克萊姆法則的一個新證明

線性代數(shù)培訓(xùn)之收獲——對“克萊姆法則”的一個新教案有幸參加國家線性代數(shù)精品課程的培訓(xùn)，聆聽李尚志老師的教誨，真是受益匪淺，感觸很多。李老師對數(shù)學(xué)的高深領(lǐng)悟，“空間為體，矩陣為用”，獨創(chuàng)性的設(shè)計了線性代數(shù)新的教學(xué)內(nèi)容體系，淋漓盡致的體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系，使人耳目一新。李老師的啟發(fā)式教學(xué)方法也是值得我們學(xué)習(xí)和借鑒，以問題為驅(qū)動，引入新概念，使學(xué)生對抽象的數(shù)學(xué)概念（如n階行列式、線性相關(guān)、線性無關(guān)、方程的秩等）有了形象的、感性的、更簡潔、更深刻的理解.特別是用幾何方法引入二階行列式和三階行列式，而且賦于其幾何含義：二階行列式和三階行列式分別表示平行四邊形的有向面積和平行六面體的有向體積，更一般n階行列式在幾何上表示“n維體的有向體積”,這樣可以發(fā)揮學(xué)生的想象力，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)更多，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理，充分培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，一切是為了學(xué)生的發(fā)展，正如李老師所說評價教學(xué)的效果主要是看學(xué)生懂了沒有，體現(xiàn)了以學(xué)生為本的教學(xué)理念。對比本人對線性代數(shù)的理解以及教學(xué)實際，真是差距很大，覺得自己需要努力去奮斗。這里就結(jié)合這次培訓(xùn)的體會和收獲聯(lián)系自己以往的線性代數(shù)教學(xué)實際，擬寫一份教案，談?wù)勛约簩Α翱巳R姆法則”內(nèi)容新的處理方式?！?克萊姆法則一、教學(xué)內(nèi)容(1)克萊姆法則的證明(2)克萊姆法則的應(yīng)用二、教學(xué)要求（1）理解克萊姆法則的證明（2）理解非齊次線性方程組有唯一解的充分條件是它的系數(shù)行列式D≠0;若D=0，方程組無解或有無窮多解（3）理解齊次線性方程組有非零解的必要條件是它的系數(shù)行列式D=0；若D≠0，方程組只有零解教學(xué)過程一、（定理1）克萊姆法則若n×n線性方程組=1\*GB2⑴的系數(shù)行列式 D=則方程組=1\*GB2⑴有唯一解：x=x=,x=.=2\*GB2⑵其中D(i=1,2,,n)是把系數(shù)行列式D中的第i列的元素用方程組=1\*GB2⑴右端的常數(shù)項代替后所得到的n階行列式，即D=.證：先證明=2\*GB2⑵式是方程組=1\*GB2⑴的解.要證=2\*GB2⑵式是方程組=1\*GB2⑴的解，只需把它代入方程組=1\*GB2⑴的第i個方程，如果左端也等于bi，則說明=2\*GB2⑵確是方程組=1\*GB2⑴的解.將=2\*GB2⑵代入方程組=1\*GB2⑴的第i個方程的左端，并把D按照第i列展開，第i個方程的左端=a+a++a=(aD+aD++aD)=[a(bA11+b2A21++biAi1++bnAn1)+ai2(bA12+b2A22++biAi2++bnAn2)++ain(bA1n+b2A2n++biAin++bnAnn)]=[b1(ai1A11+ai2A12++ainA1n)+b2(ai1A21+ai2A22++ainA2n+bi(ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin)++bn(ai1An1+ai2An2++ainAnn)]根據(jù)行列式按行展開法則，可以看出，上面最后一式的方括中只有bi的系數(shù)是D，而其他bk(k≠i)的系數(shù)都是零，從而第i個方程的左端=a+a++a=（biD）=bi=第i個方程的右端,i=1,2,,n.故=2\*GB2⑵確是方程組=1\*GB2⑴的解.再證明解的唯一性.若方程組=1\*GB2⑴還有一個解：x1=c1,x2=c2,,xn=cn=3\*GB2⑶只要證明=3\*GB2⑶與=2\*GB2⑵相同即可.將=3\*GB2⑶代入方程組=1\*GB2⑴，得=4\*GB2⑷現(xiàn)在構(gòu)造一個新的行列式c1D=（即在D的第1列乘以c1）給此行列式的第2，3，，n列分別乘以c2，c3,,，cn后都加到第1列，得c1D=根據(jù)=4\*GB2⑷式，得c1D==D1,因為D≠0,所以c1=.