數(shù)字信號(hào)處理課后第三章習(xí)題答案

離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章教材第3章習(xí)題與上機(jī)題解答1．計(jì)算以下序列的N點(diǎn)DFT，在變換區(qū)間0≤n≤N－1內(nèi)，序列定義為x(n)=1x(n)=δ(n)x(n)=δ(n－n0)x(n)=Rm(n)0<n0<N0<m<N(5)(6)離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章x(n)=ejω0nRN(n)x(n)=sin(ω0n)RN(n)x(n)=cos(ω0n)RN(N)x(n)=nRN(n)解：(1)離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章（2）（3）(4)離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章(5)0≤k≤N－1離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章(6)離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章0≤k≤N－1(7)離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章或（8）解法一直接計(jì)算：離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章解法二

由DFT的共軛對(duì)稱性求解。因?yàn)樗运噪x散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章即結(jié)果與解法一所得結(jié)果相同。此題驗(yàn)證了共軛對(duì)稱性。(9)

解法一

直接計(jì)算:離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章解法二

由DFT共軛對(duì)稱性可得同樣結(jié)果。因?yàn)殡x散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章（10）解法一上式直接計(jì)算較難，可根據(jù)循環(huán)移位性質(zhì)來(lái)求解X(k)。因?yàn)閤(n)=nRN(n)，所以x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n)等式兩邊進(jìn)行DFT，得到NX(k)－X(k)Wk

+N=Nδ(k)離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章故當(dāng)k=0時(shí)，可直接計(jì)算得出X(0)為這樣，X(k)可寫(xiě)成如下形式：離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章解法二

k=0時(shí)，k≠0時(shí)，離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章所以，，即2．已知下列X(k)，求x(n)=IDFT［X(k)］(1)離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章(2)其中，m為正整數(shù)，0<m<N/2,N為變換區(qū)間長(zhǎng)度。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章解:（1）n=0,

1,

…,

N－1離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章(2)n=0,

1,

…,

N－1離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章3．已知長(zhǎng)度為N=10的兩個(gè)有限長(zhǎng)序列：≤

≤≤

≤≤

≤≤

≤做圖表示x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n)*

x2(n)，循環(huán)卷積區(qū)間長(zhǎng)度L=10。解:x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n)*

x2(n)分別如題3解圖（a）、（b）、（c）所示。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章題3解圖離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章4．證明DFT的對(duì)稱定理，即假設(shè)X(k)=DFT［x(n)］，證明DFT［X(n)］=Nx(N－k)證：因?yàn)樗噪x散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章由于≤≤所以DFT［X(n)］=Nx(N－k)

k=0,

1,

…,

N－15．如果X(k)=DFT［x(n)］，證明DFT的初值定理證:由IDFT定義式離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章可知6．設(shè)x(n)的長(zhǎng)度為N，且X(k)=DFT［x(n)］0≤k≤N－1令h(n)=x((n))NRmN(n)H(k)=DFT［h(n)］mN求H(k)與X(k)的關(guān)系式。m為自然數(shù)0≤k≤mN－1解:

H(k)=DFT［h(n)］

0≤k≤mN－1令n=n′+lN,l=0,1,…,m－1,n′=0,1,…,N－1,則離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章因?yàn)殡x散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章所以7．證明:若x(n)為實(shí)序列，X(k)=DFT［x(n)］N，則X(k)為共軛對(duì)稱序列，即X(k)=X*（N－k)；若x(n)實(shí)偶對(duì)稱，即x(n)=x(N－n)，則X(k)也實(shí)偶對(duì)稱；若x(n)實(shí)奇對(duì)稱，即x(n)=－x(N－n)，則X(k)為純虛函數(shù)并奇對(duì)稱。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章證:(1)由教材(3.2.17)~(3.2.20)式知道，如果將x(n)表示為x(n)=xr(n)+jxi(n)則X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)其中，Xep(k)=DFT［xr(n)］，是X(k)的共軛對(duì)稱分量；Xop(k)=DFT［jxi(n)］,是X(k)的共軛反對(duì)稱分量。所以，如果x(n)為實(shí)序列，則Xop(k)=DFT［jxi(n)］=0，故X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)，即X(k)=X*(N－k)。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章（2）由DFT的共軛對(duì)稱性可知，如果x(n)=xep(n)+xop(n)且X(k)=Re［X(k)］+j

Im［X(k)］則Re［X(k)］=DFT［xep(n)］, j

Im［X(k)］=DFT［xop(n)］所以，當(dāng)x(n)=x(N－n)時(shí)，等價(jià)于上式中xop(n)=0,x(n)中只有xep(n)成分，所以X(k)只有實(shí)部，即X(k)為實(shí)函數(shù)。又由（1）證明結(jié)果知道，實(shí)序列的DFT必然為共軛對(duì)稱函數(shù)，即

X(k)=X*(N－k)=X(N－k)，所以X(k)實(shí)偶對(duì)稱。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章同理，當(dāng)x(n)=－x(N－n)時(shí)，等價(jià)于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0），故X(k)只有純虛部，且由于x(n)為實(shí)序列，即X(k)共軛對(duì)稱，X(k)=X*(N－k)=－X(N－k),

為純虛奇函數(shù)。

8．

證明頻域循環(huán)移位性質(zhì)：

設(shè)X(k)=DFT［x(n)］，Y(k)=DFT［y(n)］，如果Y(k)=X((k+l))NRN(k)，則離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章證：離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章令m=k+l,則9．已知x(n)長(zhǎng)度為N，X(k)=DFT［x(n)］，≤≤≤≤離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章≤≤求Y(k)與X(k)的關(guān)系式。解:離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章10．證明離散相關(guān)定理。若X(k)=X

*

(k)Ｘ

(k)1

2則證：根據(jù)DFT的惟一性，只要證明即可。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章令m=l+n，則所以≤≤離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章當(dāng)然也可以直接計(jì)算X(k)=X1

