2024屆廣東省河源中學(xué)高三上學(xué)期一調(diào)數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat18頁(yè)2024屆廣東省河源中學(xué)高三上學(xué)期一調(diào)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．集合（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過解一元一次不等式，結(jié)合表示整數(shù)集合進(jìn)行求解即可.【詳解】由，可得，又，所以集合.故選：C2．當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)，然后根據(jù)m的范圍判斷實(shí)部和虛部符號(hào)即可.【詳解】因?yàn)?，所以所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選：A3．若非零向量與滿足，且，則為（

）A．三邊均不等的三角形 B．直角三角形C．底邊和腰不相等的等腰三角形 D．等邊三角形【答案】C【分析】由已知可得的角平分線與BC垂直，可分析出是等腰三角形，根據(jù)數(shù)量積公式可求角A，即可判斷.【詳解】解：，的角平分線與BC垂直，，，則是頂角為的等腰三角形，故選：C.4．“”的一個(gè)充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判斷由能推出，由此判斷A;舉反例可判斷B,C,D.【詳解】由可知，，故是的而一個(gè)充分條件；由可得到，不妨取，推不出，故B錯(cuò)誤；由，比如取，滿足，推不出，故C錯(cuò)誤；由，比如取，滿足，推不出，故D錯(cuò)誤；故選：A5．如圖，平行四邊形中，M為中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)P，若，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】由題可得，進(jìn)而可得，結(jié)合條件即得.【詳解】因?yàn)槠叫兴倪呅沃校琈為中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)P，所以，所以，又，所以，.故選：B.6．已知為第三象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角的正弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋裕忠驗(yàn)闉榈谌笙藿牵裕怨蔬x：A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換和同角三角函數(shù)的關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力．7．已知，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)的正負(fù)情況分類討論求解即可．注意交并集思想的正確運(yùn)用．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，即，，∴，即，令，對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，∴只要即可，解得，．當(dāng)時(shí)，，∴只要即可，解得，，∴當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，，解得，∴只要即可，解得．綜上：．故選：D．8．已知等差數(shù)列中，，設(shè)函數(shù)，記，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合正弦型函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】，由，可得，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選：D.二、多選題9．已知復(fù)數(shù)z，，，是z的共軛復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A． B．若，則C． D．若，則的最小值為1【答案】ACD【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的公式可判斷A；結(jié)合特殊值法可判斷B；結(jié)合復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的性質(zhì)可判斷C；結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，故A正確；對(duì)于B，令，滿足，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，，則，所以，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，即，表示以為圓心，半徑為1的圓，表示圓上的點(diǎn)到的距離，故的最小值為，故D正確.故選：ACD10．是的重心，，是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．在方向上的投影向量等于C．D．的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合重心的性質(zhì)判斷A，根據(jù)投影向量的定義判斷B，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律判斷CD.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)點(diǎn)為的重心時(shí)，如圖所示：四邊形為平行四邊形，根據(jù)重心性質(zhì)可得.則，∴A正確；對(duì)于B，∵在方向上的投影為，∴在方向上的投影向量為，∴B錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵是的重心，∴，，∴，所以，∴C正確；對(duì)于D，如下圖，取的中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，則，，，則，顯然當(dāng)重合時(shí)，，取最小值，∴D正確.故選：ACD．11．已知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為，且在內(nèi)單調(diào)遞減，則以下說法正確的是（

）A．是其中一個(gè)對(duì)稱中心 B．C．在上單調(diào)遞增 D．【答案】AD【分析】先根據(jù)條件求出和的值，即可得的解析式，由正弦函數(shù)的對(duì)稱中心方程可判斷A；由的值可判斷B；求的單調(diào)遞增區(qū)間可判斷C；將代入計(jì)算可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，關(guān)于對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以①，且，可得，所以，因?yàn)?，所以，且和在同一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，所以②，兩式相減可得：，所以，所以，因?yàn)?，所以，，可得，?duì)于A：由可得：，所以是其中一個(gè)對(duì)稱中心，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：由計(jì)算可知：，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：令，得所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D.：，故選項(xiàng)D正確，故選：AD.12．若，，且，則（

