第一章概率統(tǒng)計課件

概率論與數理統(tǒng)計

2006-02-10第一章隨機事件及其概率10/17/2023§1.1隨機事件及其概率的統(tǒng)計定義一、概率論的誕生及應用1654年,一個名叫梅累的騎士就“兩個賭徒約定賭若干局,且誰先贏c局便算贏家,若在一賭徒勝a局(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時便終止賭博,問應如何分賭本”為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費馬通信討論這一問題,于1654年共同建立了概率論的第一個基本概念─數學期望。概率論是數學的一個分支,它研究隨機現象的數量規(guī)律.概率論的廣泛應用幾乎遍及所有的科學領域,例如天氣預報,地震預報,產品的抽樣調查;另外在經濟、金融、保險；管理決策；生物醫(yī)藥；農業(yè)（試驗設計等）等領域都有廣泛應用.在一定條件下必然發(fā)生的現象稱為確定性現象.

“太陽不會從西邊升起”,1.確定性現象

“可導必連續(xù)”,“水從高處流向低處”,實例自然界所觀察到的現象:確定性現象隨機現象

二、隨機現象

確定性現象的特征:

條件完全決定結果在一定條件下可能出現也可能不出現的現象稱為隨機現象.實例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現的情況”.2.隨機現象結果有可能出現正面也可能出現反面.結果有可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.實例3

“拋擲一枚骰子,觀察出現的點數”.實例2

“用同一門炮向同一目標發(fā)射同一種炮彈多發(fā),觀察彈落點的情況”.結果:“彈落點會各不相同”.實例4

“從一批含有正品和次品的產品中任意抽取一個產品”.其結果可能為:

正品

、次品.實例5

“過馬路交叉口時,可能遇上各種顏色的交通指揮燈”.實例6“一只燈泡的壽命”可長可短.隨機現象的特征:條件不能完全決定結果2.隨機現象在一次觀察中出現什么結果具有偶然性,但在大量重復試驗或觀察中,這種結果的出現具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性

,概率論就是研究隨機現象這種本質規(guī)律的一門數學學科.隨機現象是通過隨機試驗來研究的.問題什么是隨機試驗?如何來研究隨機現象?說明1.隨機現象揭示了條件和結果之間的非確定性聯系,其數量關系無法用函數加以描述.1.可以在相同的條件下重復地進行;2.每次試驗的可能結果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結果;3.進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現.定義在概率論中,把具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗.三、隨機試驗說明

1.隨機試驗簡稱為試驗,是一個廣泛的術語.它包括各種各樣的科學實驗,也包括對客觀事物進行的“調查”、“觀察”、或“測量”等.實例

“拋擲一枚硬幣,觀察正面,反面出現的情況”.分析

2.隨機試驗通常用E來表示.(1)試驗可以在相同的條件下重復地進行;1.“拋擲一枚骰子,觀察出現的點數”.2.“從一批產品中,依次任選三件,記錄出現正品與次品的件數”.同理可知下列試驗都為隨機試驗(2)試驗的所有可能結果:正面，反面;(3)進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現.故為隨機試驗.3.記錄某公共汽車站某日上午某時刻的等車人數.4.考察某地區(qū)10月份的平均氣溫.5.從一批燈泡中任取一只,測試其壽命.四、概率的統(tǒng)計定義１、隨機事件：在試驗的結果中，可能發(fā)生、也可能不發(fā)生的事件。比如，拋硬幣試驗中，”徽花向上”是隨機事件；擲一枚骰子中，”出現奇數點”是一個隨機事件等。２、頻率：設A為實驗E中的一個隨機事件，將E重復n次，A發(fā)生m次，稱f(A)=m/n為事件A的頻率．隨著實驗次數n的增加，頻率將處于穩(wěn)定狀態(tài)．比如投硬幣實驗，頻率將穩(wěn)定在1/2附近．３、統(tǒng)計概率：將事件A的頻率的穩(wěn)定值p作為事件A出現的可能性的度量，即P(A)=p為事件A的統(tǒng)計概率．統(tǒng)計概率的缺點：（１）需要大量的重復試驗．（２）得到的是概率的近似值．§1.2樣本空間定義1

對于隨機試驗E，它的每一個可能結果稱為樣本點，由一個樣本點組成的單點集稱為基本事件。所有樣本點構成的集合稱為E的樣本空間或必然事件，用

或S表示我們規(guī)定不含任何元素的空集為不可能件，用

表示。P(Ω)=1,P(

)=0例１、設試驗為拋一枚硬幣，觀察是正面還是反面，則樣本空間為：

Ω={正面，反面｝或｛ω1,ω2}例２、設試驗為從裝有三個白球（記為１，２，３號）與兩個黑球（記為４，５號）的袋中任取兩個球．（１）觀察取出的兩個球的顏色，則樣本空間為：