*(k)X2(k)的IDFT。0≤n≤N－1離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章由于0≤n≤N－1所以離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章11．證明離散帕塞瓦爾定理。若X(k)=DFT［x(n)］，則證：離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章12．已知f(n)=x(n)+jy(n)，x(n)與y(n)均為長(zhǎng)度為N的實(shí)序列。設(shè)F(k)=DFT［f(n)］N

0≤k≤N－1(1)(2)

F(k)=1+jN試求X(k)=DFT［x(n)］N，Y(k)=DFT［y(n)］N以及x(n)和y(n)。解:由DFT的共軛對(duì)稱性可知x(n)jy(n)X(k)=Fep(k)jY(k)=Fop(k)離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章方法一

（1）離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章0≤n≤N－1由于0≤n,

m≤N－1離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章所以x(n)=an0≤n≤N－1同理y(n)=bnF(k)=1+jN0≤n≤N－1（2），離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章方法二

令只要證明A(k)為共軛對(duì)稱的，B(k)為共軛反對(duì)稱，則就會(huì)有A(k)=Fep(k)=X(k),

B(k)=Fop(k)=jY(k)因?yàn)?，共軛?duì)稱離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章，共軛反對(duì)稱所以離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章由方法一知x(n)=IDFT［X(k)］=anRN(n)y(n)=IDFT［Y(k)］=bnRN(n)13．已知序列x(n)=anu(n)，0<a<1,對(duì)x(n)的Z變換X(z)在單位圓上等間隔采樣N點(diǎn)，采樣序列為求有限長(zhǎng)序列IDFT［X(k)］N。解:

我們知道，,是以2π為周期的周期函數(shù)，所以離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章①以N為周期，將看作一周期序列的DFS系數(shù)，則②由式①知為③離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章將式③代入式②得到由于所以離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章由題意知所以根據(jù)有關(guān)X(k)與xN(n)的周期延拓序列的DFS系數(shù)的關(guān)系有離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章由于0≤n≤N－1，所以≥≥因此說(shuō)明：平時(shí)解題時(shí)，本題推導(dǎo)離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章的過(guò)程可省去，直接引用頻域采樣理論給出的結(jié)論（教材中式（3.3.2）和(3.3.3)）即可。14．兩個(gè)有限長(zhǎng)序列x(n)和y(n)的零值區(qū)間為x(n)=0y(n)=0n<0,

8≤nn<0,

20≤n對(duì)每個(gè)序列作20點(diǎn)DFT，即X(k)=DFT［x(n)］Y(k)=DFT［y(n)］k=0,

1,

…,

19k=0,

1,

…,

19試問(wèn)在哪些點(diǎn)上f(n)與x(n)*y(n)值相等,為什么？離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章解:如前所述，記fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFT［F(k)］=x(n)20

y(n)。

fl(n)長(zhǎng)度為27，f(n)長(zhǎng)度為20。由教材中式（3.4.3）知道f(n)與fl(n)的關(guān)系為只有在如上周期延拓序列中無(wú)混疊的點(diǎn)上，才滿足f(n)=fl(n),所以f(n)=fl(n)=x(n)*y(n)

7≤n≤19離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章15．已知實(shí)序列x(n)的8點(diǎn)DFT的前5個(gè)值為0.25,0.125-j0.3018,0,0.125-j0.0518,0。（1）求X(k)的其余3點(diǎn)的值；（2）求X1(k)=DFT［x1(n)］8；（3），求。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章解：（1）因?yàn)閤(n)是實(shí)序列，由第7題證明結(jié)果有X(k)=X*(N－k)，即X(N－k)=X*(k),所以，X（k）的其余3點(diǎn)值為{X(5),

X(6),

X(7)}={0.125+j0.0518,

0,

0.125+j0.3018（2）根據(jù)DFT的時(shí)域循環(huán)移位性質(zhì)，(3)離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章16．x(n)、x1(n)和x2(n)分別如題16圖(a)、(b)和(c)所示，已知X(k)=DFT［x(n)］8。求和［注:用X(k)表示X1(k)和X2(k)。］解：因?yàn)閤1(n)=x((n+3))8R8(n),x2(n)=x((n－2))8R8(n)，所以根據(jù)DFT的時(shí)域循環(huán)移位性質(zhì)得到離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章17．設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為N的因果序列，且試確定Y(k)與X(ejω)的關(guān)系式。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章解：y(n)是x(n)以M為周期的周期延拓序列的主值序列，根據(jù)頻域采樣理論得到18．用微處理機(jī)對(duì)實(shí)數(shù)序列作譜分析，要求譜分辨率F≤50

Hz，信號(hào)最高頻率為1

kHz，試確定以下各參數(shù)：最小記錄時(shí)間Tp

min；最大取樣間隔Tmax；最少采樣點(diǎn)數(shù)Nmin；在頻帶寬度不變的情況下，使頻率分辨率提高1倍（即F縮小一半）的N值。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章解:（1）已知F=50

Hz，因而（2）（3）離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章（4）頻帶寬度不變就意味著采樣間隔T不變，應(yīng)該使記錄時(shí)間擴(kuò)大1倍，即為0.04

s，實(shí)現(xiàn)頻率分辨率提高1倍（F變?yōu)樵瓉?lái)的1/2）。19．已知調(diào)幅信號(hào)的載波頻率fc=1

kHz，調(diào)制信號(hào)頻率fm=100

Hz，用

FFT對(duì)其進(jìn)行譜分析，試求：最小記錄時(shí)間Tp

min;最低采樣頻率fs

min;最少采樣點(diǎn)數(shù)Nmin。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章解：調(diào)制信號(hào)為單一頻率正弦波時(shí)，已調(diào)AM信號(hào)為x(t)=cos(2πfct+jc)［1+cos(2πfmt+jm)］所以，已調(diào)AM信號(hào)x(t)只有3個(gè)頻率：fc、fc+fm、fc－fm。x(t)的最高頻率fmax=1.1