同理可證，c2=,,cn=.唯一性得證.（說明：我們學(xué)?，F(xiàn)使用同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編《工程數(shù)學(xué)：線性代數(shù)（第三版）》，其中克萊姆法則的證明（現(xiàn)略）,筆者認(rèn)為，有以下幾點值得商榷和改進(jìn)：一是先證明解的唯一性，后驗證解的存在性，是否符合思維邏輯？因為沒有解的存在性這個前提，怎么談解的唯一性？二是在解的唯一性的證明中所用的技巧很強與前面行列式的性質(zhì)聯(lián)系不夠，教學(xué)實踐也證明學(xué)生難以理解，而且不具備數(shù)學(xué)中證明很多“唯一性”問題的一般方法.因為一個好的方法應(yīng)是一般性的、具有“以不變應(yīng)萬變”的功效，而且應(yīng)充分利用學(xué)生已知的知識，化未知為已知，這是非常重要的數(shù)學(xué)思想方法?；谝陨舷敕ǎ?，本文給出克萊姆法則的一個簡捷的證明.先證明了解的存在性，再證明了解的唯一性，在證明中充分應(yīng)用了行列式的性質(zhì)和行列式的展開定理，學(xué)生容易理解，而且具有一定意義的數(shù)學(xué)教育價值.另外，不足之處是，能否象李老師所說引導(dǎo)學(xué)生去自然而然的發(fā)現(xiàn)這個定理，而不是一開始直接給出這個定理，再去證明，本人目前還沒有好的方法，有待繼續(xù)考慮。）例1解線性方程組（現(xiàn)略）（說明：這是一個含有4個未知數(shù)4個方程的非齊次線性方程組，其目的是熟悉克萊姆法則的內(nèi)容和直接的、簡單的應(yīng)用，也使學(xué)生對克萊姆法則從一般到特殊有感性的認(rèn)識，加深學(xué)生對克萊姆法則的理解和應(yīng)用。）定理1的逆否定理為：定理1ˊ若線性方程組（1）無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式D=0二、齊次線性方程組的克萊姆法則若線性方程組（1）中的所有的常數(shù)項全為0，即b1=b2=…=bn=0,若線性方程組（1）稱為齊次線性方程組。事實1：齊次線性方程組必有解，如x1=x2=…xn=0一定是它的解。這個解稱為它的零解。如果有一組不全為0的數(shù)是它的解，則這個解稱為它的非零解。事實2：若齊次線性方程組有一個非零解，則它有無窮多解。（說明：這2個事實不難證明，它們在后續(xù)的學(xué)習(xí)中反復(fù)遇到，而且可以以不同的形式出現(xiàn)：如零向量可以用任意一組向量線性表示，特別是事實2為后續(xù)學(xué)習(xí)齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)設(shè)下伏筆，正如李老師所說很多內(nèi)容事實上是一回事，只是表現(xiàn)形式不同而已，這里講透了以后可以少講，這樣使得學(xué)生精裝上陣，減輕學(xué)生頭腦的負(fù)擔(dān)，先將書由薄讀厚，再由厚讀薄。）定理2若n×n齊次線性方程組的系數(shù)行列式D≠0，則此齊次線性方程組只有零解。定理2的逆否定理為：定理2ˊ若n×n齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式D=0。證：用反證法。假設(shè)D≠0，則由 克萊姆法則可知該齊次線性方程組線性方程組有唯一解x=x=,x=。而D1=D2=…DN=0,因此唯一解是零解，這與有非零解相矛盾。故D=0。注1：定理2ˊ的逆命題也成立，即若n×n齊次線性方程組的系數(shù)行列式D=0，則它一定有非零解。（第三章證明）注2：關(guān)于更一般的m×n線性方程組的情況在本書第三章討論。例2設(shè)齊次線性方程組有非零解，問取何值？解由定理2ˊ可知，若齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式D=0，即D====0從而得或或。（說明：齊次線性方程組的情形是線性方程組的特例，從而定理2和定理2ˊ分別是定理1和定理1ˊ的特例，分別由定理1和定理1ˊ演繹得到。數(shù)學(xué)教學(xué)中，歸納和演繹無處不在，我們要給學(xué)生強調(diào)一般化和特殊化的關(guān)系，這容易被忽視。特別是定理2ˊ的逆命題我們還沒有證明，所以這里的例2是將原例題改變而成，原例題是問取何值時，此齊次線性方程組有非零解。這樣，更符合邏輯，