【解析】安徽省六安市舒城中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)（理）試題

舒城中學(xué)2019－2020學(xué)年度第二學(xué)期第三次統(tǒng)考高二理數(shù)一、選擇題（本大題共12小題，共60）：1.是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部等于（）A.1 B.－1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則直接求解即可得到結(jié)果.【詳解】，的虛部為1，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)虛部的概念，屬于容易題.，且，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，得，解得再求解.【詳解】因?yàn)樗?，所以，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理()A.結(jié)論正確 B.大前提不正確 C.小前提不正確 D.全不正確【答案】C【解析】【分析】不是正弦函數(shù)，故小前提錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)椴皇钦液瘮?shù),所以小前提不正確.故選C.【點(diǎn)睛】演繹推理包含大前提、小前提和結(jié)論，只有大前提、小前提都正確時(shí)，我們得到的結(jié)論才是正確的，注意小前提是蘊(yùn)含在大前提中的.4.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用組合數(shù)性質(zhì)化簡．詳解】．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)的性質(zhì)，掌握組合數(shù)性質(zhì)是解題基礎(chǔ)，其中變形是關(guān)鍵．5.4名學(xué)生和3位老師排成一排合影，恰有兩位老師相鄰的不同排法有（）A.240種 B.2880種 C.720種 D.960種【答案】B【解析】【分析】先將所有學(xué)生排列，然后將3位老師中2位捆綁一起，再與另一個(gè)老師插入到2個(gè)空中，根據(jù)分步乘法原理即可計(jì)算結(jié)果．【詳解】將所有學(xué)生先排列，有種排法，然后將3位老師中2位捆綁一起，有種方法，再與另一個(gè)老師插入到2個(gè)空中，有種方法，共有種排法，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，考查分步乘法原理，考查捆綁法，插空法來解決問題，考查了學(xué)生邏輯推理和運(yùn)算求解能力.，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由，再由其展開式求出第三項(xiàng)系數(shù)即可.【詳解】解：因?yàn)榈谌?xiàng)為所以故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的系數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.的分布列是234若，則隨機(jī)變量的方差的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】由分布列可得，由，可得，可解得，然后由方差的計(jì)算公式求出。再根據(jù)公式求.【詳解】由概率之和為1，有，又，即，可得所以所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量的分布列和期望求相應(yīng)的概率值和求方差，屬于中檔題.8.先后投擲骰子（骰子的六個(gè)面分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6個(gè)點(diǎn)）兩次落在水平桌面后，記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為，設(shè)事件為“為偶數(shù)”，事件為“中有偶數(shù)，且”，則概率()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意有，所以只須分析事件A和事件AB所包含的基本事件，即可根據(jù)公式求出結(jié)果.【詳解】解：事件A中“為偶數(shù)”，所以同奇同偶，共包含種基本事件；事件AB同時(shí)發(fā)生，則都為偶數(shù)，且，則包含個(gè)基本事件；.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的應(yīng)用，考查基本事件的求法，解題的關(guān)鍵是辨析條件概率，屬于基礎(chǔ)題.f(x)＝x2－bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(－1，3)，若f(7＋|t|)>f(1＋t2)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A.(－1，2) B.(－3，3) C.(2，3) D.(－1，3)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集知且對稱軸方程為，利用二次函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可求解.【詳解】f(x)<0的解集是(－1，3),且對稱軸方程為，在上單調(diào)遞增，，且f(7＋|t|)>f(1＋t2)，即，解得，所以，故不等式的解集為(－3，3).故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次不等式與一元二次函數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的單調(diào)性，二次不等式的解法，屬于中檔題.a，b∈R，則使|a|＋|b|>1成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A.|a＋b|≥1 B.a<1或b<1C.a2＋b2>1 D.a≤1或b≤1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式表示的平面區(qū)域，結(jié)合充分條件、必要條件的判定，即可求解.【詳解】如圖所示，所表示的區(qū)域?yàn)檎叫我酝獾牟糠郑洖榧?，而所表示的區(qū)域?yàn)橐栽c(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的外部，記為集合，顯然，所以是的一個(gè)充分不必要條件.而ABD均不能保證充分性.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃問題，以及充分條件、必要條件的判定，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與論證能力.x>0，則4x＋的最小值為（）A.9 B.3 C.13 D.12【答案】B【解析】【分析】利用均值不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閤>0，所以有4x＋（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，即當(dāng)時(shí)，取等號）.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.12.下列命題為真命題的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)，以及單調(diào)性和最值，作出圖象，對照選項(xiàng)一一判斷即可得到所求答案．【詳解】解：構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，可得處取得最大值，因?yàn)?，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，故正確；，，，，故正確；，，即，故正確；，，，，，，故錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)的大小比較，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性和最值，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．二.填空題（本大題共4小題，共20分），，則的大小關(guān)系為__________．【答案】【解析】【分析】通過比較的大小，即可判斷的大小關(guān)系.【詳解】解：，，因?yàn)?，所以，?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)的大小的比較，比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以采用作差法、取近似值法、比較平方法等．