第二章有導(dǎo)體時(shí)的靜電場(chǎng)

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第2章

有導(dǎo)體時(shí)的靜電場(chǎng)2第2章有導(dǎo)體時(shí)的靜電場(chǎng)目錄§1靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體§2封閉金屬殼內(nèi)外的靜電場(chǎng)§3電容器及電容§4靜電演示儀器§5帶電體系的靜電能量3

以靜電場(chǎng)基本規(guī)律為依據(jù)，討論有導(dǎo)體存在時(shí)對(duì)靜電場(chǎng)的影響。靜電場(chǎng)中放入導(dǎo)體后，導(dǎo)體和電場(chǎng)相互影響，相互制約,經(jīng)歷一個(gè)極短暫的時(shí)間，達(dá)到平衡狀態(tài)。我們研究的前提：假定導(dǎo)體在電場(chǎng)作用下已處于平衡，結(jié)合基本規(guī)律分析，解決問題。4電場(chǎng)的基本性質(zhì)方程仍是本章研究的問題仍然是靜電場(chǎng)場(chǎng)量仍是電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)5§1靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體一、導(dǎo)體和絕緣體1.導(dǎo)體存在大量的可自由移動(dòng)的電荷2.絕緣體理論上認(rèn)為無自由移動(dòng)的電荷也稱電介質(zhì)3.半導(dǎo)體介于上述兩者之間本章討論金屬導(dǎo)體對(duì)場(chǎng)的影響6二、導(dǎo)體的靜電平衡1．

靜電感應(yīng)+++++++++感應(yīng)電荷7++++++++++++8++++++++導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度外電場(chǎng)強(qiáng)度感應(yīng)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度9定義：

導(dǎo)體內(nèi)部和表面都沒有電荷作宏觀定向運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)。2、靜電平衡：電荷不動(dòng)3、靜電平衡條件：導(dǎo)體內(nèi)部任何一點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度為零10注意：（1）“點(diǎn)”指導(dǎo)體內(nèi)部宏觀的點(diǎn)

（物理無限小體元）。（2）平衡條件中，根本的是（若有非靜電力時(shí)，例導(dǎo)體接了電池，平衡時(shí)靜電力、靜電場(chǎng)不等于零)。11導(dǎo)體三、導(dǎo)體靜電平衡的性質(zhì)1.導(dǎo)體為等勢(shì)體，表面為等位面證明：導(dǎo)體內(nèi)部任取兩點(diǎn)a、b122.導(dǎo)體內(nèi)部沒有電荷，電荷

只分布在導(dǎo)體表面證明：在導(dǎo)體內(nèi)任取體積元由高斯定理任取體積元電荷只能分布在導(dǎo)體表面！133.導(dǎo)體表面附近的電場(chǎng)①14②E與σ的關(guān)系取扁柱面為高斯面外法線方向?qū)懽鳓15四、帶電導(dǎo)體所受的靜電力設(shè)是導(dǎo)體表面含P點(diǎn)的小面元，是P點(diǎn)的電荷面密度，則受到的靜電力是除外所有電荷在P點(diǎn)貢獻(xiàn)的場(chǎng)強(qiáng)導(dǎo)體表面附近的場(chǎng)強(qiáng)為可以分為兩部分其中是在P1

的場(chǎng)強(qiáng)，是除16外的電荷在P1

的場(chǎng)強(qiáng)。P1點(diǎn)在導(dǎo)體附近，所以代入前式可得最后可得：17對(duì)導(dǎo)體表面作積分，可得整個(gè)導(dǎo)體所受的靜電力。由上述討論可知：導(dǎo)體表面稍微往外的

P1處的總場(chǎng)強(qiáng)為

它由兩個(gè)部分構(gòu)成，即18其中如果考慮導(dǎo)體表面稍微里面一點(diǎn)P2，則而的連續(xù)性保證于是故場(chǎng)強(qiáng)在導(dǎo)體表面一點(diǎn)p的突變完全是由含小面元的場(chǎng)強(qiáng)的突變引起的。19五、孤立導(dǎo)體形狀對(duì)電荷分布的影響

1.

