概率論課件 第三章

第三章

隨機變量的數(shù)字特征

1§2.1數(shù)學(xué)期望引例3.1.1數(shù)學(xué)期望的定義某射擊運動員射擊結(jié)果如下：101099988888則他的平均命中的環(huán)數(shù)為2若用X表示他射擊時命中的環(huán)數(shù)，則X是一個隨機變量，其分布律可表示為

上面的可理解為以概率為權(quán)數(shù)的“加權(quán)”平均值我們稱之為隨機變量的“數(shù)學(xué)期望”或“均值”。3定義1離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望.)().(,,.,2,1,}{

111???￥=￥=￥=====kkkkkkkkkkkpxXEXEXpxpxkpxXPX即記為的數(shù)學(xué)期望的和為隨機變量則稱級數(shù)絕對收斂若級數(shù)的分布律為設(shè)離散型隨機變量L4關(guān)于定義的幾點說明(3)隨機變量的數(shù)學(xué)期望與一般變量的算術(shù)平均值不同.(1)E(X)是一個實數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機變量X取可能值的真正平均值,也稱均值.(2)級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項次序的改變而改變,之所以這樣要求是因為數(shù)學(xué)期望是反映隨機變量X取可能值的平均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變.5試問哪個射手技術(shù)較好?例1誰的技術(shù)比較好?甲射手乙射手6故乙射手的技術(shù)比較好.解7例2泊松分布

則有8例3袋中有12個零件，其中9個合格品，3個廢品.安裝機器時，從袋中一個一個地取出（取出后不放回），設(shè)在取出第一個合格品之前已取出的廢品數(shù)為隨機變量X,求E(X).

X的可能取值為0，1，2，3.為求X的分布律，先求取前面這些可能值的概率，易知解

9于是，得到X的分布律為：則有:X0123P0.7500.2040.0410.00510連續(xù)型隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義定義2數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱為均值。

11例4

均勻分布則結(jié)論

均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點.12例5指數(shù)分布

則某電子元件的壽命X服從參數(shù)為的指數(shù)分布(單位：小時),求這類電子元件的平均壽命.由已知,X的分布密度為解:13即這類電子元件的平均壽命為1000小時.由得：

指數(shù)分布是常用的“壽命分布”之一，由上述計算可知，若一個電子元件的壽命服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則它的平均壽命為.14解例6設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為15事實上，我們不需要先求關(guān)于X和Y的邊緣分布律，可以直接由的聯(lián)合分布律求X和Y的數(shù)學(xué)期望。161o當二維離散型隨機變量(X,Y

)的聯(lián)合分布律為時2o當二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率函數(shù)為時17例7設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度為求和解18問題的提出：設(shè)已知隨機變量X的分布，我們需要計算的不是X的期望，而是X的某個函數(shù)的期望，比如說g(X)的期望.那么應(yīng)該如何計算呢？3.1.2隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望19如何計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望?一種方法是，因為g(X)也是隨機變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來.一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計算出來.

使用這種方法必須先求出隨機變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的.20那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得E[g(X)]呢？下面的基本公式指出，答案是肯定的.類似引入上述E(X)的推理，可得如下的基本公式:21定理1:設(shè)X是一個隨機變量，Y=g(X)，則當X為離散型時,P(X=xk)=pk;當X為連續(xù)型時,X的密度函數(shù)為f(x).推廣到兩個以上r.v的基本公式，見教材.22該公式的重要性在于:當我們求E[g(X)]時,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機變量函數(shù)的期望帶來很大方便.23例8設(shè)隨機變量X的分布律為X-1012P0.10.30.40.2，且，.試求：，解:利用定理1計算得：同理，24例9設(shè)隨機變量X的分布密度為求:(1) ;(2)的數(shù)學(xué)期望.解:(1)(2)25例11設(shè)(X,Y)服從以點為頂點的三角形區(qū)域A上的均勻分布,試求函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解三角形區(qū)域A如圖3-1,易知A的面積為1，故圖3-121yOxA26于是271.設(shè)C為常數(shù),則有證2.設(shè)X是一個隨機變量，k,b是常數(shù),則有3.1.3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)證設(shè)X的分布密度為，則283.設(shè)X、Y是任意兩個隨機變量，則證設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為,邊緣概率密度分別為和,則

294.設(shè)X、Y是相互獨立的隨機變量,則有推廣推廣若為相互獨立的隨機變量，則有30例12設(shè)隨機變量的分布密度分別為(1)求(2)若設(shè)相互獨立，求解(1)

31(2)

32(3)由相互獨立，易得小結(jié)數(shù)學(xué)期望是一個實數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機變量X取可能值的真正的平均值.332.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)34常見離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望

分布

分布律

E(X)(0-1)分布

X~B(1,

p)

kkppkXP--==1)1(}{

k=0,1

p

二項分布

X~B(n,

p)

knkknppCkXP--==)1(}{

k=0,1,2,…,n

np

泊松分布

)(~lPX

P{X=k}=ll-ekk!

k=0,1,2,…

l幾何分布

P{X=k}=ppk1)1(--

k=1,2,…

p1

35常見連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望

分布名稱

概率密度

)(XE

均勻分布

X~U[a,b]f(x)=???íì?-其他,0],[,1baxab

2ba+

正態(tài)分布

),(~2smNX

f(x)=222)(21smsp--xe

m

指數(shù)分布

)(~lEXf(x)=)0(,00,>???íì>-lll其他xex

l1

36§3.2方差

一、方差的定義37方差是一個非負值，常用來體現(xiàn)隨機變量X取值的分散程度.如果D(X)值大,表示X取值越分散,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,則表示X的取值比較集中,以E(X)作為隨機變量的代表性好.說明38由方差的定義，我們不難發(fā)現(xiàn)方差實際上就是隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，于是離散型隨機變量X的方差連續(xù)型隨機變量X的方差其中為X的分布密度39證明利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可得到計算方差的一個簡便公式：40例1甲、乙兩人射擊結(jié)果分別用X、Y表示（單位：分）。經(jīng)統(tǒng)計得X和Y的分布律如下：X0123Y0123P0.30.40.20.1P0.40.20.30.1試問二人誰更穩(wěn)定些？解由得

