人教版物理必修第二冊同步講練第6章 圓周運動 3　向心加速度 (含解析)

向心加速度核心素養(yǎng)目標物理觀念向心加速度及其方向、向心加速度和線速度的關系、向心加速度和角速度的關系?？茖W思維能夠運用向心加速度表達式分析處理實際情境中的有關問題。知識點一勻速圓周運動的加速度方向[觀圖助學]通過前面的學習，我們已經(jīng)知道，做曲線運動的物體，速度一定是變化的，即一定有加速度。如圖，雙人花樣滑冰運動中，女運動員繞男運動員做勻速圓周運動，加速度的方向如何？1.心加速度物體做勻速圓周運動時的加速度總指向圓心，我們把它叫作向心加速度。2.向心加速度的方向沿半徑方向指向圓心，與線速度方向垂直。[思考判斷](1)勻速圓周運動的加速度的方向始終不變。(×)(2)勻速圓周運動是勻變速運動。(×)(3)勻速圓周運動是加速度不變的運動。(×)做勻速圓周運動的物體，合力提供向心力，即合力指向圓心，所以加速度的方向也指向圓心向心加速度的方向時刻變化知識點二勻速圓周運動的加速度大小向心加速度表達式an＝eq\f(v2,r)或an＝ω2r[思考判斷](1)勻速圓周運動的加速度大小不變。(√)(2)根據(jù)an＝eq\f(v2,r)知加速度an與半徑r成反比。(×)(3)根據(jù)an＝ω2r知加速度an與半徑r成正比。(×)(4)物體做勻速圓周運動時，速度變化量為零。(×),根據(jù)牛頓第二定律an＝eq\f(Fn,m)＝eq\f(v2,r)＝ω2r核心要點一向心加速度的理解[問題探究]如圖所示，地球繞太陽做勻速圓周運動(漫畫)，小球繞細繩的另一端在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，請思考：(1)在勻速圓周運動過程中，地球、小球的運動狀態(tài)發(fā)生變化嗎？若變化，變化的原因是什么？(2)向心加速度改變物體的速度大小嗎？答案(1)變化。向心加速度的作用。(2)向心加速度只改變線速度的方向，不改變速度的大小。[探究歸納]1.物理意義描述勻速圓周運動線速度方向變化的快慢，不表示速度大小變化的快慢。2.方向總是沿著圓周運動的半徑指向圓心，即方向始終與運動方向垂直，方向時刻改變。3.圓周運動的性質(zhì)不論向心加速度an的大小是否變化，an的方向是時刻改變的，所以圓周運動的向心加速度時刻發(fā)生改變，圓周運動一定是非勻變速曲線運動。4.變速圓周運動的向心加速度做變速圓周運動的物體，加速度一般情況下不指向圓心，該加速度有兩個分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度表示速度方向變化的快慢，切向加速度表示速度大小變化的快慢。所以變速圓周運動中，向心加速度的方向也總是指向圓心。[試題案例][例1](多選)關于向心加速度，以下說法中正確的是()A.向心加速度的方向始終與線速度方向垂直B.向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小C.物體做圓周運動時的加速度方向始終指向圓心D.物體做勻速圓周運動時的加速度方向始終指向圓心解析向心加速度的方向沿半徑指向圓心，線速度方向則沿圓周的切線方向，所以向心加速度的方向始終與線速度方向垂直，A正確；物體做勻速圓周運動時，只具有向心加速度，加速度方向始終指向圓心，向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小，B、D正確；一般情況下，圓周運動的向心加速度與切向加速度的合加速度方向不是始終指向圓心的，C錯誤。