屬于基礎(chǔ)題.14.如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)M．則點(diǎn)M恰好取自陰影部分的概率是．【答案】【解析】【詳解】根據(jù)題意，正方形的面積為而陰影部分由函數(shù)與圍成，其面積為，則正方形中任取一點(diǎn),點(diǎn)取自陰影部分的概率為.所以在正方形中任取一點(diǎn)，點(diǎn)取自陰影部分的概率為.點(diǎn)評:本題考查幾何概型的計(jì)算，涉及定積分在求面積中的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確計(jì)算出陰影部分的面積.有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是：.【答案】【解析】試題分析：∵關(guān)于的不等式有解，表示數(shù)軸上的到和的距離之差，其最小值等于，最大值是，由題意，∴．考點(diǎn)：絕對值不等式的解法．16.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S，若3a2＝2b2＋c2，則的最大值為________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理化簡可得,根據(jù)面積公式，由根據(jù)余弦定理和基本不等式可求得，進(jìn)而求得的范圍，得出結(jié)果.【詳解】由題意得：，所以，所以，由題意得，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取"="），所以，所以，所以的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理、三角形的面積公式以及均值不等式，屬于中檔題.三.解答題（本大題共6小題，共70分）17.選修4－5：不等式選講設(shè)不等式的解集是，．（1）試比較與的大小；（2）設(shè)表示數(shù)集的最大數(shù)．,求證：．【答案】（1）；（2）見解析.【解析】【分析】(1)先求得，兩式做差得到，即可得證；（2）由，，，三式相乘，可得到結(jié)果.【詳解】由所以（1）由，得，所以故（2）由，得，，所以，故.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了不等式的證明，以及絕對值不等式的解法，不等式證明，常用方法有：反證法，綜合法，分析法，直接證明法等；還可能會(huì)涉及到均值不等式，重要不等式的應(yīng)用.·，不等式的解集為.（1）求集合；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）分類討論去絕對值，將函數(shù)化分段函數(shù)，再利用，即可求解；（2）利用作差法，證明，即可證明結(jié)論.【詳解】（1），所以等價(jià)于或或，或或，；（2）當(dāng)時(shí)，即，，.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式求解、不等式的證明，分類討論去絕對值是解題的關(guān)鍵，利用作差法證明不等式，屬于中檔題.中，，且（）.（1）寫出此數(shù)列的前4項(xiàng)；（2）歸納猜想的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.【答案】（1）,,,；（2）見解析.【解析】試題分析：（1）令即可求出；（2）先猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.試題解析：（1）由已知，，分別取，得，，.所以數(shù)列的前4項(xiàng)是：,,,.（2）證明：由（1）中的計(jì)算可以猜想.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立.②假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，即.那么由已知，得，即，又，所以，即，又由歸納假設(shè)，得，所以，即當(dāng)時(shí)，公式也成立.由①和②可知，對一切都有成立20.為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，合肥一中組織體育社團(tuán)，某班級有4人積極報(bào)名參加籃球和足球社團(tuán)，每人只能從兩個(gè)社團(tuán)中選擇其中一個(gè)社團(tuán)，大家約定：每個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己參加哪個(gè)社團(tuán)，擲出點(diǎn)數(shù)為5或6的人參加籃球社團(tuán)，擲出點(diǎn)數(shù)小于5的人參加足球社團(tuán)．（1）求這4人中恰有1人參加籃球社團(tuán)的概率；（2）用，分別表示這4人中參加籃球社團(tuán)和足球社團(tuán)的人數(shù)，記隨機(jī)變量X為和之差的絕對值，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列詳見解析，．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可知每個(gè)人參加籃球社團(tuán)的概率為，再利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式得到恰有1人參加籃球社團(tuán)的概率即可得解；（2）根據(jù)條件求出X的所有可能取值，并求出概率即得分布列，再根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式即可得解．【詳解】（1）依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人參加籃球社團(tuán)的概率為，參加足球社團(tuán)的概率為，設(shè)“這4個(gè)人中恰有i個(gè)人參加籃球社團(tuán)”為事件1，2，3，，則，1，2，3，，這4個(gè)人中恰有1個(gè)人參加籃球社團(tuán)的概率為：；（2）由已知得X的所有可能取值為0，2，4，，，，的分布列為：．【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率求法，離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．21.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2an－n.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè),記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明:【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】試題分析：（1）由題意得，得出，相減得到，進(jìn)而得到數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得出，轉(zhuǎn)化為，表示出，根據(jù)放縮法即可得以證明．試題解析：（1）因?yàn)镾n＝2an－n，所以當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2a1－1，所以a1n＋1＝2an＋1－n－1，得an＋1＝2an＋1－2an－1，得an＋1＋1＝2（an＋1），又a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，故an＝2n－1.（2）證明：因?yàn)閎n＝＝，所以bn－＝－，所以Tn－＝－（＋＋…＋）<0，得Tn－＝≤，所以Tn－≥－（）＝－＋>－.所以－<Tn－<0.考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和及不等關(guān)系的應(yīng)用.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了學(xué)生根據(jù)已知遞推條件，求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，靈活運(yùn)用數(shù)列的遞推關(guān)系式求解數(shù)列的前項(xiàng)和以及利用放縮法證明不等式成立，其中正確的化簡數(shù)列的遞推關(guān)系式和靈活地使用放縮法是解得本題的關(guān)鍵和本題的難點(diǎn)，著重考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸能力和學(xué)生的推理與運(yùn)算能力，試題屬于中檔試題.22.已知（Ⅰ）求函數(shù)上的最小值；（Ⅱ）若對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）證明：對一切，都有成立.【答案】（I）；（Ⅱ