kHz，頻率分辨率F≤100

Hz（對(duì)本題所給單頻AM調(diào)制信號(hào)應(yīng)滿足100/F=整數(shù)，以便能采樣到這三個(gè)頻率成分）。故(1)(2)離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章(3)（注意，對(duì)窄帶已調(diào)信號(hào)可以采用亞奈奎斯特采樣速率采樣，壓縮碼率。而在本題的解答中，我們僅按基帶信號(hào)的采樣定理來(lái)求解。）20．在下列說(shuō)法中選擇正確的結(jié)論。線性調(diào)頻Z變換可以用來(lái)計(jì)算一個(gè)有限長(zhǎng)序列h(n)在z平面實(shí)軸上諸點(diǎn){zk}的Z變換H(zk)，使離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章zk=ak,

k=0,

1,

…,

N－1,

a為實(shí)數(shù)，

a≠1;zk=ak,k=0,1,…,N－1,a為實(shí)數(shù)，a≠1;(1)和(2)都不行，即線性調(diào)頻Z變換不能計(jì)算H(z)在z平面實(shí)軸上的取樣值。解：在chirp-Z變換中，在z平面上分析的N點(diǎn)為zk=AW－k

k=0,

1,

…,

N－1其中所以當(dāng)A0=1,ω0=0,W0=a－1,j=0時(shí)，zk=ak故說(shuō)法（1）正確,說(shuō)法（2）、（3）不正確。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章21．我們希望利用h(n)長(zhǎng)度為N=50的FIR濾波器對(duì)一段很長(zhǎng)的數(shù)據(jù)序列進(jìn)

行濾波處理，要求采用重疊保留法通過(guò)DFT(即FFT)來(lái)實(shí)現(xiàn)。所謂重疊保留法，就是對(duì)輸入序列進(jìn)行分段(本題設(shè)每段長(zhǎng)度為M=100個(gè)采樣點(diǎn))，但相鄰兩段必須重疊V個(gè)點(diǎn)，然后計(jì)算各段與h(n)的L點(diǎn)(本題取L=128)循環(huán)卷積，得到輸出序列

ym(n)，m表示第m段循環(huán)卷積計(jì)算輸出。最后，從ym(n)中選取B個(gè)樣值，使每段選取的B個(gè)樣值連接得到濾波輸出y(n)。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章求V；求B；確定取出的B個(gè)采樣應(yīng)為ym(n)中的哪些樣點(diǎn)。解:

為了便于敘述，

規(guī)定循環(huán)卷積的輸出序列ym(n)的序列標(biāo)號(hào)為n=0,

1,2,

…,

127。先以h(n)與各段輸入的線性卷積ylm(n)分析問(wèn)題，因?yàn)楫?dāng)h(n)的50個(gè)樣值點(diǎn)完全與第m段輸入序列xm(n)重疊后，ylm(n)才與真正的濾波輸出y(n)相等，所以，ylm(n)中第0點(diǎn)到第48點(diǎn)（共49個(gè)點(diǎn)）不正確，不能作為濾波輸出，第49點(diǎn)到第99點(diǎn)（共51個(gè)點(diǎn)）為正確的濾波輸出序列y(n)的第m段，即B=51。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章所以，為了去除前面49個(gè)不正確點(diǎn)，取出51個(gè)正確的點(diǎn)連接,得到不間斷又無(wú)多余點(diǎn)的y(n)，必須重疊100－51=49個(gè)點(diǎn)，即V=49。下面說(shuō)明，對(duì)128點(diǎn)的循環(huán)卷積ym(n)，上述結(jié)果也是正確的。我們知道因?yàn)閥lm(n)長(zhǎng)度為N+M－1=50+100－1=149離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章所以n從21到127區(qū)域無(wú)時(shí)域混疊，ym(n)=ylm(n)，當(dāng)然，第49點(diǎn)到第99點(diǎn)二者亦相等，所以，所取出的51點(diǎn)為從第49點(diǎn)到第99點(diǎn)的ym(n)。綜上所述，總結(jié)所得結(jié)論：V=49,

B=51選取ym(n)中第49～99點(diǎn)作為濾波輸出。讀者可以通過(guò)作圖來(lái)理解重疊保留法的原理和本題的解答。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章22．證明DFT的頻域循環(huán)卷積定理。證：DFT的頻域循環(huán)卷積定理重寫(xiě)如下:設(shè)h(n)和x(n)的長(zhǎng)度分別為N和M，ym(n)=h(n)x(n)H(k)=DFT［h(n)］L,

X(k)=DFT［X(n)］L則L

X(k)其中，L≥max［N，M］。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法第３章(FFT)根據(jù)DFT的惟一性，只要證明ym(n)=IDFT［Ym(k)］=h(n)x(n)，就證明了DFT的頻域循環(huán)卷積定理。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章教材第4章習(xí)題與上機(jī)題解答快速傅里葉變換（FFT）是DFT的快速算法，沒(méi)有新的物理概念。FFT的

基本思想和方法教材中都有詳細(xì)的敘述，所以只給出教材第4章的習(xí)題與上機(jī)題解答。1．如果某通用單片計(jì)算機(jī)的速度為平均每次復(fù)數(shù)乘需要4μs，每次復(fù)數(shù)加需要1

μs，用來(lái)計(jì)算N=1024點(diǎn)DFT，問(wèn)直接計(jì)算需要多少時(shí)間。用FFT計(jì)

算呢？照這樣計(jì)算，用FFT進(jìn)行快速卷積對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理時(shí)，估計(jì)可實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理的信號(hào)最高頻率。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章解:當(dāng)N=1024=210時(shí)，直接計(jì)算DFT的復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算次數(shù)為N2=1024×1024=1

048

576次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算次數(shù)為N（N－1）=1024×1023=1