Ω={ω00,ω11,ω01}ω00

表示“取出兩個白球”，ω11

表示“取出兩個黑球”，ω01

表示“取出一個白球與一個黑球”（２）觀察取出的兩個球的號碼，則樣本空間為：

Ω={ω12,ω13,ω14,ω15,ω23,ω24,ω25,ω34,ω35,ω45}ωij表示“取出第i號與第j號球”．注：試驗的樣本空間是根據試驗的內容確定的！隨機事件隨機試驗E的樣本空間

的子集(或某些樣本點的子集），稱為E的隨機事件,簡稱事件.試驗中,骰子“出現1點”,“出現2點”,…,“出現6點”,“點數不大于4”,“點數為偶數”等都為隨機事件.實例

拋擲一枚骰子,觀察出現的點數.例3寫出擲骰子試驗的樣本點,樣本空間,基本事件,事件A—出現偶數,事件B—出現奇數

基本事件解：用

表示擲骰子出現的點數為

小結隨機現象的特征:1條件不能完全決定結果.2.隨機現象是通過隨機試驗來研究的.(1)可以在相同的條件下重復地進行;(2)每次試驗的可能結果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結果;(3)進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現.隨機試驗3.隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關系隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關系每一個隨機試驗相應地有一個樣本空間,樣本空間的子集就是隨機事件.隨機試驗樣本空間子集隨機事件必然事件不可能事件是兩個特殊的隨機事件

1.包含關系若事件A出現,必然導致B出現,則稱事件B包含事件A,記作實例

“長度不合格”必然導致“產品不合格”所以“產品不合格”包含“長度不合格”.圖示

B包含

A.

BA§1.3事件的關系及運算一.隨機事件間的關系若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A,則稱事件A與事件B相等,記作A=B.2.事件的和(并)實例

某種產品的合格與否是由該產品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產品不合格”是“長度不合格”與“直徑不合格”的并.圖示事件

A與

B的并.

BA3.事件的交

(積)推廣圖示事件A與B

的積事件.

ABAB實例某種產品的合格與否是由該產品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產品合格”是“長度合格”與“直徑合格”的交或積事件.和事件與積事件的運算性質實例拋擲一枚硬幣,“出現花面”與“出現字面”是互不相容的兩個事件.4.事件的互不相容(互斥)若事件A、B滿足則稱事件A與B互不相容.“骰子出現1點”“骰子出現2點”圖示A與B互斥

AB互斥實例拋擲一枚骰子,觀察出現的點數.說明當A

B=

時,可將A

B記為“直和”形式A+B.

任意事件A與不可能事件為互斥.5.事件的差圖示A與B的差

AB

B實例“長度合格但直徑不合格”是“長度合格”與“直徑合格”的差.A事件“A出現而B不出現”，稱為事件A與B的差.記作A-B(或)若事件A、B滿足則稱A與B為互逆(或對立)事件.A的逆記作實例

“骰子出現1點”“骰子不出現1點”圖示A與B的對立.

BA6.事件的互逆（對立）對立若事件A、B滿足則稱A與B為互逆(或對立)事件.A的逆記作實例

“骰子出現1點”“骰子不出現1點”圖示A與B的對立.

BA6.事件的互逆（對立）對立二.事件間的運算規(guī)律三

完備事件組例1設A,B,C表示三個隨機事件,試將下列事件用A,B,C表示出來.(1)A出現,B,C不出現;(5)三個事件都不出現;(2)A,B都出現,C不出現;(3)三個事件都出現;(4)三個事件至少有一個出現;解(6)不多于一個事件出現;逆分配律概率論與集合論之間的對應關系記號概率論集合論樣本空間,必然事件不可能事件基本事件隨機事件A的對立事件A出現必然導致B出現事件A與事件B相等空間(全集)空集元素子集A的補集A是B的子集A集合與B集合相等四、小結事件A與事件B的差A與B兩集合的差集事件A與B互不相容A與B兩集合中沒有相同的元素事件A與事件B的和A集合與B集合的并集事件A與B的積事件

A集合與B集合的交集一.古典概型§1.4概率的古典定義１、定義如果一個隨機試驗E具有以下特征（1）、試驗的樣本空間中僅含有有限個樣本點；（2）、每個樣本點出現的可能性相同。則稱該隨機試驗為古典概型。

設試驗E的樣本空間由n個樣本點構成,A為E的任意一個事件,且包含

m個樣本點,則事件A出現的概率記為:2.古典概型中事件概率的計算公式稱此為概率的古典定義.

