2021-2022學(xué)年湖北省十堰市城區(qū)普高協(xié)作體高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

20212022學(xué)年湖北省十堰市城區(qū)普高協(xié)作體高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線與直線，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用兩直線垂直其斜率的關(guān)系即求.【詳解】由題得，∴.故選：B.2．已知圓，圓，則這兩個圓的位置關(guān)系為（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)含【答案】C【分析】求得兩個圓的圓心和半徑，求得圓心距，由此確定正確選項.【詳解】圓的圓心為，半徑為，可化為，圓的圓心為，半徑為，圓心距,，所以兩個圓的位置關(guān)系是相交.故選：C3．A地的天氣預(yù)報顯示，A地在今后的三天中，每一天有強濃霧的概率為，現(xiàn)用隨機模擬的方法估計這三天中至少有兩天有強濃霧的概率，先利用計算器產(chǎn)生之間整數(shù)值的隨機數(shù)，并用0，1，2，3，4，5，6表示沒有強濃霧，用7，8，9表示有強濃霧，再以每3個隨機數(shù)作為一組，代表三天的天氣情況，產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：402978191925273842812479569683231357394027506588730113537779則這三天中至少有兩天有強濃霧的概率近似為A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意知模擬這三天中至少有兩天有強濃霧的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)，在20組隨機數(shù)中表示三天中恰有兩天有強濃霧的有可以通過列舉得到共4組隨機數(shù)，根據(jù)概率公式，得到結(jié)果．【詳解】由題意知模擬這三天中至少有兩天有強濃霧的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)，在20組隨機數(shù)中表示三天中恰有兩天有強濃霧的有，可以通過列舉得到共5組隨機數(shù)：978，479、588、779，共4組隨機數(shù)，所求概率為，故選D．【點睛】本題考查模擬方法估計概率，解題主要依據(jù)是等可能事件的概率，注意列舉法在本題的應(yīng)用．4．如圖，已知棱長為的正方體，分別為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出和的坐標(biāo)，利用空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則，故選：A【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結(jié)果.5．已知直線將圓平分，且與直線垂直，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判斷過圓的圓心，然后結(jié)合與直線垂直設(shè)出的方程，利用求得的方程.【詳解】因為直線將圓平分，所以直線過圓心，因為直線與直線垂直，假設(shè)直線的方程為，將代入得：，所以直線的方程為.故選：C6．拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，記事件為“向上的點數(shù)為1或4”，事件為“向上的點數(shù)為奇數(shù)”，則下列說法正確的是（

）A．與互斥 B．與對立C． D．【答案】C【解析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義判斷．求出事件，然后計算概率．【詳解】與不互斥，當(dāng)向上點數(shù)為1時，兩者同時發(fā)生，也不對立，事件表示向上點數(shù)為之一，∴．故選：C．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查互斥事件和對立事件，考查事件的和，掌握互斥事件和對立事件的定義是解題關(guān)鍵．判斷互斥事件，就看在一次試驗中兩個事件能不能同時發(fā)生，只有互斥事件才可能是對立事件，如果一次試驗中兩個事件不能同時發(fā)生，但非此即彼，即必有一個發(fā)生，則它們?yōu)閷α⑹录换コ獾氖录母怕什荒苡酶怕氏嗉?，本題．7．直線為常數(shù)）的傾斜角的取值范圍是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】由題意利用直線斜率和傾斜角的定義，二次函數(shù)的最小值，求得，可得傾斜角的范圍.【詳解】直線為常數(shù)）的斜率為，故直線的傾斜角滿足．又，，，，或，，故選：D．8．直線與曲線有且僅有一個公共點，則b的取值范圍是（

）A． B．或C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)題意得到曲線表示半圓，再結(jié)合圖象即可得到直線與曲線有且僅有一個公共點時b的取值范圍.【詳解】將方程變形為．當(dāng)直線與曲線相切時，滿足，即，解得．由圖可知，當(dāng)或時，直線與曲線有且僅有一個公共點．故選：B.二、多選題9．（多選）已知兩點到直線的距離相等，則實數(shù)的值可以是（