答案ABD[針對訓練1]物體做勻速圓周運動過程中，其向心加速度()A.大小、方向均保持不變B.大小、方向均時刻改變C.大小時刻改變、方向時刻改變D.大小保持不變、方向時刻改變解析做勻速圓周運動的物體其速度大小不變，由向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)可知其大小不變，向心加速度的方向始終指向圓心，故其方向時刻改變。選項D正確。答案D核心要點二向心加速度公式的理解與應用[問題探究]如圖所示，兩個嚙合的齒輪，其中A點為小齒輪邊緣上的點，B點為大齒輪邊緣上的點，C點為大齒輪中間的點。(1)哪兩個點的向心加速度與半徑成正比？(2)哪兩點的向心加速度與半徑成反比？答案(1)B、C兩個點的角速度相同，由an＝ω2r知向心加速度與半徑成正比。(2)A、B兩個點的線速度相同，由an＝eq\f(v2,r)知向心加速度與半徑成反比。[探究歸納]1.由向心加速度方向看圓周運動性質(zhì)向心加速度方向總是沿著圓周運動的半徑指向圓心，不論向心加速度an的大小是否變化，an的方向是時刻變化的，所以圓周運動一定是變加速運動。2.向心加速度的幾種表達式(1)對應線速度：an＝eq\f(v2,r)。(2)對應角速度：an＝rω2。(3)對應周期：an＝eq\f(4π2,T2)r。(4)對應轉(zhuǎn)速：an＝4π2n2r。3.向心加速度的大小與各量關系的理解(1)當r一定時，an∝v2，an∝ω2。(2)當v一定時，an∝eq\f(1,r)。(3)當ω一定時，an∝r。(4)an與r的關系圖像：如圖所示。由an－r圖像可以看出：an與r成正比還是反比，要看ω恒定還是v恒定。[試題案例][例2](多選)如圖所示，一個球繞中心軸線OO′以角速度ω做勻速圓周運動，則()隱含：球上各點的角速度相等A.a、b兩點線速度相同B.a、b兩點角速度相同C.若θ＝30°，則a、b兩點的線速度之比va∶vb＝eq\r(3)∶2D.若θ＝30°，則a、b兩點的向心加速度之比aa∶ab＝eq\r(3)∶2解析由于a、b兩點在同一球體上，因此a、b兩點的角速度ω相同，選項B正確；而據(jù)v＝ωr可知va＜vb，選項A錯誤；由幾何關系有ra＝rb·cosθ，當θ＝30°時，ra＝eq\f(\r(3),2)rb，則va∶vb＝eq\r(3)∶2，選項C正確；由a＝ω2r，可知aa∶ab＝ra∶rb＝eq\r(3)∶2，選項D正確。答案BCD方法總結向心加速度公式的應用技巧(1)先確定各點是線速度大小相等，還是角速度相同。(2)在線速度大小相等時，向心加速度與半徑成反比，在角速度相同時，向心加速度與半徑成正比。(3)向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)和an＝ω2r不僅適用于勻速圓周運動，也適用于變速圓周運動。[針對訓練2](多選)如圖所示為甲、乙兩球做勻速圓周運動向心加速度隨半徑變化的圖像，由圖像可知()A.甲球運動時，線速度大小保持不變B.甲球運動時，角速度大小保持不變C.乙球運動時，線速度大小保持不變D.乙球運動時，角速度大小保持不變解析由a＝eq\f(v2,R)知，v不變時，a與R成反比，圖像為雙曲線的一支，選項A正確，B錯誤；由a＝ω2R知，ω不變時，a與R成正比，圖像為過原點的傾斜直線，選項C錯誤，D正確。答案AD1.下列關于向心加速度的說法中正確的是()A.向心加速度越大，物體速率變化越快B.向心加速度的大小與軌道半徑成反比C.向心加速度的方向始終與線速度方向垂直D.