孤立導(dǎo)體的電荷分布由自身的形狀和電荷總量決定表面突出的尖銳處（曲率為正且較大）:電荷面密度較大比較平坦地方（曲率較?。?電荷面密度較小20表面凹進(jìn)部分（曲率為負(fù)）：電荷面密度最小尖端放電實(shí)驗(yàn)給出了一個(gè)尖形導(dǎo)體的等勢(shì)面、電力線和電荷分布，如圖。＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋導(dǎo)線即：用導(dǎo)線連接兩導(dǎo)體球，則必有：孤立導(dǎo)體表面的電荷面密度與導(dǎo)體表面的曲率半徑有關(guān)：曲率半徑大處電荷密度低；即：表面上愈尖銳處電荷密度越大。孤立導(dǎo)體表面的電荷分布定性的證明：22由于帶電導(dǎo)體尖端附近的電荷密度最大，按照導(dǎo)體表面電場(chǎng)公式，該處的場(chǎng)最強(qiáng)。2、尖端放電現(xiàn)象在尖端處的空氣可能被電離而出現(xiàn)尖端放電現(xiàn)象，如圖。23

尖端放電會(huì)損耗電能,干擾精密測(cè)量還會(huì)對(duì)通訊產(chǎn)生危害。然而，尖端放電也有很廣泛的應(yīng)用。尖端放電現(xiàn)象的利與弊例如：靜電加速器、感應(yīng)起電機(jī)、避雷針等。24<電風(fēng)實(shí)驗(yàn)>++++++++++將帶電的尖端物體接近火苗，由于尖端放電，電離空氣，將發(fā)現(xiàn)火苗被吹偏，稱為電風(fēng)實(shí)驗(yàn)。253.避雷針高層建筑物上的避雷針也是利用導(dǎo)體的尖端放電現(xiàn)象。尖端處：曲率大，電荷面密度大，導(dǎo)體表面的場(chǎng)強(qiáng)也大；這個(gè)電場(chǎng)擊穿空氣，產(chǎn)生電子和離子并加速它們；加速的電子和離子與空氣分子碰撞，進(jìn)一步產(chǎn)生大量的電子和離子，被電離的空氣成為導(dǎo)體。﹢﹢﹢﹢﹢﹢﹢26

雷雨時(shí)節(jié)，大塊的云層頂部帶正點(diǎn)，底部帶負(fù)電，在接近地面時(shí)，地面感應(yīng)產(chǎn)生正電荷。云層與地面距離在３-４Km，其電荷大到足以使云層與地面產(chǎn)生一個(gè)20-30MV甚至100MV的電勢(shì)差。如果沒有避雷針地面與云層就會(huì)遭受雷擊；當(dāng)裝上避雷針由于尖端放電，率先把周圍空氣擊穿，使云與地面電荷不斷中和，將大規(guī)模的放電變?yōu)樾∫?guī)模的放電，從而避免電荷積累和大規(guī)模放電帶來的危害。因此，避雷針實(shí)際上是“引雷針”。27閃電閃電28294.金屬尖端的強(qiáng)電場(chǎng)的應(yīng)用-場(chǎng)離子顯微鏡(FIM)

場(chǎng)離子顯微鏡結(jié)構(gòu)如下圖所示，其主要結(jié)構(gòu)為一玻璃真空容器，平坦的底部內(nèi)側(cè)涂有熒光粉，用于顯示圖像。被檢測(cè)樣品為陽極（一般為單晶細(xì)絲，頂端曲率半徑約為20~200nm的針尖），把樣品置于高真空的空間中，并固定在容器的軸線上，在空間中放入成像氣體(He、Ne、Ar等)中。為了減小樣品表面原子熱振動(dòng)，通常用液氮或液氦降低樣品溫度，以提高像的分辨率。先將容器抽到1.33×10-6Pa的真空度，然后通入壓力約1.33×10-1Pa的成像氣體。圖