）A． B．3 C． D．1【答案】AB【分析】由點到直線的距離公式可得關(guān)于的方程，進而可求出實數(shù)的值.【詳解】解：由題意得，解得或3.故選:AB.【點睛】本題考查了點到直線距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10．已知向量，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．不存在實數(shù)，使得D．若，則【答案】AC【分析】根據(jù)向量的模的計算公式，可判定A選項正確；根據(jù)向量垂直的條件，列出方程，可判定B選項錯誤；根據(jù)共線向量的條件，列出方程組，可判定C選項正確；根據(jù)向量的數(shù)量積的運算公式，列出方程，可判定D選項錯誤.【詳解】對于A中，由，可得，解得，故A選項正確；對于B中，由，可得，解得，故B選項錯誤；對于C中，若存在實數(shù)，使得，則，顯然無解，即不存在實數(shù)，使得，故C選項正確；對于D中，若，則，解得，于是，故D選項錯誤.故選：AC.【點睛】本題主要考查了空間向量的垂直與共線的表示及應(yīng)用，以及空間向量的數(shù)量積的運算，其中解答中熟記空間向量的垂直與共線的條件，以及數(shù)量積的運算公式，逐項判定是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.11．下列說法中，正確的有（

）A．直線y＝ax﹣3a+2（a∈R）必過定點（3，2）B．直線y＝3x﹣2在y軸上的截距為2C．直線xy+1＝0的傾斜角為30°D．點（5，﹣3）到直線x+2＝0的距離為7【答案】ACD【解析】對A,化簡方程令的系數(shù)為0求解即可.對B,根據(jù)截距的定義辨析即可.對C,求出直線的斜率再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系辨析即可.對D,利用橫坐標(biāo)的差求解即可.【詳解】對A,化簡得直線,故定點為.故A正確.對B,在軸上的截距為.故B錯誤.對C,直線的斜率為,故傾斜角滿足,即.故C正確.對D,因為直線垂直于軸,故到的距離為.故D正確.故選：ACD.【點睛】本題主要考查了直線的基礎(chǔ)知識點,屬于基礎(chǔ)題.12．圓和圓的交點為A，B，則有（