047

552次直接計(jì)算所用計(jì)算時(shí)間TD為TD=4×10－6×10242+1

047

552×10－6=5.241

856

s用FFT計(jì)算1024點(diǎn)DFT所需計(jì)算時(shí)間TF為離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章快速卷積時(shí)，需要計(jì)算一次N點(diǎn)FFT（考慮到H(k)=DFT［h(n)］已計(jì)算好存入內(nèi)存）、N次頻域復(fù)數(shù)乘法和一次N點(diǎn)IFFT。所以，計(jì)算1024點(diǎn)快速卷積的計(jì)算時(shí)間Tc約為離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章所以，每秒鐘處理的采樣點(diǎn)數(shù)（即采樣速率）由采樣定理知，可實(shí)時(shí)處理的信號(hào)最高頻率為離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章應(yīng)當(dāng)說(shuō)明，實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)，fmax還要小一些。這是由于實(shí)際中要求采樣頻率高于奈奎斯特速率，而且在采用重疊相加法時(shí)，重疊部分要計(jì)算兩次。重疊部分長(zhǎng)度與h(n)長(zhǎng)度有關(guān)，而且還有存取數(shù)據(jù)和指令周期等消耗的時(shí)間。2．如果將通用單片機(jī)換成數(shù)字信號(hào)處理專用單片機(jī)TMS320系列，計(jì)算復(fù)數(shù)乘和復(fù)數(shù)加各需要10

ns。請(qǐng)重復(fù)做上題。解:與第1題同理。直接計(jì)算1024點(diǎn)DFT所需計(jì)算時(shí)間TD為TD=10×10－9×10242+10×10－9×1

047

552=20.961

28

ms離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章用FFT計(jì)算1024點(diǎn)DFT所需計(jì)算時(shí)間TF為快速卷積計(jì)算時(shí)間Tc約為離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章可實(shí)時(shí)處理的信號(hào)最高頻率fmax為≤··由此可見(jiàn)，用DSP專用單片機(jī)可大大提高信號(hào)處理速度。所以，DSP在數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。機(jī)器周期小于1

ns的DSP產(chǎn)品已上市，其處理速度更高。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章3．已知X(k)和Y(k)是兩個(gè)N點(diǎn)實(shí)序列x(n)和y(n)的DFT，希望從X(k)和Y(k)求x(n)和y(n)，為提高運(yùn)算效率，試設(shè)計(jì)用一次N點(diǎn)IFFT來(lái)完成的算法。解:因?yàn)閤(n)和y(n)均為實(shí)序列，所以，X(k)和Y(n)為共軛對(duì)稱序列，jY(k)為共軛反對(duì)稱序列?？闪頧(k)和jY(k)分

別作為復(fù)序列F(k)的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量，即F(k)=X(k)+jY(k)=Fep(k)+Fop(k)計(jì)算一次N點(diǎn)IFFT得到f(n)=IFFT［F(k)］=Re［f(n)］+j

Im［f(n)］離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章由DFT的共軛對(duì)稱性可知Re［f(n)］=IDFT［Fep(k)］=IDFT［X(k)］=x(n)j

Im［f(n)］=IDFT［Fop(k)］=IDFT［jY(k)］=jy(n)故4．設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為2N的有限長(zhǎng)實(shí)序列，X(k)為x(n)的2N點(diǎn)DFT。試設(shè)計(jì)用一次N點(diǎn)FFT完成計(jì)算X(k)的高效算法。若已知X(k)，試設(shè)計(jì)用一次N點(diǎn)IFFT實(shí)現(xiàn)求X(k)的2N點(diǎn)IDFT運(yùn)算。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章解:本題的解題思路就是DIT-FFT思想。（1）在時(shí)域分別抽取偶數(shù)和奇數(shù)點(diǎn)x(n)，得到兩個(gè)N點(diǎn)實(shí)序列x1(n)和x2(n)：x1(n)=x(2n)x2(n)=x(2n+1)n=0,

1,

…,

N－1n=0,

1,

…,

N－1根據(jù)DIT-FFT的思想，只要求得x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT，再經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的一級(jí)蝶形運(yùn)算就可得到x(n)的2N點(diǎn)DFT。因?yàn)?/p>

x1(n)和x2(n)均為實(shí)序列，所以根據(jù)DFT的共軛對(duì)稱性，可用一次N點(diǎn)FFT求得X1(k)和X2(k)。具體方法如下：離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章令y(n)=x1(n)+jx2(n)Y(k)=DFT［y(n)］k=0,

1,

…,

N－1則2N點(diǎn)DFT［x（n）］=X（k）可由X1(k)和X2(k)得到離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法第３章(FFT)這樣，通過(guò)一次N點(diǎn)IFFT計(jì)算就完成了計(jì)算2N點(diǎn)DFT。當(dāng)然還要進(jìn)行由Y(k)求X1(k)、X2(k)和X(k)的運(yùn)算(運(yùn)算量相對(duì)很少)。（2）與（1）相同，設(shè)x1(n)=x(2n)x2(n)=x(2n+1)n=0,

1,

…,

N－1n=0,

1,

…,

N－1k=0,

1,

…,

N－1k=0,

1,

…,

N－1X1(k)=DFT［x1(n)］X2(k)=DFT［x2(n)］則應(yīng)滿足關(guān)系式離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章由上式可解出由以上分析可得出運(yùn)算過(guò)程如下：①由X(k)計(jì)算出X1(k)和X2(k):離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章②由X1(k)和X2(k)構(gòu)成N點(diǎn)頻域序列Y(k):Y(k)=X1(k)+jX2(k)=Yep(k)+Yop(k)其中，Yep(k)=X1(k),Yop(k)=jX2(k)，進(jìn)行N點(diǎn)IFFT，得到

y(n)=IFFT［Y(k)］=Re［y(n)］+j

Im［y(n)］n=0,1,…,N－1由DFT的共軛對(duì)稱性知離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章③由x1(n)和x2(n)合成x(n):，0≤n≤2N－1在編程序?qū)崿F(xiàn)時(shí)，只要將存放x1(n)和x2(n)的兩個(gè)數(shù)組的元素分別依次放入存放x(n)的數(shù)組的偶數(shù)和奇數(shù)數(shù)組元素中即可。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法

(FFT)第３章5．分別畫(huà)出16點(diǎn)基2DIT-FFT和DIF-FFT運(yùn)算流圖，并計(jì)算其復(fù)數(shù)乘次數(shù)，

如果考慮三類碟形的乘法計(jì)算，

試計(jì)算復(fù)乘次數(shù)。解：本題比較簡(jiǎn)單，仿照教材中的8點(diǎn)基2DIT-FFT和DIF-FFT運(yùn)算流圖很容易畫(huà)出16點(diǎn)基2DIT-FFT和DIF-FFT運(yùn)算流圖。但畫(huà)圖占篇幅較大，這里省略本題解答，請(qǐng)讀者自己完成。第

