、解答題17．已知集合，.（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）將代入集合，可得出集合，然后利用交集的定義可求出集合；（2）由，可得出，然后分和兩種情況討論，根據(jù)列出關(guān)于實數(shù)的不等式組，解出即可.【詳解】（1）當時，，，因此，；（2）.①當時符合題意，此時，即；②當時，要滿足，則.綜上所述，當時，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查交集的運算，同時也考查了利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)，解題的關(guān)鍵就是對含參集合分空集和非空集合兩種情況討論，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.18．設(shè)，且的最小值為.（1）求；（2）若關(guān)于的不等式的解集為，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，從而得到，再利用基本不等式即可得到答案.（2）當時，滿足題意，當時，得到，解不等式組即可得到答案.【詳解】（1）因為，所以，，，所以，當且僅當，即，，時等號成立.故.（2）當時，不等式為，成立，則滿足題意；當時，，解得.綜上，的取值范圍為.【點睛】本題第一問考查基本不等式求最值，第二問考查二次不等式的恒成立問題，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題.19．已知不等式的解集為集合，不等式的解集為集合．（1）求集合、；（2）當時，若是成立的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），時，；時，；，（2）.【分析】（1）別解一元二次不等式可得集合、求出的兩根再比較大小可得集合；（2）根據(jù)題意可得集合是集合的真子集，結(jié)合數(shù)軸列不等式組即可求解.【詳解】（1）由，可得解得：．故集合．由，得可得：，．當時，，由得，故集合．當時，，由得：，故集合．當時，由得，故集合．（2）當時，集合．∵是成立的充分不必要條件，∴是的真子集，則有，解得：．又當時，，不合題意，∴實數(shù)的取值范圍為20．已知a為常數(shù)，二次函數(shù).（1）若該二次函數(shù)的圖象與x軸有交點，求實數(shù)a的取值范圍；（2）已知，求x的取值范圍；（3）若對任意的實數(shù)，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）.【解析】（1）由二次函數(shù)的圖象與x軸有交點，得，從而可求出a的取值范圍；（2）由，得，然后分類討論解不等式即可；（3）對任意的實數(shù)，恒成立，可得，然后利用基本不等式求出的最小值即可【詳解】（1）若該二次函數(shù)的圖象與x軸有交點，則∴，∴或，∴a的取值范圍為.（2）∵，∴即.當即時，，解集為R；當即時，或，當即時，或.綜上，當時，不等式的解集為R；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.（3）若對任意的實數(shù)，恒成立，即恒成立，∵，∴，∴.設(shè)，則，∴.當且僅當即取“=”，此時，∴，即a的取值范圍為.【點睛】此題考查一元二次不等式的解法，考查分類思想，考查一元二次不等式恒成立問題，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題21．如圖，長方形表示一張(單位：分米)的工藝木板，其四周有邊框(圖中陰影部分)，中間為薄板.木板上一瑕疵(記為點)到外邊框，鋸掉一塊三角形廢料，其中分別在，，的長分別為分米，分米.（1）求證：；（2）為使剩下木板的面積最大，試確定m，n的值；（3）求剩下木板的外邊框長度(，，，的長度之和)的最大值及取得最大值時m，n的值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）剩下木板的外邊框長度的最大值為分米，此時，.【解析】（1）過點分別作，的垂線，垂足分別為，由與相似得，即；（2）根據(jù)題意，只需求三角形廢料的面積最小即可，再結(jié)合（1）根據(jù)基本不等式求解即可得答案；（3）根據(jù)題意，只需要最小即可，進而結(jié)合（1）根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可得答案.【詳解】（1）證明：過點分別作，的垂線，垂足分別為，則與相似，從而，所以，即，所以.（2）欲使剩下木板的面積最大，即要鋸掉的三角形廢料的面積最小.由（1）知，，得(當且僅當，即，時，“=”成立)，此時(平方分米).（3）欲使剩下木板的外邊框長度最大，即要最小.而(當且僅當，即，時，“=”成立)，此時剩下木板外邊框長度最大，為分米.【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，建立數(shù)學模型，屬于中檔題.一般地應(yīng)用型問題，需從以下幾個方面入手考慮：（1）建模：根據(jù)已知條件和題意，建立適當