）A． B．C． D．的最大值為【答案】ABD【分析】由，消去選項(xiàng)中的b，構(gòu)造關(guān)于a的函數(shù)，分析函數(shù)的性質(zhì)，判斷正誤.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以有，于是，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，，設(shè)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，所以，所以，選項(xiàng)D正確.【點(diǎn)睛】因?yàn)?，，，所以注意?gòu)造的函數(shù)中.三、填空題13．已知平面向量，，若與垂直，則實(shí)數(shù)．【答案】1【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可求解.【詳解】因?yàn)榕c垂直，所以，即，，解得．故答案為：14．已知?jiǎng)t的最大值為【答案】【分析】三維柯西不等式的直接應(yīng)用，湊形式即可.【詳解】由柯西不等式，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故答案為：.15．已知關(guān)于x的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】已知關(guān)于x的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，可以分別三種情況討論：①，方程有4個(gè)根；②，方程有兩個(gè)正根；③，方程有兩個(gè)負(fù)根；分別求出實(shí)數(shù)a的取值范圍即可完成求解.【詳解】由題意可知關(guān)于x的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，可分為以下幾種情況：①當(dāng)時(shí)，方程，化為，解得，不滿足題意，舍掉；②當(dāng)時(shí)，方程，化為，此方程有兩個(gè)正根，即，解得；③當(dāng)時(shí)，方程，化為，此方程有兩個(gè)負(fù)根，即，解得；由①②③可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.16．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是.①；②是等差數(shù)列；③；④滿足的的最小正整數(shù)為10.【答案】②③④【分析】對(duì)于②，根據(jù)與的關(guān)系得出是等差數(shù)列；對(duì)于①，由求出，再比較大小進(jìn)行判斷；對(duì)于③，令，通過導(dǎo)數(shù)證明在上恒成立，令（，），再證得不等式成立；對(duì)于④，利用裂項(xiàng)相消法求出，再求出的的最小正整數(shù).【詳解】對(duì)于②，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，整理得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，故②正確.對(duì)于①，，又正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，又當(dāng)時(shí)，滿足，所以，又，因?yàn)椋?，即，故①不正確；對(duì)于③，令，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上恒成立，令（，），所以，又，故，故③正確；對(duì)于④，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)椋矗?jiǎn)整理得，顯然數(shù)列遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以滿足的的最小正整數(shù)為10，故④正確.故答案為：②③④.【點(diǎn)睛】給出與的遞推關(guān)系，求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求.四、解答題17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式計(jì)算可得答案；（2）由題意可知，利用錯(cuò)位相減求和可得答案.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?所以，所以，，所以；（2）由題意可知，所以①，②，①②得，，，，.18．（1）如圖①，在中，為邊上的高，，，，，求的值；（2）如圖②，半徑為1，圓心角為的圓弧上有一點(diǎn)，若，分別為線段，的中點(diǎn)，當(dāng)在圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍.

【答案】（1）；（2）【分析】（1）由余弦定理可得BC，由等面積法可求得AD，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，從而得解．（2）建立平面直角坐標(biāo)，設(shè)，，利用坐標(biāo)法表示出，再利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】（1）因?yàn)椋?，，所以，又，，，故由余弦定理可得，則，又，所以，所以，所以.（2）以為原點(diǎn)，為軸，反方向?yàn)檩S，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，設(shè)，，則，，所以，因?yàn)?，則，所以，所以.

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，圓：與軸正半軸的交點(diǎn)是.若圓上一動(dòng)點(diǎn)從開始，以的角速度逆時(shí)針做圓周運(yùn)動(dòng)，秒后到達(dá)點(diǎn).設(shè).（1）若且，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義分別寫出的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式表示出，代入的值再結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式求解出的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）根據(jù)計(jì)算出的值，再結(jié)合誘導(dǎo)公式求解出的值.【詳解】解：（1）由已知條件和三角函數(shù)的定義得，，則當(dāng)，則令（），解得（）又∵，∴，的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由，，得，即，∵，∴，∴．20．某城市受空氣污染影響嚴(yán)重，現(xiàn)欲在該城市中心的兩側(cè)建造兩個(gè)空氣凈化站（如圖，三點(diǎn)共線），兩站對(duì)該城市的凈化度分別為，其中．已知對(duì)該城市總凈化效果為兩站對(duì)該城市的凈化效果之和，且每站凈化效果與凈化度成正比，與中心到凈化站之間的距離成反比．現(xiàn)已知，且當(dāng)時(shí)，站對(duì)該城市的凈化效果為，站對(duì)該城市的凈化效果為．(1)設(shè)，求兩站對(duì)該城市的總凈化效果；(2)無論兩站建在何處，若要求兩站對(duì)該城市的總凈化效果至少達(dá)到，求的取值范圍．【答案】(1)，．(2)【分析】（1）待定系數(shù)法求A、B兩站對(duì)P城市的進(jìn)化效果與x的關(guān)系，然后可得；（2）將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，利用基本不等式求最值，然后根據(jù)題意列不等式求解可得.【詳解】（1）設(shè)站對(duì)城市的凈化效果為，比例系數(shù)為，則，由題意：當(dāng)時(shí)，，即，∴，設(shè)站對(duì)城市的凈化效果為，比例系數(shù)為，則，由，，即，∴，兩站對(duì)該城市的總凈化效果，．（2）由題意得對(duì)恒成立，∴只要時(shí)即可；又，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，則，令，即，則，即，綜上，無論兩站建在何處，若要求兩站對(duì)城市的總凈化效果至少達(dá)到，的取值范圍為．21．已知平面四邊形．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且___________．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中，并進(jìn)行解答．問題：(1)求角B；(2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍；【答案】(1)(2)【分析】（1）選擇①：由誘導(dǎo)公式及正弦定理化簡(jiǎn)得，進(jìn)而求得；選擇②：利用三角形面積公式及數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)得，進(jìn)而求得；選擇③：逆用兩角和的正切公式即可求，進(jìn)而求得；（2）利用正弦定理求得，設(shè)，，求得，，化簡(jiǎn)整理，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求最值.【詳解】（1）選擇①：，即，由正弦定理得，在中，，，，又，且，，所以；．選擇②：由三角形面積公式及數(shù)量積的運(yùn)算知，即．在中，，，，又，且，，所以；．選擇③：，即所以．在中，，所以．（2）因?yàn)樗运狞c(diǎn)共圓，為直徑，所以的外接圓直徑為2．，由正弦定理得：，所以