4

章

時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)教材第5章習(xí)題與上機(jī)題解答1.已知系統(tǒng)用下面差分方程描述:試分別畫(huà)出系統(tǒng)的直接型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。式中x(n)和y(n)分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)。第

4

章

時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)解：將原式移項(xiàng)得將上式進(jìn)行Z變換，得到第

4

章

時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)(1)按照系統(tǒng)函數(shù)H(z)，根據(jù)Masson公式，畫(huà)出直接型結(jié)構(gòu)如題1解圖（一）所示。題1解圖（一）第

4

章

時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)(2)將H(z)的分母進(jìn)行因式分解：按照上式可以有兩種級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu):①第

4

章

時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)畫(huà)出級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（二）（a)所示。②畫(huà)出級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（二）（b)所示。第

4

章

時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)題1解圖（二）第

4

章

時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)(3)

將H(z)進(jìn)行部分分式展開(kāi)：第

4

章

時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第

4

章

時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)根據(jù)上式畫(huà)出并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（三）所示。題1解圖（三）第

4

章

時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)2．設(shè)數(shù)字濾波器的差分方程為試畫(huà)出系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)。解：由差分方程得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為畫(huà)出其直接型結(jié)構(gòu)如題2解圖所示。第

4

章

時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)題2解圖無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章第6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)習(xí)題解答1．設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯低通濾波器，要求通帶截止頻率fp=6

kHz，通帶最大衰減ap=3

dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減as=25

dB。求出濾

波器歸一化系統(tǒng)函數(shù)G(p)以及實(shí)際濾波器的Ha(s)。解:（1）求階數(shù)N。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章將ksp和λsp值代入N的計(jì)算公式,得所以取N=5（實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)具體要求，也可能取N=4，指標(biāo)稍微差一點(diǎn)，但階數(shù)低一階，使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)電路得到簡(jiǎn)化）。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章（2）求歸一化系統(tǒng)函數(shù)G(p)。由階數(shù)N=5直接查教材第157頁(yè)表6.2.1,得到五階巴特沃斯歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)G(p)為或當(dāng)然，也可以先按教材（6.2.13）式計(jì)算出極點(diǎn)：無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章再由教材（6.2.12）式寫(xiě)出G(p)表達(dá)式為最后代入pk值并進(jìn)行分母展開(kāi)，便可得到與查表相同的結(jié)果。（3）去歸一化（即LP-LP頻率變換），由歸一化系統(tǒng)函數(shù)G(p)得到實(shí)際濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章由于本題中ap=3

dB，即Ωc=Ωp=2π×6×103

rad/s，因此對(duì)分母因式形式，則有無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章如上結(jié)果中，Ωc的值未代入相乘，這樣使讀者能清楚地看到去歸一化后，3

dB截止頻率對(duì)歸一化系統(tǒng)函數(shù)的改變作用。2．設(shè)計(jì)一個(gè)切比雪夫低通濾波器，要求通帶截止頻率

fp=3

kHz，通帶最大衰減αp=0.2

dB，阻帶截止頻率fs=12

kHz,阻帶最小衰減αs=50

dB。求出濾波器歸一化系統(tǒng)函數(shù)G(p)和實(shí)際的Ha(s)。解:（1）確定濾波器技術(shù)指標(biāo)。αp=0.2

dB,

Ωp=2πfp=6π×103

rad/sαs=50

dB,

Ωs=2πfs=24π×103

rad/sλp=1,無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章(4)求階數(shù)N和ε。為了滿足指標(biāo)要求，取N=4。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章(3)求歸一化系統(tǒng)函數(shù)G(p)其中，極點(diǎn)pk由教材（6.2.46）式求出如下：無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章(4)將G(p)去歸一化，求得實(shí)際濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)：其中，sk=Ωppk=6π×103pk,k=1,2,3,4。因?yàn)閜4=p

*,p3=p

*,所以，s4=s

*,1

2

12s3=s

*。將兩對(duì)共軛極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的因子相乘，得到分母為二階因子的形式，其系數(shù)全為實(shí)數(shù)。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章也可得到分母多項(xiàng)式形式，請(qǐng)讀者自己計(jì)算。3．設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯高通濾波器，要求其通帶截止頻率fp=20

kHz，阻帶截止頻率fs=10

kHz，fp處最大衰減為3

dB，阻帶最小衰減as=15

dB。求出該高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章解:(1)確定高通濾波器技術(shù)指標(biāo)要求：p=20

kHz,fs=10

kHz,ap=3

dBas=15

dB(2)求相應(yīng)的歸一化低通濾波器技術(shù)指標(biāo)要求：套用圖5.1.5中高通到低通頻率轉(zhuǎn)換公式②，λp=1,λs=Ωp/Ωs，得到λp=1,

ap=3

dBas=15

dB無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章(3)設(shè)計(jì)相應(yīng)的歸一化低通G(p)。題目要求采用巴特沃斯類型，故無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章所以，取N=3，查教材中表6.2.1，得到三階巴特沃斯歸一化低通G(p)為(4)頻率變換。將G(p)變換成實(shí)際高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(s)：式中Ωc=2πfc=2π×20×103=4π×104

rad/s無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章4.已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)如下：(1)(2)式中a、b為常數(shù)，設(shè)Ha(s)因果穩(wěn)定，試采用脈沖響應(yīng)不變法將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章解:該題所給Ha(s)正是模擬濾波器二階基本節(jié)的兩種典型形式。所以，求解該題具有代表性，解該題的過(guò)程，就是導(dǎo)出這兩種典型形式的Ha(s)的脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換公式。設(shè)采樣周期為T。(1)Ha(s)的極點(diǎn)為s1=－a+jb,