場(chǎng)離子顯微鏡示意圖

給樣品正高壓，樣品接+（10~40）kV高壓，而容器內(nèi)壁通過導(dǎo)電鍍層接地，一般用氧化錫，以保持透明。在樣品加上足夠高的電壓時(shí)，強(qiáng)電場(chǎng)使樣品附近的成像氣體原子發(fā)生極化和電離，使附著在樣品上的成像氣體解離成帶正電的陽離子。在熒光屏，上面有一電子通道倍增板，其作用是將微弱成像的離子束轉(zhuǎn)化為信號(hào)很強(qiáng)的電子束。最后，以電子射到熒光屏幕，我們就能在屏幕上看到一顆一顆的原子亮點(diǎn)！

圖

場(chǎng)離子顯微鏡示意圖

帶正電的氣體離子接著被電場(chǎng)加速射出，打到接收器訊號(hào)被放大。熒光屏上即可顯示尖端表層原子的清晰圖像。如圖所示，其中每一亮點(diǎn)都是單個(gè)原子的像。圖鎢單晶尖端的場(chǎng)離子顯微鏡圖像34六、導(dǎo)體靜電平衡問題的討論方法困難：

因?yàn)殡妶?chǎng)影響導(dǎo)體，使導(dǎo)體電荷發(fā)生重新分布；反過來，重新分布的電荷，又會(huì)改變電場(chǎng)的分布，這使得問題陷入了循環(huán)的地步，在數(shù)學(xué)上有相當(dāng)?shù)睦щy。原則:1.靜電平衡的條件353.電荷守恒定律或電力線的兩條性質(zhì)2.基本性質(zhì)方程36例1：證明如圖的靜電感應(yīng)現(xiàn)象中，A是帶正電的點(diǎn)電荷，B是中性導(dǎo)體，試證導(dǎo)體B左端的感應(yīng)負(fù)電荷絕對(duì)值小于施感電荷。證：根據(jù)電力線的性質(zhì)1,B的左端一定有電力線終止。37這些電力線的發(fā)源地為：（1）A上的正電荷。（2）B上的正電荷。（3）無限遠(yuǎn)?！哐仉娏€方向電位降低，與導(dǎo)體平衡時(shí)等勢(shì)體矛盾∴（2）不可能。38B右端的正電荷發(fā)出的電力線又終止于無窮遠(yuǎn)處,,所以（3）不成立?！嘟K止于B左端的電力線全部來自A上的正電荷，而A的電力線有可能終止于感應(yīng)電荷，也可能終止于無窮遠(yuǎn)，即感應(yīng)電荷一定不大于施感電荷。39（1）接地時(shí)導(dǎo)體上不能有正電荷，若B上有正電荷，發(fā)出電力線可能：①到無窮遠(yuǎn):沿電力線電位降低②到本身的負(fù)電荷:與導(dǎo)體是等位體矛盾,所以唯一可能是導(dǎo)體B上沒有正電荷。（2）接地只能說明電位為零，只提供了當(dāng)?shù)亟粨Q電荷的可能性。討論40例2：中性封閉金屬殼內(nèi)有正點(diǎn)電荷q，求殼內(nèi)外壁感生電荷的數(shù)量。+q解：根據(jù)電場(chǎng)線的性質(zhì)，由q發(fā)出的電力線的條數(shù)正比于q；這些電力線不會(huì)在無電荷處中斷，也不能穿過導(dǎo)體（因?qū)w內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為0），它只能止于殼的內(nèi)壁，所以殼內(nèi)壁的總電荷為-q；又因殼為中性，內(nèi)外壁電荷的代數(shù)和為0，故外壁總電荷為q。41例3.把例1的導(dǎo)體B接地,試證B上不再有的點(diǎn)。證：選擇地與無限遠(yuǎn)電勢(shì)相等，即。設(shè)B上某點(diǎn)有，它所發(fā)出的電力線只能延伸到無限遠(yuǎn)，故。另一方面，B導(dǎo)體接地要求，這與矛盾。所以B導(dǎo)體上不能有的點(diǎn)。42說明：1）導(dǎo)體B右則的正電荷在接地后不存在可以認(rèn)為它們沿著接地線流入了大地（實(shí)際是大地的電子流向?qū)w中和了正電荷）。而且，即使接地線在導(dǎo)體B左側(cè)結(jié)論仍然成立。2）接地不但使B右側(cè)的正電荷流光，而且改變了導(dǎo)體B左端的負(fù)電荷分布。43例4接地導(dǎo)體球附近有一點(diǎn)電荷q,如圖所示。求導(dǎo)體上感應(yīng)電荷的電量。解:導(dǎo)體接地，即設(shè)感應(yīng)電量為Q由于導(dǎo)體是個(gè)等勢(shì)體，可知o點(diǎn)的電勢(shì)為0;由電勢(shì)疊加原理有關(guān)系式：44SS例5兩塊平行放置的面積為S的金屬板，各帶電量Q1、Q2,板距與板的線度相比很小。求：