3.古典概型的基本模型:摸球模型(1)無放回地摸球問題1

設袋中有M個白球和

N個黑球,現從袋中無放回地依次摸出m+n個球,求所取球恰好含m個白球,n個黑球的概率?樣本點總數為A所包含的樣本點個數為解設A={所取球恰好含m個白球,n個黑球}(2)有放回地摸球問題2

設袋中有4只紅球和6只黑球,現從袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到紅球的概率.解第1次摸球10種第2次摸球10種第3次摸球10種6種第1次摸到黑球6種第2次摸到黑球4種第3次摸到紅球樣本點總數為A所包含樣本點的個數為4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量不限制問題1

把

4個球放到

3個杯子中去,求第1、2個杯子中各有兩個球的概率,其中假設每個杯子可放任意多個球.

4個球放到3個杯子的所有放法因此第1、2個杯子中各有兩個球的概率為(2)每個杯子只能放一個球問題2

把4個球放到10個杯子中去,每個杯子只能放一個球,求第1至第4個杯子各放一個球的概率.解第1至第4個杯子各放一個球的概率為解5、典型例題在N件產品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有于是所求的概率為解在N件產品中抽取n件的所有可能取法共有

例3（分房問題）有n個人，每個人都以同樣的概率1/N被分配在間房中的每一間中，試求下列各事件的概率：(1)某指定間房中各有一人

;(2)恰有間房，其中各有一人；

(3)某指定一間房中恰有人。

解先求樣本空間中所含樣本點的個數。首先，把n個人分到N間房中去共有種分法，其次，求每種情形下事件所含的樣本點個數。(b)恰有n間房中各有一人，所有可能的分法為

(a)某指定n間房中各有一人，所含樣本點的個數，即可能的的分法為：(c)某指定一間房中恰有m人，可能的分法為

進而我們可以得到三種情形下事件的概率，其分別為:（2）

（3）

(1)

把有限個樣本點推廣到無限個樣本點的場合,人們引入了幾何概型.由此形成了確定概率的另一方法

——幾何方法.概率的古典定義具有可計算性的優(yōu)點,但它也有明顯的局限性.要求樣本點有限,如果樣本空間中的樣本點有無限個,概率的古典定義就不適用了.二、幾何概型定義1定義2

當隨機試驗的樣本空間是某個區(qū)域,并且任意一點落在度量(長度,面積,體積)相同的子區(qū)域是等可能的,則事件A的概率可定義為說明當古典概型的試驗結果為連續(xù)無窮多個時,就歸結為幾何概率.那末兩人會面的充要條件為例1

甲、乙兩人相約在0到T這段時間內,在預定地點會面.先到的人等候另一個人,經過時間t(t<T)后離去.設每人在0到T這段時間內各時刻到達該地是等可能的,且兩人到達的時刻互不牽連.求甲、乙兩人能會面的概率.會面問題解故所求的概率為若以x,y

表示平面上點的坐標,則有§1.5概率加法定理(1)對于任意事件A,

對于前面討論的古典概型和幾何概型，我們容易得到下面兩個性質：證明：只要證明P(A+B)=P(A)+P(B)即可，這里根據古典概型來證明．設試驗的樣本空間Ω共有N個等可能的基本事件，事件A包含M1個基本事件，事件B包含M2個基本事件．由于事件A與B是互不相容的，因此A與B的并A+B所包含的基本事件共有M1+M2個．于是有