s2=－a－jb將Ha(s)部分分式展開(kāi)（用待定系數(shù)法）：無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章比較分子各項(xiàng)系數(shù)可知，A1、A2應(yīng)滿足方程：無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章解之得，A1=1/2，A2=1/2，所以套用教材（6.3.4）式，得到按照題目要求，上面的H(z)表達(dá)式就可作為該題的答案。但在工程實(shí)際中，一般用無(wú)復(fù)數(shù)乘法器的二階基本節(jié)結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)。由于兩個(gè)極點(diǎn)共軛對(duì)稱，所以將H(z)的兩項(xiàng)通分并化簡(jiǎn)整理，可得無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章這樣，如果遇到將用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器時(shí)，直接套用上面的公式即可，且對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)圖中無(wú)復(fù)數(shù)乘法器，便于工程實(shí)際中實(shí)現(xiàn)。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章(2)Ha(s)的極點(diǎn)為s1=－a+jb,將Ha(s)部分分式展開(kāi)：s2=－a－jb無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章套用教材（6.3.4）式，得到通分并化簡(jiǎn)整理，得到無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章5．已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如下：(1)(2)試采用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。設(shè)T=2

s。解:Ⅰ.用脈沖響應(yīng)不變法(1)無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章方法一

直接按脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)公式，

Ha(s)的極點(diǎn)為無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章將T=2代入上式，得方法二

直接套用4題（2）所得公式。

為了套用公式，先對(duì)Ha(s)的分母配方，

將Ha(s)化成4題中的標(biāo)準(zhǔn)形式：無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章c為一常數(shù)由于所以無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章對(duì)比可知，，套用公式，得(2)無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章或通分合并兩項(xiàng)得無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章Ⅱ．用雙線性變換法（1）無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章(2)無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章6．設(shè)ha(t)表示一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，即≥用脈沖響應(yīng)不變法，將此模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器（用h(n)表示單位脈沖響應(yīng)，即h(n)=ha(nT)）。確定系統(tǒng)函數(shù)H(z)，并把T作為參數(shù)，證明：T為任何值時(shí)，數(shù)字濾波器是穩(wěn)定的，并說(shuō)明數(shù)字濾波器近似為低通濾波器還是高通濾波器。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章解:模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)為Ha(s)的極點(diǎn)s1=－0.9，故數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)應(yīng)為H(z)的極點(diǎn)為z1=e－0.9T,|z1|=e－0.9T無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章題6解圖所以，T>0時(shí)，|z1|<1，H(z)滿足因果穩(wěn)定條件。對(duì)T=1和T=0.5，畫(huà)出H(ejω)曲線如題6解圖實(shí)線和虛線所示。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章由圖可見(jiàn)，

該數(shù)字濾波器近似為低通濾波器。

且T越小，

濾波器頻率混疊越小，

濾波特性越好（即選擇性越好）。

反之，T越大，

極點(diǎn)

離單位圓越遠(yuǎn)，

選擇性越差，

而且頻率混疊越嚴(yán)重，

ω=π附近衰減越小，

使數(shù)字濾波器頻響特性不能模擬原模擬濾波器的頻響特性。7．假設(shè)某模擬濾波器Ha(s)是一個(gè)低通濾波器，又知，數(shù)字濾波器H(z)的通帶中心位于下面哪種情況？并說(shuō)明原因。（1）

ω=0（低通）。ω=π（高通）。除0或π以外的某一頻率（帶通）。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章解：方法一按題意可寫(xiě)出故即原模擬低通濾波器以Ω=0為通帶中心，由上式可知，Ω=0時(shí)，對(duì)應(yīng)于ω=π，故答案為(2)。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章方法二

找出對(duì)應(yīng)于Ω=0的數(shù)字頻率ω的對(duì)應(yīng)值即可。令z=1，

對(duì)應(yīng)于ejω=1，

應(yīng)有ω=0，

則對(duì)應(yīng)的不是模擬低通中心頻率，所以，答案（1）即ω=0（低通）不對(duì)。令z=－1，對(duì)應(yīng)于ejω=－1，應(yīng)有ω=π，則即將Ω=0映射到ω=π處，所以答案為(2)。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章方法三

直接根據(jù)雙線性變換法設(shè)計(jì)公式及模擬濾波器由低通到高通頻率變換公式求解。

雙線性變換設(shè)計(jì)公式為當(dāng)T=2時(shí)，則H(z)亦為低通。如果將Ha(s)變換為高通濾波器：，這時(shí)，如果Ha(s)為低通，無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章則可將Hah(s)用雙線性變換法變成數(shù)字高通；這正是題中所給變換關(guān)系，所以數(shù)字濾波器

通帶中心位于ω=π，故答案（2）正確。8．題8圖是由RC組成的模擬濾波器，寫(xiě)出其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，并選用一種合適的轉(zhuǎn)換方法，將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)，最后畫(huà)出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章題8圖無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章解:模擬RC濾波網(wǎng)絡(luò)的頻率響應(yīng)函數(shù)為顯然，Ha(jΩ)具有高通特性，用脈沖響應(yīng)不變法必然會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的頻率混疊失真。所以應(yīng)選用雙線性變換法。將Ha(jΩ)中的jΩ用s代替，可得到RC濾波網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)：無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章用雙線性變換法設(shè)計(jì)公式,可得H(z)的結(jié)構(gòu)圖如題8解圖所示。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章題8解圖無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章由圖可見(jiàn)，在模擬域由一個(gè)R和一個(gè)C組成的RC濾波網(wǎng)絡(luò)，用雙線性變換法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器后，用兩個(gè)乘法器、兩個(gè)加法器和一個(gè)單位延遲器實(shí)現(xiàn)其數(shù)字濾波功能。也可用軟件實(shí)現(xiàn)該數(shù)字濾波功能。由濾波器差分方程編寫(xiě)程序較容易。為此，由H(z)求出差分方程。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章編程序?qū)崿F(xiàn)差分方程中的計(jì)算，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信號(hào)序列x(n)的高通濾波。9．設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求通帶內(nèi)頻率低于0.2π

rad時(shí)，容許幅度誤差在1

dB之內(nèi)；頻率在0.3π到π之間的阻帶衰減大于10

dB。試采用巴特沃斯型模擬濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)，用脈沖響應(yīng)不變法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，采樣間隔T=1

ms。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章解:本題要求用巴特沃斯型模擬濾波器設(shè)計(jì)，所以，由巴特沃斯濾波器的單調(diào)下降特性，數(shù)字濾波器指標(biāo)描述如下：ωp=0.2

