移動(dòng)荷載下彈性地基梁振動(dòng)分析

移動(dòng)荷載下彈性地基梁振動(dòng)分析

1局部脫空地基梁該可視為移動(dòng)強(qiáng)度影響下的靈活基礎(chǔ)設(shè)施梁設(shè)計(jì)問題，包括鐵路軌道和港口龍門吊混凝土條的基礎(chǔ)，以及不同橫向彎曲差異的混凝土混凝土地板。在荷載重復(fù)作用下,地基有可能由塑性變形、水沖蝕等原因造成與梁底之間的局部脫空。局部脫空地基梁在移動(dòng)集中力作用下的力學(xué)響應(yīng)呈現(xiàn)明顯的振動(dòng)特征,隨著脫空區(qū)的增大,振幅顯著上升而振頻下降,從而加速梁結(jié)構(gòu)的損壞。因此,弄清局部脫空地基梁在移動(dòng)荷載下的振動(dòng)響應(yīng),就可通過頻幅測(cè)試,評(píng)估局部脫空范圍,為合理選擇治理措施提供依據(jù)。2局部脫空有限長(zhǎng)彈地基梁的振動(dòng)方程移動(dòng)集中力作用下的局部脫空有限長(zhǎng)彈性地基梁的力學(xué)圖式如圖1所示。梁脫空端視為自由邊界,另一端的邊界條件則視作為簡(jiǎn)支;梁總長(zhǎng)度為L(zhǎng),脫空區(qū)梁長(zhǎng)記作la;移動(dòng)集中力為P,在某一時(shí)刻位置為xp。地基采用(Winkler)文克勒假定時(shí),局部脫空有限長(zhǎng)彈地基梁的振動(dòng)微分方程為{D?4w(x,t)?x4=-ρ?2w(x,t)?t2+F(x,t),0≤x≤laD?4w(x,t)?x4+kw(x,t)=-ρ?2w(x,t)?t2+F(x,t),la≤x≤L(1)式中:D、ρ分別為梁的抗彎曲剛度(kNm2)和線密度(kg/m);k為地基的線反應(yīng)模量(kN/m2);F(x,t)為移動(dòng)集中力的激勵(lì),其表達(dá)式為F(x,t)=Ρδ(x-x0±vt)(2)式中:δ(·)為0～1函數(shù);P為集中力(kN);x0為初時(shí)刻(t=0)的集中力位置坐標(biāo)。3地基梁振動(dòng)的頻率和參數(shù)彈性地基梁振動(dòng)微分方程式(1)的齊次項(xiàng)可采用分離變量法求解,假設(shè)地基梁的豎向位移函數(shù)w(x,t)的二個(gè)自變量(位置x和時(shí)刻t)可分離,即w(x,t)=X(x)Τ(t)(3)將式(3)代入式(1)的齊次形式,得到Τ(t)=B1cosωt+B2sinωt?X(x)={w0y1(αx)+θ0αy2(αx)-Μ0Dα2y3(αx)-Q0Dα3y4(αx)?0＜x＜lawAy1[β(x-la)]+θAβy2[β(x-la)]-ΜADβ2y3[β(x-la)]-QADβ3y4[β(x-la)]?la＜x＜L(4)式中ω=√C/ρ?α=4√CD?β={4√k-C4D?C＜k4√C-k4D?C＞k其中:C為滿足邊界條件的待定正常數(shù);w0、θ0、M0、Q0為梁端的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力;wA、θA、MA、QA為A截面撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力值;y1、y2、y3、y4為克雷洛夫函數(shù),在0<x<la和C>k時(shí)如式(5);在C<k時(shí)如式(6){y1(x)=y3(x)=12(coshx±cosx)y2(x)=y4(x)=12(sinhx±sinx)(5){y1(x)=coshxcosxy2(x)=12(coshxsinx+sinhxcosx)y3(x)=12sinhxsinxy4(x)=14(coshxsinx-sinhxcosx)(6)地基梁的邊界條件為d2X1(0)dx2=d3X1(0)dx3=0,X2(L)=d