第9章 回歸方程的函數(shù)形式

第9章回歸方程的函數(shù)形式9.1如何度量彈性：對數(shù)線性模型9.2線性模型與對數(shù)線性模型的比較9.3多元對數(shù)線性回歸模型9.4如何測度增長率：半對數(shù)模型9.5線性對數(shù)模型：解釋變量是對數(shù)形式1第9章回歸方程的函數(shù)形式9.6雙曲線模型9.7多項式回歸模型9.8不同函數(shù)形式小結(jié)9.9小結(jié)29.1如何度量彈性：雙對數(shù)線性模型支出函數(shù)雙對數(shù)（double-log)模型/對數(shù)線性(log-linear)模型對（9-5）式可變換為：39.1如何度量彈性：對數(shù)線性模型若（9-6）式滿足古典線性回歸模型的基本假定，則用OLS估計方法得到BLUE。（9-6）式的重要特性：斜率B2度量了Y對X的彈性。雙對數(shù)模型又稱為不變彈性模型。對數(shù)線性模型的假設(shè)檢驗與一般線性模型相同。49.1如何度量彈性：對數(shù)線性模型彈性的定義：E=需求函數(shù)及其對數(shù)變形后的圖形見圖9-1a和圖9-2b.59.1如何度量彈性：對數(shù)線性模型6例9.1博彩支出一例在（7-46）式中，我們給出了博彩支出函數(shù)，博彩支出和個人可支配收入之間是近似線性關(guān)系的，因為并非所有的樣本點都恰好落在直線上。下面，我們看一下，如果用對數(shù)線性模型擬合表9-1給出的數(shù)據(jù)，情況又會怎樣？圖9-2描繪了（9-8）所表示的回歸直線。雙對數(shù)模型的假設(shè)檢驗79.2線性模型與對數(shù)線性模型的比較選擇模型的規(guī)律：1）根據(jù)數(shù)據(jù)作圖，判斷模型形式（只適用于雙變量情況）。2）不能僅僅根據(jù)選擇模型。3）線性模型的彈性系數(shù)隨著需求曲線上的點的不同而變化，而對數(shù)線性模型在需求曲線上任何一點的彈性系數(shù)都相同。89.3多元對數(shù)線性回歸模型三變量對數(shù)模型：其中，又稱為偏彈性系數(shù)。B2是Y對X2的彈性（X3保持不變）。B3是Y對X3的彈性（X2保持不變）。在多元對數(shù)線性模型中，每一個偏斜率系數(shù)度量了在其他變量保持不變的條件下，應(yīng)變量對某一解釋變量的偏彈性。9例9.2柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)（P185）在模型（9-10）中，令Y表示產(chǎn)出，X2表示勞動投入，X3表示資本投入。這樣，式（9-10）就是一個生產(chǎn)函數(shù)----反映產(chǎn)出與勞動力和資本投入之間的關(guān)系的函數(shù)，即柯布-道格拉斯函數(shù)（C-D函數(shù)）。表9-2給出了1955-1974年間墨西哥的產(chǎn)出Y，（GDP度量，以1960年不變價，單位為百萬比索）、勞動投入X2（用總就業(yè)人數(shù)度量，單位為千人），資本投入X3（用固定資本度量，以1960年不變價，單位為百萬比索）的數(shù)據(jù)。10例9.2柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)11例9.2柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)12例9.2柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)將（9-11）式中兩個彈性系數(shù)相加，得到一個重要的經(jīng)濟參數(shù)-----規(guī)模報酬參數(shù)。它反映了產(chǎn)出對投入的比例變動。兩個彈性系數(shù)和為1-----規(guī)模報酬不變。兩個彈性系數(shù)和大于1-----規(guī)模報酬遞增。兩個彈性系數(shù)和小于1-----規(guī)模報酬遞減。13例9.3對能源的需求（P187）表9-3給出了1960-1982年間7個OECD國家的總最終能源需求指數(shù)（Y）、實際GDP（X2）、實際能源價格（X3）的數(shù)據(jù)。所有指數(shù)均以1970年為基準（1970=100）。14例9.3對能源的需求15例9.3對能源的需求169.4如何測度增長率：半對數(shù)模型半對數(shù)模型又稱為增長模型，通常我們用這類模型來測度許多變量的增長率。17例9.41970-1999年間美國人口增長率（P189）我們現(xiàn)在要求在此期間的美國人口增長率（Y）。復利計算公式：其中，Y0----Y的初始值Yt----第t期的Y值r-----Y的增長率（復利率）將（9-13）式變形，對等式兩邊取對數(shù)，得：18例9.41970-1999年間美國人口增長率（P189）現(xiàn)令因此，模型（9-14）可表示為：若引入隨機誤差項，得到：形如（9-18）的回歸模型稱為半對數(shù)模型。注意，在滿足OLS基本假定的條件下，能夠用OLS方法來估計模型（9-18）。根據(jù)表9-4提供的數(shù)據(jù)，得到如下回歸結(jié)果：19例9.41970-1999年間美國人口增長率（P189）209.4.1單利增長率與復利增長率