π

rad,

αp=1

dBωs=0.3

π

rad,

αs=10

dB采用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，所以，相應(yīng)的模擬低通巴特沃斯濾波器指標(biāo)為無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章(1)求濾波器階數(shù)N及歸一化系統(tǒng)函數(shù)G(p)：無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章取N=5。查教材6.1節(jié)的表6.2.1(第157頁(yè))，可知模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的歸一化低通原型為將G(p)部分分式展開(kāi)：無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章其中，系數(shù)為A0=－0.1382+j0.4253,

A1=－0.8091－j1.1135,

A2=1.8947A3=－0.8091+j1.1135,

A4=－0.1382－j0.4253(2)去歸一化求得相應(yīng)的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。我們希望阻帶指標(biāo)剛好，讓通帶指標(biāo)留有富裕量，所以按教材（6.2.20）式求3

dB截止頻率Ωc為無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章其中,Bk=ΩcAk,sk=Ωcpk。(3)用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z):我們知道，脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是存在的頻率混疊失真，使設(shè)計(jì)的濾波器阻帶指標(biāo)變差。另外，由該題的設(shè)計(jì)過(guò)程可見(jiàn)。當(dāng)N較大時(shí)，部分分式展開(kāi)求解系數(shù)Ak或Bk相當(dāng)困難，所以實(shí)際工作中用得很少，主要采用雙線性變換法設(shè)計(jì)，見(jiàn)第10題。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章10．要求同題9，試采用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。解:已知條件如下：數(shù)字濾波器指標(biāo)：ωp=0.2π

rad,ωs=0.3π

rad,αp=1

dBαs=10

dB采用雙線性變換法，所以要進(jìn)行預(yù)畸變校正，確定相應(yīng)的模擬濾波器指標(biāo)（為了計(jì)算方便，取T=1

s）：無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章(1)求相應(yīng)模擬濾波器階數(shù)N：其中，ksp與題9相同（因?yàn)棣羛、αs相同），即無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章(2)查教材表6.2.1，得(3)去歸一化，求出Ha(s)：無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章(4)用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)：請(qǐng)讀者按T=1

ms進(jìn)行設(shè)計(jì)，比較設(shè)計(jì)結(jié)果。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章11．設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率ωp=0.8π

rad，通帶衰減不大于3

dB，阻帶截止頻率ωs=0.5π

rad，阻帶衰減不小于18

dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。解:（1）確定數(shù)字高通濾波器技術(shù)指標(biāo)：ωp=0.8π

rad,

αp=3

dBωs=0.5π

rad,

αs=18

dB（2）確定相應(yīng)模擬高通濾波器技術(shù)指標(biāo)。由于設(shè)計(jì)的是高通數(shù)字濾波器，所以應(yīng)選用雙線性變換法，因此進(jìn)行預(yù)畸變校正求模擬高通邊界頻率（假定采樣間隔T=2

s）：無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章(3)將高通濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成歸一化模擬低通指標(biāo)。套用圖5.1.5中高通到低通頻率轉(zhuǎn)換公式②,λp=1,λs=Ωp/Ωs，得到低通歸一化邊界頻率為（本題Ωp=Ωc）λp=1,

αp=3

dB無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章(4)設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)：查教材表6.2.1，得歸一化低通G(p)為無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章(5)頻率變換，求模擬高通Ha(s)：(6)用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)：無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章12．設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶通濾波器，通帶范圍為0.25

π

rad到0.45π

rad，通帶內(nèi)最大衰減為3

dB，0.15

π

rad以下和0.55

π

rad以上為阻帶，阻帶內(nèi)最小衰減為15

dB。要求采用巴特沃斯型模擬低通濾波器。解:（1）確定數(shù)字帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)：ωpl=0.25π

rad,ωpu=0.45π

radωsl=0.15π

rad,ωsu=0.55π

rad通帶內(nèi)最大衰減αp=3

dB，阻帶內(nèi)最小衰減αs=15

dB。(2)采用雙線性變換法，確定相應(yīng)模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)。為計(jì)算簡(jiǎn)單，設(shè)T=2

s。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章通帶中心頻率通帶寬度BW=Ωpu－Ωpl=0.4399

rad/sΩplΩpu=0.8541×0.4142=0.3538,ΩslΩsu=0.2401×1.1708=0.2811因?yàn)棣竝lΩpu>ΩslΩsu，所以不滿足教材（6.2.56）式。按照教材（6.2.57）式,增大Ωsl，則無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章采用修正后的

設(shè)計(jì)巴特沃斯模擬帶通濾波器。(3)將帶通指標(biāo)轉(zhuǎn)換成歸一化低通指標(biāo)。套用圖5.1.5中帶通到低通頻率轉(zhuǎn)換公式③，求歸一化低通邊界頻率：無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章(4)設(shè)計(jì)模擬歸一化低通G(p)：取N=3。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章查教材表6.2.1，得到歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)G(p)：(5)頻率變換，將G(p)轉(zhuǎn)換成模擬帶通Ha(s)：無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章(6)用雙線性變換公式將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)：以上繁雜的設(shè)計(jì)過(guò)程和計(jì)算，可以用下面幾行程序ex612.m實(shí)現(xiàn)。程序運(yùn)行結(jié)果如題12解圖所示。得到的系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)為無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章B

=［

0.02340－0.070300.07030－0.0234］A=

［1.0000－2.21003.2972－2.99322.0758

－0.8495

0.2406］與手算結(jié)果有差別，這一般是由手算過(guò)程中可能產(chǎn)生的計(jì)算誤差造成的。無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章%程序ex612.mwp=［0.25，0.45］；ws=［0.15，0.55］；Rp=3；As=15；

%設(shè)置帶通數(shù)字濾波器指標(biāo)參數(shù)［N，

wc］=buttord(wp，

ws，

Rp，

As)；%計(jì)算帶通濾波器階數(shù)N和3

dB截止頻率Wc［B，

A］=butter(N，

wc)；%計(jì)算帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項(xiàng)式系數(shù)向量A和Bmyplot(B，