②若把第二塊金屬板接地，以上結(jié)果如何？EIEIIEIIIQ1Q2

①靜電平衡時(shí),金屬板電荷的分布和周圍電場(chǎng)的分布。45EIEIIEIIIQ1Q2解：無限大帶電平面：靜電平衡條件電荷守恒?P1?P246解得：EIEIIEIIIQ1Q2?P1?P2取向右為正47電場(chǎng)分布：EIEIIEIIIQ1Q2?P1?P248EIEIIEIIIQ1Q2如果第二塊坂接地，則

4=0電荷守恒高斯定理靜電平衡條件解得：?P49§2

封閉金屬殼內(nèi)外的靜電場(chǎng)腔內(nèi)腔外導(dǎo)體殼的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：兩區(qū)域：

腔內(nèi)、腔外兩表面：

內(nèi)表面、外表面內(nèi)表面

外表面50理論上需說明的問題是：1)腔內(nèi)、外表面電荷分布特征2)腔內(nèi)、外空間電場(chǎng)分布特征基本思路:從特例開始-然后得出結(jié)論一、腔內(nèi)無帶電體時(shí)場(chǎng)的特征內(nèi)表面處處沒有電荷腔內(nèi)無電場(chǎng)結(jié)論51即或者說腔內(nèi)電勢(shì)處處相等證明:在導(dǎo)體殼內(nèi)緊貼內(nèi)表面作高斯面S。因?yàn)閷?dǎo)體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)處處為零，所以S52由高斯定理得高斯面內(nèi)電量代數(shù)和為零，即由于空腔內(nèi)無帶電體，所以因?yàn)閷?dǎo)體體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)處處為零531）處處不帶電，即處處無凈電荷2）一部分帶正電荷，一部分帶等量負(fù)電荷還需排除第2種情況，用反證法證明假設(shè)：內(nèi)表面有一部分帶正電荷一部分帶等量的負(fù)電荷。54這與導(dǎo)體是等勢(shì)體矛盾。故說明假設(shè)不成立！?則電力線從正電荷向負(fù)電荷。證明了：腔內(nèi)無帶電體時(shí)內(nèi)表面處處沒有電荷

腔內(nèi)無電場(chǎng)551)導(dǎo)體殼是否帶電?2)腔外是否有帶電體?未提及的問題在腔內(nèi)說明：腔內(nèi)的場(chǎng)與腔外(包括殼的外表面)的電量及分布無關(guān)結(jié)論56二、腔內(nèi)有帶電體時(shí)場(chǎng)的特征用高斯定理證明：S在導(dǎo)體殼中作高斯面S如圖，因?yàn)閷?dǎo)體體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)處處為零