2X2(L)dx2=0(7)A截面的連續(xù)條件為X1(la)=X2(la),dX1(la)dx=dX2(la)dx,d2X1(la)dx2=d2X2(la)dx2?d3X1(la)dx3=d3X2(la)dx3(8)將上述邊界和連續(xù)條件代入式(4)得到X(x)={w0y1(αx)+θ0αy2(αx),0≤x≤law0fw(α,la,β,x)+θ0fθ(α,la,β,x),la≤x≤L(9)式中fw=y1(u1)y1(u2)+αβy4(u1)y2(u2)+α2β2y3(u1)y3(u2)+α3β3y2(u1)y4(u2)?fθ=1αy2(u1)y1(u2)+1βy1(u1)y2(u2)+αβ2y4(u1)y3(u2)+α2β3y3(u1)y4(u2)?u1=αla,u2=β(x-la)w0,θ0有非零解條件為fw(α,la,β,L)f″θ(α,la,β,L)-f″w(α,la,β,L)fθ(α,la,β,L)=0(10)結(jié)合式(4)中的α、β與C的關(guān)系式,解式(10)得到無窮個(gè)待定常數(shù)C的正數(shù)根Cn(n=1,2,…)。再利用式(4)可獲得相應(yīng)的地基梁振動(dòng)本征頻率ωn和參數(shù)αn、βn。滿足式(10)的脫空端位移w0與轉(zhuǎn)角θ0關(guān)系為θ0n=Anw0nAn=-fw(αn,la,βn,L)/fθ(αn,la,βn,L)(11)地基梁齊次振動(dòng)方程解為w(x,t)=∞∑n=1Xn(x)(B1nsinωnt+B2ncosωnt)(12)其中Xn(x)={y1(αnx)+Anαy2(αnx),0≤x≤lafw(αn,la,βn,x)+Anfθ(αn,la,βn,x),la≤x≤L4材料及結(jié)構(gòu)參數(shù)將局部脫空的有限長(zhǎng)彈性地基梁的振動(dòng)微分方程的特解w*(x,t)表示為w*(x,t)=∞∑n=1Xn(x)qn(t)(13)將式(13)代入式(1),則有∞∑n=1[d2qn(t)dt2+ω2nqn(t)]Xn(x)=F(x,t)/ρ(14)由于Xn(x)在[0,L]區(qū)間具有正交性,在式(14)等式兩邊乘上Xn(x)并在[0,L]區(qū)間積分,則得到d2qn(t)dt2+ω2nqn(t)=Qn(t)/Μn(15)其中Μn=L∫0X2n(x)dx,Qn(t)=pρXn(x0±vt)式(15)為二階常微分方程,解之得到qn(t)={an1coshαn(u)+an2sinhαn(u)+an3cosαn(u)+an4sinαn(u),u=x0±vt∈[0,la]an1coshβn(u)+an2sinhβn(u)+an3cosβn(u)+an4sinβn(u),u=x0±vt-la∈[0,L-la]∩Cn＞kan1coshβn(u)cosβn(u)+an2coshβn(u)sinβn(u)+an3sinhβn(u)cosβn(u)+an4sinhβn(u)sinβn(u),u=x0±vt-la∈[0,L-la]∩Cn＜k(16)式中:an1、an2、an3、an4為與地基梁材料性質(zhì)、移動(dòng)集中力大小、速度、位置有關(guān)的常數(shù)。5逆x軸行駛脫空區(qū)0,la由式(12)和式(13),得到移動(dòng)集中力作用下的局部脫空彈性地基梁的振動(dòng)通解為w(x,t)=∑n=1∞Xn(x)?