廣東省華附、省實廣雅、深中等四校2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁廣東省華附、省實，廣雅、深中等四校2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（

）A． B． C． D．3．向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．為研究變量，的相關(guān)關(guān)系，收集得到下面五個樣本數(shù)據(jù)：若由最小二乘法求得關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，則據(jù)此計算殘差為0的樣本數(shù)據(jù)是（

）12345202325273022.4334.6A．（23，2.4） B．（25，3） C．（27，3） D．（30，4.6）5．函數(shù)具有性質(zhì)（

）A．最大值為2，圖象關(guān)于對稱 B．最大值為，圖象關(guān)于對稱C．最大值為2，圖象關(guān)于直線對稱 D．最大值為，圖象關(guān)于直線對稱6．已知圓，P為拋物線上的動點，過點P作圓的切線，則切線長的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．37．已知函數(shù)有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知數(shù)列中，，若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．評卷人得分二、多選題9．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．時，取得極大值 B．時，取得最小值C． D．10．若，，則（

）A． B． C． D．11．現(xiàn)有來自兩個社區(qū)的核酸檢驗報告表，分裝2袋，第一袋有5名男士和5名女士的報告表，第二袋有6名男士和4名女士的報告表．隨機選一袋，然后從中隨機抽取2份，則（

）A．在選第一袋的條件下，兩份報告表都是男士的概率為B．兩份報告表都是男士的概率為C．在選第二袋的條件下，兩份報告表恰好男士和女士各1份的概率為D．兩份報告表恰好男士和女士各1份的概率為12．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，左、右頂點分別為、，點P是雙曲線C右支上異于頂點的一點，則（