P(A+B)=(M1+M2)/N=M1/N+M2/N=P(A)+P(B)推論2對立事件的概率和等于一：證明證明由圖可得又由定理２

得因此得推廣三個事件和的情況n個事件和的情況解

ABAB（先從５雙中?。措p，再從每雙中任取一只）（先從５雙中取出１雙，在從剩下的８只鞋中取２只）例3

在1~2000的整數中隨機地取一個數,問取到的整數既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

設A為事件“取到的數能被6整除”,B為事件“取到的數能被8整除”則所求概率為解于是所求概率為例４

甲、乙兩人約定在下午1時到2時之間到某站乘公共汽車,又這段時間內有四班公共汽車它們的開車時刻分別為1:15、1:30、1:45、2:00.如果它們約定見車就乘;求甲、乙同乘一車的概率.假定甲、乙兩人到達車站的時刻是互相不牽連的,且每人在1時到2時的任何時刻到達車站是等可能的.見車就乘的概率為設x,y分別為甲、乙兩人到達的時刻,則有解概率的統(tǒng)計定義和古典定義都存在一定的缺點和局限性，有必要尋找概率的統(tǒng)一定義．經過長期的研究，到1933年,蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫在總結了前人研究成果基礎上，提出了概率論的公理化結構,給出了概率的嚴格定義,使概率論有了迅速的發(fā)展.§1.6概率的公理化體系概率的可列可加性二.概率的公理化定義證明由概率的可列可加性得三.概率的性質概率的有限可加性證明由概率的可列可加性得引例：投擲骰子，觀察點數，A表示“出現３點”，B表示“出現奇數點”，求P(A)及已知B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率P(A|B).解：P(A)=1/6,P(B)=1/2,P(AB)=1/6,P(A|B)=1/3,從而P(A)≠P(A|B),但

P(A|B)=P(AB)/P(B)§1.7條件概率與概率乘法定理定理１

ABAB證明：利用古典概型來證明．設樣本空間為Ω包含N個樣本點，A包含M1個樣本點,B包含M2個樣本點，A,B的交包含M個樣本點．則條件概率的性質例1

擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數之和不小于10”的概率是多少?解:解:設A={擲出點數之和不小于10}B={第一顆擲出6點}應用定義定理2乘法定理例2

一盒子裝有4只產品,其中有3只一等品,1只二等品.從中取產品兩次,每次任取一只,作不放回抽樣.設事件A為“第一次取到的是一等品”,事件B為“第二次取到的是一等品”,試求條件概P(B|A).解由條件概率的公式得例3

某種動物由出生算起活20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4,如果現在有一個20歲的這種動物,問它能活到25歲以上的概率是多少?

設A表示“能活20歲以上”的事件;B表示“能活25歲以上”的事件,則有解例4

五個鬮,其中兩個鬮內寫著“有”字,三個鬮內不寫字,五人依次抓取,問各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?解則有抓鬮是否與次序有關?

依此類推故抓鬮與次序無關.1.8全概率公式全概率公式1、全概率公式圖示證明化整為零各個擊破說明

全概率公式的主要用途在于它可以將一個復雜事件的概率計算問題,分解為若干個簡單事件的概率計算問題,最后應用概率的可加性求出最終結果.例1

有一批同一型號的產品,已知其中由一廠生產的占30%,二廠生產的占50%,三廠生產的占20%,又知這三個廠的產品次品率分別為2%,1%,1%,問從這批產品中任取一件是次品的概率是多少?設事件A為“任取一件為次品”,解由全概率公式得30%20%50%2%1%1%稱此為貝葉斯公式.

２.貝葉斯公式證明[證畢]例2解(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得上題中概率0.95是由以往的數據分析得到的,叫做先驗概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.97叫做后驗概率.先驗概率與后驗概率解例3由貝葉斯公式得所求概率為即平均1000個具有陽性反應的人中大約只有87人患有癌癥.1.條件概率全概率公式貝葉斯公式小結乘法定理§1.9隨機事件的獨立性(一)兩個事件的獨立性由條件概率，知一般地，這意味著：事件B的發(fā)生對事件A發(fā)生的概率有影響.然而，在有些情形下又會出現：則有1.引例2.定義注.1o說明

事件A與B相互獨立,是指事件A的發(fā)生與事件B發(fā)生的概率無關.2o獨立與互斥的關系這是兩個不同的概念.兩事件相互獨立兩事件互斥例如二者之間沒有必然聯系獨立是事件間的概率屬性互斥是事件間本身的關系11由此可見兩事件相互獨立但兩事件不互斥.兩事件相互獨立兩事件互斥.由此可見兩事件互斥但不獨立.又如：兩事件相互獨立.兩事件互斥可以證明：

特殊地，A與B

獨立

A與B

相容(不互斥)

或A與B

互斥

A與B

不獨立證若A與B獨立,則

即A與B

不互斥(相容).若A與B互斥，則AB=

B發(fā)生時，A一定不發(fā)生.這表明:B的發(fā)生會影響A發(fā)生的可能性(造成A不發(fā)生),即B的發(fā)生造成A發(fā)生的概率為零.所以A與B不獨立.理解:

BA3.性質(1)必然事件及不可能事件與任何事件A相互獨立.證∵A=A,P()=1∴P(A)=P(A)=1?P(A)=P()P(A)即與A獨立.∵

A=

,P(

)=0∴P(

A)=P(

)=0=P(

)P(A)即與A獨立.(2)若事件A與B相互獨立,則以下三對事件也相互獨立.①②③證①注

稱此為二事件的獨立性關于逆運算封閉.又∵