由(9-16)式，b2=B2的估計值=ln(1+r)

因此antilog(b2)=(1+r)即：1+r=exp（b2）于是r=antilog(b2)-1即：r=exp（b2）-1

(r是復利增長率)219.4.2線性趨勢模型線性趨勢模型：Yt=B1+B2t+ut(8-23)即Y對時間t的回歸，其中t按時間先后順序計算。時間t稱為趨勢變量。228.4.2線性趨勢模型根據(jù)表9-4提供的數(shù)據(jù)，擬合的回歸方程如下：Se=(743.2718)(152.1243)r2=0.9987回歸結(jié)果表明，在樣本區(qū)間內(nèi)，美國人口每年絕對增長為2.3284（百萬美元）。因此，在此期間，美國人口有一個向上的趨勢。

239.5線性對數(shù)模型：解釋變量是對數(shù)形式

線性對數(shù)模型（lin-logmodel)：應(yīng)變量是線性形式而解釋變量是對數(shù)形式。線性對數(shù)模型常用于研究解釋變量每變動1%，相應(yīng)應(yīng)變量的絕對變化量的情形。24例9.5美國GNP與貨幣供給間的關(guān)系（1973-1987年）25例9.5美國GNP與貨幣供給間的關(guān)系（1973-1987年）（P164）假定聯(lián)儲很關(guān)注貨幣供給的變動對GDP的影響（貨幣供給是由FED控制的）?，F(xiàn)考慮下面模型：其中，Y=GDP，X=貨幣供給。與對數(shù)線性模型相比，對數(shù)線性模型中的應(yīng)變量是對數(shù)形式，解釋變量是線性形式。在解釋線性對數(shù)模型之前，先給出模型（9-25）的回歸結(jié)果：26例9.5美國GNP與貨幣供給間的關(guān)系（1973-1987年）P（164）t=(-23.494)(27.549)r2=0.9832回顧一下：對數(shù)形式的變化稱為相對變化。因此，模型（9-25）中的斜率度量了：式（9-27）也可寫為：式（9-28）表明，Y的絕對變化量等于乘以的相對變化量。因而，若每變化0.01個單位（或1%），則Y的絕對改變量為0.01（B2）279.6雙曲線模型雙曲函數(shù)模型：該模型的顯著特征：隨著X的無限增大，Y將逐漸接近B1漸進值（asymptoticvalue)或極限值。289.6雙曲線模型298.6雙曲線模型在圖9-3a中，若Y表示生產(chǎn)的平均固定成本（AFC），也即總固定成本除以產(chǎn)出，X代表產(chǎn)出，則根據(jù)經(jīng)濟理論，隨著產(chǎn)出的不斷增加，AFC將逐漸降低，最終接近其漸進線。圖9-3b描繪了恩格爾消費曲線（Engelexpenditurecurve)：消費者對某一商品的支出占其總收入或總消費支出的比例。該商品有以下特征（1）收入有一個臨界值（2）消費有一個滿足水平。圖9-3c描繪了菲利普斯曲線(Philipscurve)。Y表示英國貨幣工資變化的百分比，X表示失業(yè)率。30例9.61958-1969年美國的菲利普斯曲線（P166）31例9.61958-1969年美國的菲利普斯曲線模型（9-29）擬合了表9-6給出的數(shù)據(jù)，回歸結(jié)果如下：t=(-0.2572)(4.3996)r2=0.6594圖9-4a給出了該回歸線。32例9.61958-1969年美國的菲利普斯曲線33例9.61958-1969年美國的菲利普斯曲線作為比較，我們給出根據(jù)相同數(shù)據(jù)得到的線性回歸結(jié)果：t=(6.4625)(-3.2605)r2=0.5153比較這兩個模型可以看出，雙曲函數(shù)模型比線性模型更好地擬合了樣本數(shù)據(jù)。349.7多項式回歸模型358.7多項式回歸模型圖8-5描繪了總成本函數(shù)（是產(chǎn)出的函數(shù)）曲線和邊際成本（MC）及平均成本（AC）曲線。Y表示總成本（TC），X表示產(chǎn)出，總成本函數(shù)可以表示為：形如式（8-32）的函數(shù)又稱為立方函數(shù)（三次多項式函數(shù)）?？梢园阉醋鞫嘣貧w方程，用OLS方法來估計參數(shù)。368.7多項式回歸模型（P197）Y（$)193226240244257260274297350420總成本X12345678910產(chǎn)出表9-7成本—產(chǎn)出數(shù)據(jù)37例9.7總成本函數(shù)：為了說明多項式模型，考慮表9-7給出的成本—產(chǎn)出數(shù)據(jù)根據(jù)這些數(shù)據(jù)，用OLS方法得到的回歸結(jié)果如下：

se=(6.3753)(4.7786)