在勻速圓周運動中向心加速度是恒量解析向心加速度是描述速度變化快慢的物理量，但它只反映線速度方向的變化快慢，選項A錯誤；向心加速度的大小可用an＝eq\f(v2,r)或an＝ω2r表示，當v一定時，an與r成反比；當ω一定時，an與r成正比，可見an與r的比例關系是有條件，選項B錯誤；向心加速度方向始終與線速度方向垂直，選項C正確；在勻速圓周運動中，向心加速度大小恒定，但方向始終指向圓心，即其方向時刻變化，所以向心加速度不是恒量，選項D錯誤。答案C2.關于質(zhì)點的勻速圓周運動，下列說法中正確的是()A.由a＝eq\f(v2,r)可知，a與r成反比B.由a＝ω2r可知，a與r成正比C.由v＝ωr可知，ω與r成反比D.由ω＝2πn可知，ω與n成正比解析物體做勻速圓周運動的向心加速度與物體的線速度、角速度、半徑有關。但向心加速度與半徑的關系要在一定前提條件下才能給出。當線速度一定時，向心加速度與半徑成反比；當角速度一定時，向心加速度與半徑成正比，對線速度和角速度與半徑的關系也可以同樣進行討論，選項D正確。答案D3.關于向心加速度，下列說法正確的是()A.由an＝eq\f(v2,r)知，勻速圓周運動的向心加速度恒定B.勻速圓周運動不屬于勻速運動C.向心加速度可以改變速度方向，也能改變速度大小D.做圓周運動的物體，加速度方向時刻指向圓心解析由an＝eq\f(v2,r)知，勻速圓周運動的向心加速度大小是恒定的，但是方向不斷改變，選項A錯誤；勻速圓周運動的速度方向不斷改變，故不屬于勻速運動，選項B正確；向心加速度只改變速度方向，選項C錯誤；只有做勻速圓周運動的物體，加速度方向才時刻指向圓心，選項D錯誤。答案B4.甲、乙兩個物體都做勻速圓周運動，轉(zhuǎn)動半徑之比為3∶4，在相同的時間里甲轉(zhuǎn)過60圈，乙轉(zhuǎn)過45圈，則它們的向心加速度之比為()A.3∶4 B.4∶3C.4∶9 D.9∶4解析根據(jù)公式an＝ω2r及ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2π,T)知eq\f(a甲,a乙)＝eq\f(r甲,r乙)×eq\f(Teq\o\al(2,乙),Teq\o\al(2,甲))，而T甲＝eq\f(t,60)，T乙＝eq\f(t,45)，所以eq\f(a甲,a乙)＝eq\f(3,4)×eq\f(602,452)＝eq\f(4,3)，選項B正確。答案B5.飛機由俯沖轉(zhuǎn)為上升的一段軌跡可以看成圓弧，如圖所示，如果這段圓弧的半徑r＝800m，飛行員能承受的加速度最大為8g。飛機在最低點P的速率不得超過多少？(g取10m/s2)解析飛機在最低點做圓周運動，由于其向心加速度最大不得超過8g才能保證飛行員安全，所以由an＝eq\f(v2,r)得v＝eq\r(anr)＝eq\r(8×10×800)m/s＝80eq\r(10)m/s，故飛機在最低點P的速率不得超過80eq\r(10)m/s。答案80eq\r(10)m/s基礎過關1.關于做勻速圓周運動物體的向心加速度的方向，下列說法中正確的是()A.與線速度方向始終相同B.與線速度方向始終相反C.始終指向圓心D.始終保持不變解析向心加速度的方向與線速度方向垂直，始終指向圓心，選項A、B錯誤，C正確；做勻速圓周運動物體的向心加速度的大小不變，而方向時刻變化，D錯誤。答案C2.如圖所示，一圓環(huán)以直徑AB為軸做勻速轉(zhuǎn)動，P、Q、R是環(huán)上的三點，則下列說法正確的是()A.向心加速度的大小aP＝aQ＝aRB.任意時刻P、Q、R三點向心加速度的方向不同C.線速度vP＞vQ＞vRD.