橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)案例

《橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第1課時(shí)）》教學(xué)案例

一、教學(xué)背景：

結(jié)合新課程標(biāo)準(zhǔn)的精神，我們不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)“不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索，動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為教師引導(dǎo)下的‘再創(chuàng)造’過程，要設(shè)立‘?dāng)?shù)學(xué)探索’教學(xué)建模等學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程?！苯虒W(xué)方法：結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)、啟發(fā)引導(dǎo)、探究合作。在學(xué)生的生活體驗(yàn)、直觀感知、知識(shí)儲(chǔ)備的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生逐步建構(gòu)概念，為學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成打下基礎(chǔ)。教師利用多媒體（幾何畫板）工具，通過觀察、設(shè)問、啟發(fā)、嘗試，突破學(xué)生認(rèn)知上的困難，讓學(xué)生體驗(yàn)問題解決的思維過程。教學(xué)過程實(shí)錄：

1、創(chuàng)設(shè)情景，引出課題

教師：我們以前學(xué)習(xí)過圓，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下圓的定義。

學(xué)生：(平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡)

教師：我們是怎么畫圓的呢？學(xué)生：（上黑板來演示）

教師：現(xiàn)在把這根繩子的兩端分別系在兩顆圖釘上，并分開固定在兩個(gè)點(diǎn)上，保持拉緊狀態(tài)移動(dòng)鉛筆，請(qǐng)你們?cè)佼嬕划嫊?huì)是什么樣的曲線？

學(xué)生：（動(dòng)手畫橢圓）

教師：我們看到這個(gè)曲線的形狀是一個(gè)壓扁了的圓，我們稱為橢圓。

教師：提出課題《橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程》

2、觀察發(fā)現(xiàn)，認(rèn)識(shí)橢圓教師：展示多媒體課件（用幾何畫板生成動(dòng)畫）作法:在幾何畫板作圖區(qū)域中以A為圓心過C點(diǎn)作圓，在圓內(nèi)任取一點(diǎn)B；連接線段BC，作BC的垂直平分線交AC于F；追蹤點(diǎn)F，生成點(diǎn)C的動(dòng)畫。請(qǐng)同學(xué)們思考：（1）在運(yùn)動(dòng)中，哪些量是不變的，哪些量是變化的？（2）能不能把不變的量用數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)出來？（3）點(diǎn)F是以怎樣的規(guī)律進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的？3、歸納定義，完善定義教師：我們通過實(shí)踐操作，動(dòng)畫演示，對(duì)橢圓有了一定的認(rèn)識(shí)，下面請(qǐng)同學(xué)們歸納橢圓的定義（學(xué)生分組討論）。學(xué)生歸納出橢圓定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離的和等于定常數(shù)（大于|AB|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。定義式為:|FA|+|FB|=|AC|（|AC|>|AB|）教師：以上我們總結(jié)了橢圓的定義，知道了橢圓與兩定點(diǎn)位置以及定線段長(zhǎng)有關(guān)；那么給定了線段長(zhǎng)，兩定點(diǎn)位置就一定能作出橢圓嗎？大家討論一下，這里有沒有條件限制。學(xué)生：（動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，討論、總結(jié)）

教師：在黑板演示，|AC|>|AB|、|AC|=|AB|、|AC|<|AB|三種不同情形的軌跡。根據(jù)我們動(dòng)手實(shí)驗(yàn)及老師的演示以及討論，同學(xué)們總結(jié)出什么結(jié)論呢？

學(xué)生：（1）當(dāng)|AC|>|AB|時(shí)，軌跡是橢圓。

（2）當(dāng)|AC|=|AB|時(shí)，軌跡是一條線段，是以AB為端點(diǎn)的線段。

（3）當(dāng)|AC|<|AB|時(shí)，無軌跡。

教師：給出橢圓定義，定義式及相關(guān)概念。4、歸納方法，解決問題

由學(xué)生根據(jù)建立坐標(biāo)系一般原則，按不同的建系方法分組自主推導(dǎo)橢圓方程，進(jìn)行比較。xyOF1F2M圖1已知橢圓的焦距，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)xyOF1F2M圖1建系：以兩定點(diǎn)F1、F2所在直線為軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系（如圖1）．設(shè)為橢圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)MF1+MF2=m，F(xiàn)1F2=n，（m>n>0）則、．移項(xiàng)后再平方由MF1+MF2=m得移項(xiàng)后再平方移項(xiàng)得平方得整理得再平方得再整理得所以即xyOF1F2Mca圖2令m=2a,n=2c即MF1+MF2=2xyOF1F2Mca圖2結(jié)合圖形，找出方程中a、c對(duì)應(yīng)的線段．如圖2，OF2=c，MF2=a，a與c可以看成Rt△MOF2的斜邊和直角邊．那么a2-c2就是另一直角邊的平方，因此我們令b2=a2-c2（b>0），則方程變?yōu)椋╝＞b＞0）。由上述過程可知，橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都滿足上面這個(gè)方OF1F2xOF1F2xyM圖3方程就是所求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.結(jié)合圖3，讓學(xué)生猜想結(jié)論：（a＞b＞0），并說明理由。教師歸納總結(jié)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：（a＞b＞0），（a＞b＞0）及特點(diǎn)。5、知識(shí)總結(jié)、歸納點(diǎn)評(píng)總結(jié)一節(jié)課所學(xué)，與學(xué)生共同回憶橢圓的定義和分類，及其標(biāo)準(zhǔn)方程。師生協(xié)作填表，通過觀察、歸納、尋找異同，在對(duì)比中讓學(xué)生掌握本節(jié)課的重點(diǎn)。四、教學(xué)反思

1、本節(jié)課中學(xué)生在教師和同學(xué)的幫助下，親身經(jīng)歷了“問題——探索——發(fā)現(xiàn)——解決問題”的多次循環(huán)的探究過程，實(shí)現(xiàn)“為什么”、“怎么辦”的思維啟迪，從而達(dá)到合作探究、發(fā)展能力的目的。所以，在我們的日常教學(xué)中，不僅要培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，更要注意培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力。

2、本節(jié)課通過學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，教師利用多媒體（幾何畫板