）A．若雙曲線C為等軸雙曲線，則直線的斜率與直線的斜率之積為1B．若雙曲線C為等軸雙曲線，且，則C．若P為焦點關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點，則C的離心率為D．延長交雙曲線右支于點Q，設(shè)與的內(nèi)切圓半徑分別為、，則第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分三、填空題13．的展開式中的系數(shù)是__________．14．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，書中將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵；將底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬；將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉孺．如圖，在塹堵中，，，，則鱉臑的外接球的表面積為__________．15．寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的三次函數(shù)__________．①為奇函數(shù)；②存在3個不同的零點；③在上單調(diào)遞減．16．某科技公司生產(chǎn)一批同型號的光纖通信儀器，每臺儀器的某一部件由三個電子元件按如圖方式連接而成．若元件1和元件2都正常工作，或元件3正常工作，則該部件正常工作．由大數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示：三個電子元件的使用壽命（單位：時）均服從正態(tài)分布，且各個元件能否正常工作相互獨立．現(xiàn)從這批儀器中隨機抽取2000臺檢測該部件的工作情況（各部件能否正常工作相互獨立），那么這2000臺儀器中該部件的使用壽命超過10000小時的平均值為__________臺．評卷人得分四、解答題17．在公差不為0的等差數(shù)列中，前n項和為，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，，求數(shù)列的前12項和．18．“云課堂”是一種完全突破時空限制的全方位互動學(xué)習(xí)模式．某地區(qū)教育部門隨機抽取400名高一、高二學(xué)生對“云課堂”使用情況進行問卷調(diào)查，記Y表示喜歡，N表示不喜歡，統(tǒng)計結(jié)果部分數(shù)據(jù)如下兩表格所示：（表一）使用情況YN人數(shù)270130（表二）高一學(xué)生高二學(xué)生合計Y150N80合計(1)請根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)，完成上面的列聯(lián)表（表二），并判斷能否依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為“云課堂”使用情況與年級有關(guān)？(2)用樣本估計總體，將頻率視為概率，在該地區(qū)高一學(xué)生和高二學(xué)生中各隨機抽取4人，記事件A為“4名高一學(xué)生中恰有3人喜歡‘云課堂’”，事件B為“4名高二學(xué)生中恰有3人喜歡‘云課堂’”根據(jù)所給數(shù)據(jù)，估計與，并比較與的大?。剑?.050.010.0013.8416.63510.82819．設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，且，．(1)證明：；(2)若D是BC邊上的中點，且，求的值．20．四邊形ABCD是平行四邊形，，四邊形ABEF是梯形，，且，，，平面平面．(1)求證：；(2)求直線EC與平面EFD所成角的正弦值．21．已知橢圓的離心率為，過C的右焦點且垂直于x軸的直線被C截得的線段長為2，A、B為橢圓C的上、下頂點．(1)求橢圓C的方程；(2)過點P的直線l交橢圓C于M、N兩點（不同于A、B兩點），若直線AN與直線BM交于點Q，試問點Q的縱坐標是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．22．已知函數(shù)，．(1)若曲線在處的切線過原點，求a的值；(2)當時，，求a的取值范圍．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．A【解析】【分析】解一元二次不等式化簡集合A，再根據(jù)集合的補集、交集定義直接計算即得.【詳解】解不等式得：或，即或，，而，則，所以.故選：A2．D【解析】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，依據(jù)復(fù)數(shù)相等列出關(guān)于的方程組，解之即可求得z的虛部b.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)z滿足可得，即則，解之得，即z的虛部為故選：D3．D【解析】【分析】直接由投影向量公式求解即可.【詳解】在上的投影向量為.故選：D.4．B【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出回歸方程，然后逐個選項進行檢驗即可.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，，關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，可得，解得，關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，A.當x=23時，，即殘差不為0，B.當x=25時，，即殘差為0，C.當x=27時，，即殘差不為0，D.當x=30時，，即殘差不為0，故選：B5．D【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式將函數(shù)化簡為，然后代入驗證是否是對稱軸和對稱中心即可.【詳解】，故最大值為;當時，，故圖象關(guān)于直線對稱，當時，，故不是函數(shù)的對稱中心，故選：D6．C【解析】【分析】首先得到圓的圓心坐標與半徑，設(shè)，利用距離公式求出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，即可求出切線長最小值；【詳解】解：圓的圓心為，半徑，因為為拋物線上的動點，設(shè)，則，所以當時，過點作圓的切線，此時切線長最小，最小為；故選：C7．B【解析】【分析】將題設(shè)轉(zhuǎn)化為和有3個交點，令，求導(dǎo)確定單調(diào)性，進而畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象即可求出a的取值范圍.【詳解】函數(shù)有三個零點，等價于即有三個根，即和有3個交點.令，，當時，，單減；時，，單增；則當時，取得極小值，當時，取得極大值，又時，，時，，畫出圖象如圖所示，結(jié)合圖像可知，當，和有3個交點，即函數(shù)有三個零點.故選：B.8．