任意時刻P、Q、R三點的線速度方向均不同解析圓環(huán)各處的角速度相等，由a＝ω2r知aP＞aQ＞aR，選項A錯誤；由于向心加速度總是指向圓心，所以P、R、Q處的向心加速度的方向都垂直于AB軸且指向AB軸，即P、Q、R三點向心加速度的方向相同，選項B錯誤；由v＝ωr知vP＞vQ＞vR，選項C正確；線速度方向都垂直于半徑，故P、Q、R三點的線速度方向相同，選項D錯誤。答案C3.(多選)冰上芭蕾舞劇《天鵝湖》在某大劇院的歌劇廳震撼上演！表演中，演員展開雙臂單腳點地做著優(yōu)美的旋轉(zhuǎn)動作，在他將雙臂逐漸放下的過程中，他轉(zhuǎn)動的速度會逐漸變快，則他肩上某點隨之轉(zhuǎn)動的()A.周期變大B.線速度變大C.角速度變大D.向心加速度變大解析他轉(zhuǎn)動的速度逐漸變快，說明角速度變大，而v＝ωr，an＝ω2r，T＝eq\f(2π,ω)，隨ω的增大，v、an在變大，T將變小，選項A錯誤，B、C、D正確。答案BCD4.如圖所示，質(zhì)量為m的木塊從半徑為R的固定半球形碗口下滑到碗的最低點的過程中，如果由于摩擦力的作用使木塊的速率不變，那么木塊()A.加速度為零B.加速度恒定C.加速度大小不變，方向時刻改變，但不一定指向圓心D.加速度大小不變，方向時刻指向圓心解析由題意知，木塊做勻速圓周運動，木塊的加速度大小不變，方向時刻指向圓心，D正確，A、B、C錯誤。答案D5.A、B兩小球都在水平面上做勻速圓周運動，A球的軌道半徑是B球軌道半徑的2倍，A的轉(zhuǎn)速為30r/min，B的轉(zhuǎn)速為15r/min。則兩球的向心加速度之比為()A.1∶1 B.2∶1C.4∶1 D.8∶1解析由題意知，球A的轉(zhuǎn)速為30r/min，球B的轉(zhuǎn)速為15r/min，根據(jù)ω＝2πn可知A、B兩球的角速度之比為2∶1；而A球的軌道半徑是B球軌道半徑的2倍，根據(jù)a＝rω2可知，則向心加速度之比為8∶1，選項A、B、C錯誤，D正確。答案D6.(多選)如圖所示，皮帶傳動裝置中，右邊兩輪連在一起共軸轉(zhuǎn)動，圖中三輪半徑分別為r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三點為三個輪邊緣上的點，皮帶不打滑。向心加速度分別為a1、a2、a3，則下列比例關系正確的是()A.eq\f(a1,a2)＝eq\f(3,2) B.eq\f(a1,a2)＝eq\f(2,3)C.eq\f(a2,a3)＝eq\f(2,1) D.eq\f(a2,a3)＝eq\f(1,2)解析由于皮帶不打滑，v1＝v2，a＝eq\f(v2,r)，故eq\f(a1,a2)＝eq\f(r2,r1)＝eq\f(2,3)，選項A錯誤，B正確；由于右邊兩輪共軸轉(zhuǎn)動，ω2＝ω3，a＝rω2，eq\f(a2,a3)＝eq\f(r2,r3)＝eq\f(1,2)，選項C錯誤，D正確。答案BD能力提升7.(多選)如圖所示，一小物塊以大小為a＝4m/s2的向心加速度做勻速圓周運動，半徑R＝1m。則下列說法正確的是()A.小物塊運動的角速度為2rad/sB.小物塊做圓周運動的周期為πsC.小物塊在t＝eq\f(π,4)s內(nèi)通過的位移大小為eq\f(π,20)mD.小物塊在πs內(nèi)通過的路程為零解析依據(jù)a＝ω2R，小物塊運動的角速度ω＝eq\r(\f(a,R))＝eq\r(\f(4,1))rad/s＝2rad/s；周期T＝eq\f(2π,ω)＝πs，選項A、B正確；小物塊運動的周期為πs，則在t＝eq\f(