所以可見57腔內(nèi)的電場(chǎng)1)與殼內(nèi)電量q有關(guān)2)與幾何因素(腔內(nèi)帶電體、腔內(nèi)表面形狀）有關(guān)，與殼外電荷無關(guān)。（內(nèi)要影響外）。581)殼是否帶電?2)腔外是否有帶電體?腔內(nèi)的場(chǎng)只與腔內(nèi)帶電體電量、形狀、位置）及腔內(nèi)的幾何因素、介質(zhì)有關(guān)，與殼外電荷無關(guān)

（外不影響內(nèi)）。未提及的問題或者說在腔內(nèi)結(jié)論59

腔內(nèi)部的電場(chǎng)：只與腔內(nèi)帶電體（電量、形狀、位置）及腔內(nèi)壁的幾何因素、介質(zhì)有關(guān),或說：在腔內(nèi)任一點(diǎn)小

結(jié)

腔外部的電場(chǎng)：只與腔外帶電（電量、形狀、位置）及腔外壁的幾何因素、介質(zhì)有關(guān)?；蛘f：在腔外任一點(diǎn)60三、靜電屏蔽的裝置---接地導(dǎo)體殼靜電屏蔽：腔內(nèi)、腔外的場(chǎng)互不影響腔內(nèi)場(chǎng):只與內(nèi)部帶電量及內(nèi)部幾何條件及介質(zhì)有關(guān)腔外場(chǎng):只由外部帶電量和外部幾何條件及介質(zhì)決定61思考：不接地行嗎？62

屏蔽外電場(chǎng)外電場(chǎng)

空腔導(dǎo)體可以屏蔽外電場(chǎng),使空腔內(nèi)物體不受外電場(chǎng)影響。這時(shí),整個(gè)空腔導(dǎo)體和腔內(nèi)的電勢(shì)也必處處相等。空腔導(dǎo)體屏蔽外電場(chǎng)

封閉導(dǎo)體殼,殼內(nèi)外場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系63

接地空腔導(dǎo)體將使外部空間不受空腔內(nèi)的電場(chǎng)影響。導(dǎo)體殼接地，內(nèi)外電場(chǎng)互不影響——靜電屏蔽接地導(dǎo)體電勢(shì)為零

屏蔽腔內(nèi)電場(chǎng)：++++++++64例：有一外半徑，內(nèi)半徑的金屬球殼，在球殼內(nèi)放一半徑的同心金屬球，若使球殼和金屬球均帶有的正電荷。問兩球體上的電荷如何分布？球心的電勢(shì)為多少？65解：根據(jù)靜電平衡的條件求電荷分布作球形高斯面作球形高斯面66根據(jù)靜電平衡條件作球形高斯面67意味著球殼內(nèi)表面帶作球形高斯面意味著球殼外表面帶68總結(jié):69球心的電勢(shì)70§3.電容器及其電容一、孤立導(dǎo)體的電容電容只與導(dǎo)體的幾何因素有關(guān)——固有的容電本領(lǐng)。孤立導(dǎo)體的電勢(shì)定義:(capacitor)71單位:法拉FSI制：72例求真空中孤立導(dǎo)體球的電容(如圖)設(shè)球帶電為

Q解：導(dǎo)體球電勢(shì)導(dǎo)體球電容介質(zhì)幾何73例：欲得到1F

的電容，孤立導(dǎo)體球的半徑應(yīng)該為多大？解：由孤立導(dǎo)體球電容公式知地球平均半徑約為74二、電容器及其電容

由靜電屏蔽--導(dǎo)體殼內(nèi)部的場(chǎng)只由腔內(nèi)的電量和幾何條件決定(相當(dāng)于孤立)腔內(nèi)導(dǎo)體表面與殼的內(nèi)表面形狀及相對(duì)位置