A)；%調(diào)用自編繪圖函數(shù)myplot繪制帶通濾波器的損耗函數(shù)曲線無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第５章題12解圖有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第６章教材第7章習(xí)題與上機(jī)題解答1．已知FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為：h(n)長(zhǎng)度N=6h(0)=h(5)=1.5h(1)=h(4)=2h(2)=h(3)=3h(n)長(zhǎng)度N=7h(0)=－

h(6)=3h(1)=－

h(5)=－

2h(2)=－h(huán)(4)=1h(3)=0試分別說(shuō)明它們的幅度特性和相位特性各有什么特點(diǎn)。有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第６章解：（1）由所給h(n)的取值可知，h(n)滿足h(n)=h(N－1－n)，所以FIR濾波器具有A類線性相位特性：由于N=6為偶數(shù)(情況2)，所以幅度特性關(guān)于ω=π點(diǎn)奇對(duì)稱。（2）由題中h(n)值可知，h(n)滿足h(n)=－h(huán)(N－1－n)，所以FIR濾波器具有B類線性相位特性：由于7為奇數(shù)(情況3)，所以幅度特性關(guān)于ω=0,π,2π三點(diǎn)奇對(duì)稱。有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第６章2．已知第一類線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度為16，其16個(gè)頻域幅度采樣值中的前9個(gè)為：Hg(0)=12，

Hg(1)=8.34，

Hg(2)=3.79，

Hg(3)~Hg(8)=0根據(jù)第一類線性相位FIR濾波器幅度特性Hg(ω)的特點(diǎn)，求其余7個(gè)頻域幅度采樣值。解：因?yàn)镹=16是偶數(shù)（情況2），所以FIR濾波器幅度特性Hg(ω)關(guān)于ω=π點(diǎn)奇對(duì)稱，即Hg(2π－ω)=－Hg(ω)。其N點(diǎn)采樣關(guān)于k=N/2點(diǎn)奇對(duì)稱，即Hg(N－k)=－Hg(k)

k=1,2,…,15綜上所述,可知其余7個(gè)頻域幅度采樣值：Hg(15)=－Hg(1)=－8.34，

Hg(14)=－Hg(2)=－3.79，Hg(13)~Hg(9)=0有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第６章3．設(shè)FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為求出該濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)，判斷是否具有線性相位，求出其幅度特性函數(shù)和相位特性函數(shù)。解:對(duì)FIR數(shù)字濾波器，其系統(tǒng)函數(shù)為有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第６章由h(n)的取值可知h(n)滿足：h(n)=h(N－1－n)

N=5所以，該FIR濾波器具有第一類線性相位特性。頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejω)為所以其單位脈沖響應(yīng)為有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第６章有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第６章幅度特性函數(shù)為相位特性函數(shù)為4．用矩形窗設(shè)計(jì)線性相位低通FIR濾波器，要求過(guò)渡帶寬度不超過(guò)π/8rad。希望逼近的理想低通濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)為有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第６章≤≤≤求出理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)；求出加矩形窗設(shè)計(jì)的低通FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)表達(dá)式，確定α與N之間的關(guān)系；簡(jiǎn)述N取奇數(shù)或偶數(shù)對(duì)濾波特性的影響。解:

（1）有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第６章（2）為了滿足線性相位條件，要求，N為矩形窗函數(shù)長(zhǎng)度。rad,所以要求,求解得到N≥32。加矩形窗因?yàn)橐筮^(guò)渡帶寬度Δβ≤函數(shù),得到h(n)：≤≤

≤有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第６章（3）

N取奇數(shù)時(shí)，幅度特性函數(shù)Hg(ω)關(guān)于ω=0,π,2π三點(diǎn)偶對(duì)稱，可實(shí)現(xiàn)各類幅頻特性；N取偶數(shù)時(shí)，Hg(ω)關(guān)于ω=π奇對(duì)稱，即Hg(π)=0，所以不能實(shí)現(xiàn)高通、帶阻和點(diǎn)阻濾波特性。5．用矩形窗設(shè)計(jì)一線性相位高通濾波器，要求過(guò)渡帶寬度不超過(guò)π/10

rad。希望逼近的理想高通濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)為≤≤有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第６章求出該理想高通的單位脈沖響應(yīng)hd(n)；求出加矩形窗設(shè)計(jì)的高通FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)表達(dá)式，確定α與N的關(guān)系；N的取值有什么限制？為什么？

解:

（1）

直接用IFT［Hd(ejω)］計(jì)算：有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第６章有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第６章hd(n)表達(dá)式中第2項(xiàng)正好是截止頻率為ωc的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。而δ(n－α)對(duì)應(yīng)于一個(gè)線性相位全通濾波器：Hdap(ejω)=e－jωα即高通濾波器可由全通濾波器減去低通濾波器實(shí)現(xiàn)。（2）用N表示h(n)的長(zhǎng)度，則h(n)=hd(n)RN(n)=有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第６章為了滿足線性相位條件：h(n)=h(N－1－n)要求滿足（3）

N必須取奇數(shù)。因?yàn)镹為偶數(shù)時(shí)（情況2），H(ejπ)=0，不能實(shí)現(xiàn),即N≥40。取高通。根據(jù)題中對(duì)過(guò)渡帶寬度的要求，N應(yīng)滿足：N=41?！?．理想帶通特性為≤≤≤≤有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第６章求出該理想帶通的單位脈沖響應(yīng)hd(n)；寫(xiě)出用升余弦窗設(shè)計(jì)的濾波器的h(n)表達(dá)式，確定N與α之間的關(guān)系；要求過(guò)渡帶寬度不超過(guò)π/16

rad。

N的取值是否有限制？為什么？解:

（1）有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第６章上式第一項(xiàng)和第二項(xiàng)分別為截止頻率ωc+B和ωc的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。所以，上面hd(n)的表達(dá)式說(shuō)明，帶通濾波器可由兩個(gè)低通濾波器相減實(shí)現(xiàn)。（2）

h(n)=hd