由得可見，二人平均水平相當，但甲更穩(wěn)定些。41例2設(shè)X服從區(qū)間上的均勻分布，求.解在上一節(jié)例3中已求得，而于是42進而例3設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求.解

X的分布密度為43證明二、方差的性質(zhì)1、設(shè)C是常數(shù),則有2、設(shè)X是一個隨機變量,C是常數(shù),則有證明444、設(shè)X和Y是兩個隨機變量，則

特別地，若X,Y相互獨立,則有證明45X,Y相互獨立時從而有，X,Y相互獨立時事實上，“相互獨立的隨機變量其各自的函數(shù)間，仍然相互獨立”.這是一個很有用的結(jié)論.46推廣47例4設(shè)隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望，方差，求的數(shù)學(xué)期望和方差。解利用數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)得48我們稱數(shù)學(xué)期望為0，方差為1的變量為標準化變量，且稱為隨機變量的標準化。由于標準化變量是無量綱的，所以可用于不同單位的量的比較，因而在統(tǒng)計分析中有著廣泛的應(yīng)用。49§3.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)3.3.1協(xié)方差問題的提出協(xié)方差50定義設(shè)(X,Y)為二維隨機變量，若存在，則稱它為隨機變量X與Y的協(xié)方差，記作或，即51由協(xié)方差的定義易知協(xié)方差具有下列性質(zhì):1、

2、

5、若X和Y相互獨立，則

7、6、3、

4、

常用作協(xié)方差的計算公式52例1設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布律為010q010p其中，求.101010解由已知易得X,Y以及XY的分布律分別為53進一步有于是54例2設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為求，.解因為55所以又利用對稱性易得，所以563.3.2相關(guān)系數(shù)

協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.例如Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)

為了消除量綱的影響，我們可將隨機變量標準化

.可以驗證，

標準化隨機變量消除了量綱的影響。57定義設(shè)D(X)>0,D(Y)>0,計算公式：特別地，當時，稱X與Y不相關(guān).58思考隨機變量的不相關(guān)與相互獨立之間存在怎樣的聯(lián)系呢？不難看到，若X與Y相互獨立，那么協(xié)方差為0，即X與Y相互獨立時，X與Y一定不相關(guān).那么反之是否成立呢？看下面例題。例3若，且，問X與Y是否不相關(guān)？是否獨立？59解因為X分布密度為偶函數(shù)，所以

于是進一步，有這說明與是不相關(guān)的。60相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1證性質(zhì)2證若，則61性質(zhì)2證

62

相關(guān)系數(shù)是隨機變量之間線性關(guān)系強弱的一個度量(參見如下的示意圖).|

|的值越接近于1,Y與X的線性相關(guān)程度越高;|

|的值越接近于0,Y與X的線性相關(guān)程度越弱.63我們已知道如下命題：注意：以上逆命題一般不成立,即X與Y不相關(guān)時,不一定獨立.然而，在正態(tài)分布的場合,獨立性與不相關(guān)性是一致的。若X與Y相互獨立，則X與Y不相關(guān)。64二維正態(tài)分布由前面章節(jié)討論可知656667結(jié)論683.3.3矩其中k是正整數(shù).協(xié)方差Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩.稱它為X和Y的k+l階混合(原點)矩.若存在，稱它為X和Y的k+l階混合中心矩.

設(shè)X和Y是隨機變量，若k,l=1,2,…存在，69在數(shù)學(xué)中大家都注意到這樣的現(xiàn)象：有時候一個有限的和很難求,但一經(jīng)取極限由有限過渡到無限,則問題反而好辦.例如,若對某一x,要計算和

而一經(jīng)取極限，則有簡單的結(jié)果

§3.4大數(shù)定律與中心極限定理70事實證明這是可能的，而且在一般情況下和的極限分布就是正態(tài)分布，由此可見正態(tài)分布的重要性。對和的分布收斂于正態(tài)分布的這一類極限定理的研究，在長達兩個世紀的時期內(nèi)成了概率論研究的中心課題，因此得到了“中心極限定理”的名稱。本章將列述這類定理中最簡單，然而也是最重要的情況。

71723.4.1切比雪夫不等式或733.4.2大數(shù)定律定理1（切比雪夫大數(shù)定律）

設(shè)X1,X2,…是相互獨立的隨機變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即D(Xi)≤K，i=1,2,…，切比雪夫則對任意的有或74證兩邊夾,即得結(jié)論.75解釋:取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于1.當n充分大時，差不多不再是隨機的了,76推論（伯努利大數(shù)定律）或伯努利

下面給出的伯努利大數(shù)定律,是定理1的一種特例.

設(shè)nA是n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對任給的

,有77引入i=1,2,…,n則

而

由切比雪夫大數(shù)定律，78是事件A發(fā)生的頻率，

伯努利大數(shù)定律表明，當重復(fù)試驗次數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率nA/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.這就是頻率穩(wěn)定性的理論解釋。

歷史上，伯努利第一個研究了這種類型的極限定理，在1713年發(fā)表的論文中(這是概率論的第一篇論文!),他建立了以上定理。所以有人認為，概率論的真正歷史應(yīng)從出現(xiàn)伯努利大數(shù)定律的時刻算起。

79

下面給出的獨立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機變量的方差存在.

設(shè)隨機變量序列X1,X2,…獨立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=