C【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系，即可判斷A,由基本不等式即可判斷B,根據(jù)累加法以及放縮法即可判斷C，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可證明，進而根據(jù)累加法以及放縮即可求解D.【詳解】對取倒數(shù)得：，對于A：，故A錯誤;對于B:，故B錯.對于C:，故C正確.對于D:記，則，當時，，故在上單調(diào)遞增，因此，進而可得：，由該結(jié)論可得：，故所以，因此，，所以，故D錯誤.故選：C9．ACD【解析】【分析】結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖像得出函數(shù)的單調(diào)性，再由極值和最值的含義進行判斷即可.【詳解】結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖像可知，在上單增，則，C正確；在上單減，則，D正確；由于，顯然不是最小值，B錯誤；又在上單增，上單減，則時，取得極大值，A正確.故選：ACD.10．AB【解析】【分析】由指對冪函數(shù)的單調(diào)性及指對冪運算依次判斷4個選項即可.【詳解】對于A，由為增函數(shù)知，A正確；對于B，由在為增函數(shù)知，B正確；對于C，取，則，則，C錯誤；對于D，易得，則，則，D錯誤.故選：AB.11．AC【解析】【分析】由條件概率和全概率公式依次計算求解即可.【詳解】對于A，在選第一袋的條件下，兩份報告表都是男士的概率為，A正確；對于B，若選第一袋，兩份報告表都是男士的概率為；若選第二袋，兩份報告表都是男士的概率為；則兩份報告表都是男士的概率為，B錯誤；對于C，在選第二袋的條件下，兩份報告表恰好男士和女士各1份的概率為，C正確；對于D，若選第一袋，兩份報告表恰好男士和女士各1份的概率為；若選第二袋，兩份報告表恰好男士和女士各1份的概率為；則兩份報告表恰好男士和女士各1份的概率為，D錯誤.故選：AC.12．ABD【解析】【分析】由點在雙曲線上及斜率公式即可判斷A選項；設(shè)出，表示出，由A選項中斜率之積即可判斷B選項；利用點關(guān)于直線對稱求出點坐標，代入雙曲線即可求出離心率，即可判斷C選項；先判斷出內(nèi)切圓圓心的橫坐標為，再借助勾股定理即可判斷D選項.【詳解】由題意知，，設(shè)，對于A，若雙曲線C為等軸雙曲線，則，則，又，則，A正確；對于B，設(shè)，則，由A選項知，即，又，，故，解得，即，B正確；對于C，易得雙曲線的漸近線方程為，若P為焦點關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點，則有，解得，代入可得，即，解得，則C的離心率為，C錯誤；對于D，設(shè)的內(nèi)切圓與分別切于三點，由切線長定理知，則，又，可得，則和重合，即的內(nèi)切圓圓心的橫坐標為，同理可得的內(nèi)切圓圓心橫坐標也為，則軸，且，作于，則即為切點，作于，則，，，在中，可得，即，整理得，D正確.故選：ABD.13．【解析】【分析】依題意可得，再寫出展開式的通項，即可求出展開式中的系數(shù)；【詳解】解：因為，其中展開式的通項為，則，，所以展開式中的系數(shù)為；故答案為：14．【解析】【分析】將鱉臑外接球即為塹堵的外接球，從而求出外接球直徑為，根據(jù)球的表面積公式可求其外接球表面積，【詳解】塹堵的外接球即為鱉臑外接球，又可將塹堵補成長方體，長方體的外接球即為塹堵的外接球，長方體的外接球直徑為，所以鱉臑的外接球的半徑為3，∴鱉臑的外接球表面積為．故答案為：.15．（答案不唯一）【解析】【分析】先寫出，再由奇函數(shù)的定義、解方程求零點以及求導(dǎo)確定單調(diào)性依次判斷即可.【詳解】對于三次函數(shù)，顯然定義域為R，，則為奇函數(shù)，滿足①；令，則，解得或，有3個不同的零點，滿足②；，當時，，則在上單調(diào)遞減，滿足③；故.故答案為：（答案不唯一）.16．【解析】【詳解】根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)得，每個元件壽命超過小時的概率為，先求每個部件不能正常工作為，于是能正常工作的概率為，由于每個部件能否正常工作相互獨立，于是這2000臺儀器的部件可近似看作二項分布，根據(jù)二項分布的期望，使用壽命超過小時的有.故答案為：.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的首項和公差，進一步求出數(shù)列的通項公式；（2）利用并項求和法及等比數(shù)列求和公式計算可得；(1)設(shè)等差數(shù)列中，首項為，公差為（），由，，所以，，解得，所以；(2)解：因為，，所以，，即，，即，即，即，即，所以18．(1)列聯(lián)表見解析，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為“云課堂”使用情況與年級無關(guān)；(2)，，【解析】【分析】（1）先完善列聯(lián)表，然后零假設(shè)，計算和比較，即可作出判斷；（2）先分別計算高一、高二學(xué)生喜歡“云課堂”的概率，再計算出與，比較大小即可.(1)列聯(lián)表如下：高一學(xué)生高二學(xué)生合計Y150120270N5080130合計200200400零假設(shè)為：“云課堂”使用情況與年級沒有關(guān)系，根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)得，，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷成立，即依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為“云課堂”使用情況與年級無關(guān)；(2)由題意知，高一學(xué)生喜歡“云課堂”的概率為，高二學(xué)生喜歡“云課堂”的概率為，則，，易得.19．(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】（1）利用二倍角正弦公式和正弦定理和余弦定理將轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，化簡整理即可得到；（2）利用三角形中線的性質(zhì)和（1）的結(jié)論列出關(guān)于a，b，c的方程組，進而得到a，b，c之間的關(guān)系，利用余弦定理即可求得的值．(1)中，由，可得則，則，整理得即，又，則(2)中，D是BC邊上的中點，且，則則有，解之得則20．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得證；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得；(1)證明：因為，，，由余弦定理，所以，則，所以，即，又平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面，所以；(2)解：如圖建立空間直角坐標系，則、、、，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為；21．(1)(2)是定值，詳見解析【解析】【分析】（1）先利用題給條件求得的值，進而求得橢圓C的方程；（2）設(shè)出直線l的方程，并