）A．公共弦所在直線方程為 B．線段中垂線方程為C．公共弦的長為 D．P為圓上一動點，則P到直線距離的最大值為【答案】ABD【分析】兩圓方程作差即可求解公共弦AB所在直線方程，可判斷A；由公共弦所在直線的斜率以及其中圓的圓心即可線段AB中垂線方程，可判斷B；求出圓心到公共弦所在的直線方程的距離，利用幾何法即可求出弦長，可判斷C；求出圓心到公共弦AB所在直線方程的距離，加上半徑即可判斷D.【詳解】對于A，由圓與圓的交點為A，B，兩式作差可得，即公共弦AB所在直線方程為，故A正確；對于B，圓的圓心為，，則線段AB中垂線斜率為，即線段AB中垂線方程為：，整理可得，故B正確；對于C，圓，圓心到的距離為，半徑所以，故C不正確；對于D，P為圓上一動點，圓心到的距離為，半徑，即P到直線AB距離的最大值為，故D正確.故選：ABD三、填空題13．已知，，則___________.【答案】6【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)表示的減法運算求出，再根據(jù)空間向量的模的坐標(biāo)運算即可得出答案.【詳解】解：因為，，所以，所以.故答案為：6.14．經(jīng)過點，傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則此直線的方程______【答案】【分析】由已知條件寫出斜率，按照點斜式寫出方程即可.【詳解】由直線知斜率為，傾斜角為，故要求的直線傾斜角為，斜率為，又過點，故直線方程為，化簡得.故答案為：.15．過點的直線，截圓所得弦長為，則直線的方程為______．【答案】或【分析】根據(jù)題意，設(shè)出直線的方程，利用圓的弦長公式進行求解即可.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，則直線的方程為：，把代入圓的方程中，得，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)為，所以直線方程設(shè)為：，設(shè)圓的圓心到該直線的距離為因為圓的半徑為2，弦長為，所以由圓的垂徑定理可知：，所以有，所以，故答案為：或16．已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是，端點A在圓上運動，則線段AB的中點M的軌跡方程是__________【答案】【分析】設(shè)點的坐標(biāo)為，點，結(jié)合已知條件用點的坐標(biāo)表示出的坐標(biāo)，再利用點與圓的關(guān)系，即可求解．【詳解】解：設(shè)點的坐標(biāo)為，點，為的中點，的坐標(biāo)為，，解得，點滿足，即，故點的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓，點的軌跡方程為：．故答案為：四、解答題17．直線過點且與直線平行.(1)求直線的方程；(2)求圓心在直線上且過點、的圓的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出直線方程，代入點計算即可；（2）利用條件求出圓心坐標(biāo)，即可得到圓的方程.【詳解】(1)因為直線與直線平行，則直線的方程可設(shè)為，又因為直線過點，所以，所以直線的方程為；(2)因為圓心在直線上，所以圓心坐標(biāo)可設(shè)為，又因為該圓過點、，所以有，解得，所以圓心坐標(biāo)為，半徑，故圓的方程為.18．某區(qū)政府組織了以“不忘初心，牢記使命”為主題的教育活動，為統(tǒng)計全區(qū)黨員干部一周參與主題教育活動的時間，從全區(qū)的黨員干部中隨機抽取n名，獲得了他們一周參與主題教育活動時間(單位：h)的頻率分布直方圖如圖所示，已知參與主題教育活動時間在內(nèi)的人數(shù)為92.（1）求n的值.（2）以每組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值作為本組的代表，估算這些黨員干部參與主題教育活動時間的平均值以及中位數(shù)(中位數(shù)精確到0.01).（3）如果計劃對參與主題教育活動時間在內(nèi)的黨員干部給予獎勵，且在內(nèi)的分別評為二等獎和一等獎，那么按照分層抽樣的方法從獲得一、二等獎的黨員干部中選取5人參加社區(qū)義務(wù)宣講活動，再從這5人中隨機抽取2人作為主宣講人，求這2人均是二等獎的概率.【答案】（1）200；（2）13.64；13.83；（3）.【分析】（1）先由頻率分布直方圖可知每一組的頻率和為1，列方程求出的值，從而可得的頻率，進而可求出n的值；（2）用每一組的中間值乘以其對應(yīng)的頻率，再把所得的積相加可得平均值，由頻率分布直方圖可知中位數(shù)在第3組，若設(shè)中位數(shù)為x，則，解方程可得中位數(shù)；（3）先利用分層抽樣的方法計算出從和所選的人數(shù)，然后利用列舉法列出從這5人中隨機抽取2人的所有情況，進而可求出概率【詳解】（1）由已知可得，.則，得.（2）這些黨員干部參與主題教育活動時間的平均值為：設(shè)中位數(shù)為x，則，得.（3）按照分層抽樣的方法從內(nèi)選取的人數(shù)為，從內(nèi)選取的人數(shù)為.記二等獎的4人分別為，一等獎的1人為A，事件E為“從這5人中抽取2人作為主宣講人，且這2人均是二等獎”.從這5人中隨機抽取2人的基本事件為，，共10種，其中2人均是二等獎的情況有，，共6種，由古典概型的概率計算公式得.【點睛】此題考查由頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù)，考查分層抽樣，考查古典概型的概率計算，考查分析問題的能力，屬于中檔題19．如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點．(1)求證：D1F平面A1EC1；(2)求直線AC1與平面A1EC1所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先求出平面A1EC1的法向量，再證明和法向量垂直即可；（2）直接按照線面角的向量求法求解即可.【詳解】(1)以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).由于，所以平面.(2)直線與平面所成角為，，則.20．某中學(xué)根據(jù)學(xué)生的興趣愛好，分別創(chuàng)建了“書法”、“詩詞”、“理學(xué)”三個社團，據(jù)資料統(tǒng)計新生通過考核選拔進入這三個社團成功與否相互獨立．2015年某新生入學(xué)，假設(shè)他通過考核選拔進入該校的“書法”、“詩詞”、“理學(xué)”三個社團的概率依次為、、，已知三個社團他都能進入的概率為，至少進入一個社團的概率為，且.（1）求與的值；（2）該校根據(jù)三個社團活動安排情況，對進入“書法”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分1分，對進入“詩詞”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分，對進入“理學(xué)”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分．求該新同學(xué)在社團方面獲得校本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于4分的概率．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意，假設(shè)該同學(xué)通過考核選拔進入該校的“書法”、“詩詞”、“理學(xué)”三個社團的概率依次為、、，已知三個社團都能進入的概率為，至少進入一個社團的概率為，且，利用相關(guān)公式建立方程組，即可求得與的值；（2）根據(jù)題意，可知不低于4分包括了得分為4分、5分、6分三種情況，之后應(yīng)用乘法和加法公式求得結(jié)果.【詳解】（1）依題，解得（2）由題令該新同學(xué)在社團方面獲得本選修課學(xué)分的分?jǐn)?shù)為，獲得本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于4分為事件，則；；.故.【點睛】該題考查的是有關(guān)概率的問題，涉及到的知識點有相互獨立事件同時發(fā)生的概率，互斥事件有一個發(fā)生的概率，注意對公式的正確應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.21．如圖所示，正方形ABCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直，MB∥AN，NA＝AB＝2，BM＝4，CN＝2.（1）證明：MB⊥平面ABCD；（2）在線段CM（不含端點）上是否存在一點E，使得二面角E﹣BN﹣M的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【分析】（1）由，平面平面，知平面，有，由勾股定理的逆定理及平行性質(zhì)可證，再根據(jù)線面垂