[B1ncosωnt+B2nsinωnt+qn(t)](17)地基梁的初始時(shí)刻可視為靜態(tài),其初始條件為w(x,t)|t=0=?w(x,t)?t|t=0=0(18)當(dāng)集中力P順x軸向駛?cè)肭襵0=0時(shí),集中力P在vt∈(0,la)范圍內(nèi),將式(17)代入初始條件式(17),解得B1n,B2n為B1n=-(an1+an3)?B2n=-vαnωn(an2+an4)(19)當(dāng)集中力P到達(dá)la后,即ta=la/v,上一階段的結(jié)束狀態(tài)即為此階段(vt∈(0,la))的初始條件,得{cos(ωnta)B1n+sin(ωntn)B2n=q^n(ωnta)-bn1sin(ωnta)B1n-cos(ωnta)B2n=-q^′n(ωnta)ωn+vβnωnbn2(20)式中bn1={an1+an3,Cn＞kan1,Cn＜kbn2={an2+an4,Cn＞kan2+an3,Cn＜kq^n和q^′n為前一段梁的通解項(xiàng)及其導(dǎo)數(shù)。同理可推出當(dāng)集中力P逆x軸駛?cè)牒瓦M(jìn)入脫空區(qū)(0,la)的待定常數(shù)B1n,B2n。當(dāng)集中力P駛出地基梁之后,地基梁的振動(dòng)轉(zhuǎn)為自由振動(dòng),振動(dòng)方程為w(x,t)=∑n=1∞Xn(x)×[B?1ncosωn(t-L/v)+B?2nsinωn(t-L/v)]其中:B?1n=q^n(L/v);B?2n=q^′n(L/v)ωn。6當(dāng)?shù)鼗簾o脫空時(shí)的動(dòng)力特性有一水泥混凝土地基梁(長(zhǎng)×寬×高=8m×0.5m×0.3m),混凝土彈性模量、泊松比、密度分別為30000MPa、0.15、2400kg/m3,地基反應(yīng)模量為400MN/m。考察不同脫空程度的地基梁,在不同移動(dòng)速度的集中力P作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。隨著脫空區(qū)的出現(xiàn)和擴(kuò)大,地基梁振動(dòng)呈現(xiàn)低頻特征,低階本征頻率顯著下降。從表1中可以看到,脫空寬度1m時(shí),其第一階本征頻率比未脫空時(shí)的第一階本征頻率下降3倍左右,脫空寬度2m的第一階本征頻率比未脫空時(shí)的第一階本征頻率下降6倍;但其高階本征頻率十分相近。當(dāng)?shù)鼗簾o脫空時(shí),移動(dòng)集中力作用下的地基梁振動(dòng)由前幾階振頻構(gòu)成,其前六階的本征頻率的振幅大于總振幅5%;地基一旦出現(xiàn)脫空,高階頻率的振幅迅速衰退,當(dāng)脫空范圍超過0.5m后,主振頻只剩第一階本征頻率,其在總位移極值的比例ξ1在90%以上,見圖2(圖中縱坐標(biāo)ξi為第i階本征頻率的振幅w0i占總振幅w0max中的比例,即ξi=w0i/w0max)。一般工程精度條件下,求解地基梁位移和結(jié)構(gòu)應(yīng)力,取前10階本征頻率即可滿足要求。地基梁最大位移(向下)位于脫空端(x=0)。當(dāng)移動(dòng)集中力逆x軸(簡(jiǎn)支端)駛?cè)氲竭_(dá)脫空端時(shí),脫空端的位移達(dá)到最大,集中力的移動(dòng)速度v對(duì)脫空端位移極值w0max幾乎無影響,其極值與靜載作用于脫空端的位移值w0P十分接近。當(dāng)移動(dòng)集中力順x軸(脫空端)駛?cè)霑r(shí),脫空端的向下位移極值w0max約遲后1/4的第一階本征頻率周期出現(xiàn),由于t=0突加荷載引起振動(dòng),在移動(dòng)速度v很小時(shí),w0max約為2倍的靜載位移值w0P,隨著v的提高,w0max下降,v從0.1km/h增至200km/h,w0max約減20%～30%,見圖3(圖中縱坐標(biāo)λ為脫空端最大位移比,即脫空端最大位移w0max與靜載作用于脫空端位移w0P之比)。7基梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻幅特征利用分離變量法導(dǎo)出了局部脫空地基梁在移動(dòng)集中作用下的振動(dòng)解析解。從應(yīng)用例子中可以看到-隨