橫觀各向同性壓電懸臂梁的彎曲問題解析解

橫觀各向同性壓電懸臂梁的彎曲問題解析解

電壓材料是一種功能材料，具有良好的力-電轉(zhuǎn)換特性。廣泛應用于測量、控制、智能結(jié)構(gòu)、信息服務等領(lǐng)域。掌握在力、電、磁、光、聲或溫度等載荷作用下壓電材料結(jié)構(gòu)的特性,對其在感測和控制等方面的成功應用非常重要。由于壓電材料多為各向異性材料,加之壓電材料結(jié)構(gòu)的力電耦合效應,導致用解析的方法分析該類問題相當困難。目前的成果多為對壓電材料結(jié)構(gòu)基本解的研究,如文[1～5]最先給出了壓電結(jié)構(gòu)平面問題、軸對稱以及三維問題基本解的解析表達式,但應用起來相當繁瑣。文給出了壓電簡支梁和簡支板彎曲問題的解析解,然而對其它一些壓電介質(zhì)結(jié)構(gòu)的基本理論研究得還不充分,這一現(xiàn)狀對壓電材料的應用是不完善的。本文探索采用彈性力學理論中的逆解法,推導出壓電材料懸臂梁在外力荷載作用下的彎曲問題的多項式解析解。所得結(jié)果豐富了壓電結(jié)構(gòu)分析理論,對數(shù)值解法的研究與驗證也有參考價值。1懸臂梁應力函數(shù)的建立本文考慮由壓電陶瓷和壓電薄膜這類橫觀各向同性的壓電材料組成的結(jié)構(gòu)。設(shè)壓電材料沿z軸正向極化,在x-y平面內(nèi)呈各向同性,在x-z面內(nèi)呈正交各向異性。若所考慮的三維彈性壓電介質(zhì)結(jié)構(gòu)在y軸方向的尺寸較其它兩個軸方向的尺寸小得多,全部載荷作用于x-z平面內(nèi)且不沿y軸方向變化,亦不計電勢沿y方向的變化,此時該問題可簡化為x-z平面內(nèi)的平面應力問題。若所考慮的三維彈性壓電介質(zhì)結(jié)構(gòu),其y軸方向尺寸較其它兩個軸方向的尺寸大得多,全部載荷作用于x-z平面內(nèi)且不沿y軸變化,電勢分布亦與y方向無關(guān),則此時該問題可簡化為x-z平面內(nèi)的平面應變問題。設(shè)圖1所示的壓電懸臂梁長l、高h、厚b,其厚度遠小于長度及高度,自由端受x-z平面內(nèi)的集中力作用;假定體力不計,梁上下(z=h/2)表面無自由電荷,下表面(z=h/2)接地。根據(jù)該結(jié)構(gòu)的特點,這一問題可作為平面內(nèi)的平面應力問題進行處理。對于平面應力問題,σy=0,τyz=τxy=0,,將其代入三維壓電材料物理方程可得:γxy=γyz=0,Dy=0,εy=s12σx+s13σz+d31Ez。相應簡化的物理方程為采用類似的方法亦可推導出壓電介質(zhì)平面應變問題的物理方程簡單表達形式,這里不再贅述。壓電懸臂梁的其它控制方程為力學平衡:電學平衡:線性小變形下幾何方程為力學幾何方程:電學幾何方程:協(xié)調(diào)方程為應變協(xié)調(diào)方程:電場強度協(xié)調(diào)方程:線彈性壓電介質(zhì)平面應力問題的逆解法由力學平衡方程(3)可知,必存在一應力函數(shù)F(x,z),使得且滿足力學平衡方程(3)。同理可知必存在一電勢函數(shù)φ(x,z),使得電場強度滿足電學平衡方程(6)和電場協(xié)調(diào)方程(8)。將σx,σz,τzx,Ex及Ez的表達式(9)和(6)代入物理方程(2)得將方程(10)代入電學平衡方程(4)得將σx,σz,τzx,Ex及Ez的表達式(9)和(6)代入物理方程(1)得將方程(12)代入應變協(xié)調(diào)方程(7)得方程(11)和(13)即是用應力函數(shù)F(x,z)與電勢函數(shù)φ(x,z)表達的壓電介質(zhì)平面應力問題的電學平衡方程和應變協(xié)調(diào)方程。由方程(11)可解得上式代入方程(13)整理得對方程(15)積分后即可得電勢函數(shù)φ(x,z)。由正交各向異性材料懸臂梁自由端受集中力時應力場分布結(jié)果,再依據(jù)壓電懸臂梁的力-電耦合特性,同時考慮到在電學開路情況下,梁變形后產(chǎn)生的電場對結(jié)構(gòu)的應力影響較小,可假設(shè)對方程(17)的第一式積分,得應力函數(shù)為f0(z),f2(x),f3(x)分別為z,x的任意函數(shù)。將式(18)代入方程(17)的第三式,相應可得則有A=-2D,,可得f2(x)=Cx+B,f1(z)=-Cz+E。將式(18)代入方程(17)的第二式,相應可得可知f3(x)為x的線性項。故應力函數(shù)的形式化為式中省略了對應力無影響的常數(shù)項與線性項。將式(21)代入方程(15),得令,對上式積分得式中f0(z),g1(x),g2(x),g3(x)均為待定函數(shù)。將式(21)、(23)代入電學平衡方程(11)得因為方程(24)對任意的x,z均成立,可得f0(z),g1(x),g2(x),g3(x)函數(shù)的表達式:由,,得g1(x)=a1x+b1,g2(x)=a2x+b2,因此壓電懸臂梁應力函數(shù)F(x,z)及電勢φ(x,z)的一般表達式為將應力函數(shù)F(x,z)及電勢φ(x,z)代入方程(6)、(9)可得電場強度和應力的分布。再代入方程(5),積分可得壓電體的位移表達式。欲確定各函數(shù)表達式中的常數(shù),可根據(jù)相應的邊界條件。本文壓電懸臂梁應力邊界條件滿足:由,根據(jù)應力邊界條件解得:由,根據(jù)應力邊界條件解得:,所以f0(z)=a0z+b0。根據(jù)f0(z)為線性函數(shù)這一特點,它對應力無影響,故重新考慮應力函數(shù)的形式為:本文壓電懸臂梁的電學邊界條件為::Dz=0;:φ=0。為保證方程(24)對任意的x,z恒成立,有解得回代入上面各系數(shù)關(guān)系式,所以a2=0,b2=0,g3(x)=將應力函數(shù)與電勢函數(shù)的表達式(27)、(28)分別回代方程(14)和(15),可知是滿足的。則壓電懸臂梁自由端受集中力時應力場為電場強度為:電位移場為:由物理方程(1)解得結(jié)構(gòu)應變?yōu)橛蓭缀畏匠?5),對其第一式和第二式積分得:這里ρ(x),β(z)為任意函數(shù)。將(33)式代入幾何方程(5)中的第三式,并移項整理得要使上式恒成立,只有這里k1,k2均為常數(shù),它們滿足將方程(35)積分得這里k2,k4均為常數(shù)。將ρ(x),β(z)代入方程(33),根據(jù)位移邊界條件:x=l,z=0:u=w=0,,確定出:解之得故位移分量當z=0時,即得壓電懸臂梁軸線的撓度方程壓電懸臂梁自由端的撓度為這和常規(guī)各向同性材料懸臂梁的結(jié)果不一致,多出了一個壓電修正項。