第六章 離散系統(tǒng)仿真1(隨機(jī)數(shù)的生成)

第6章離散系統(tǒng)仿真考慮兩個(gè)問(wèn)題：第一個(gè)問(wèn)題的解決辦法:隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

很多實(shí)際問(wèn)題有不確定性,就需要用隨機(jī)模型來(lái)描述.在隨機(jī)性模擬中,需要處理各種隨機(jī)現(xiàn)象,因此,在進(jìn)行模擬時(shí),以簡(jiǎn)易的方法,產(chǎn)生統(tǒng)計(jì)上理想的各種分布的隨機(jī)變量的抽樣序列,是一個(gè)十分重要的問(wèn)題.我們把不同分布隨機(jī)變量的抽樣實(shí)現(xiàn)值稱(chēng)為不同分布的隨機(jī)數(shù).本章將敘述產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)和其他各種不同分布隨機(jī)數(shù)的方法，并介紹各種隨機(jī)數(shù)在計(jì)算機(jī)仿真當(dāng)中的應(yīng)用.1.均勻隨機(jī)數(shù)

均勻隨機(jī)數(shù)是均勻分布隨機(jī)變量的抽樣值。

均勻隨機(jī)數(shù)是一種最簡(jiǎn)單、最容易產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù),許多語(yǔ)言都具有產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)的功能。理論上說(shuō),從均勻隨機(jī)數(shù)出發(fā),通過(guò)函數(shù)變換、組合,舍取技巧或近似等方法,可以產(chǎn)生其它任意分布的隨機(jī)數(shù)。因此,在計(jì)算機(jī)上產(chǎn)生其他任何隨機(jī)數(shù)時(shí),幾乎都使用［0,1)上的均勻隨機(jī)數(shù)。記

X～U(0,1),［0,1)區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)(x)和概率分布函數(shù)F(x)分別為:數(shù)學(xué)期望:

E(X)=1/2;

方差:

=

1/12下圖為均勻分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)示意圖：均勻隨機(jī)數(shù)是產(chǎn)生其它隨機(jī)數(shù)的基礎(chǔ)。例如，拋硬幣、抽簽、統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)分布都可以由它產(chǎn)生。產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法：（1）隨機(jī)數(shù)表:

1927年,4萬(wàn)隨機(jī)數(shù)表,以后有100萬(wàn)隨機(jī)數(shù)表（可以輸入內(nèi)存，隨時(shí)調(diào)用）；（2）硬件設(shè)備：

從真實(shí)物理現(xiàn)象的隨機(jī)因素中產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，放射性粒子的放射源，電子晶體管的固有噪音等，單位時(shí)間內(nèi)放射出的粒子數(shù)是隨機(jī)的。優(yōu)點(diǎn)：真正的隨機(jī)數(shù)；缺點(diǎn)：外部設(shè)備，無(wú)法重復(fù)（3）數(shù)學(xué)公式：產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)用數(shù)學(xué)公式或位移寄存器的移位操作來(lái)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù),稱(chēng)為偽隨機(jī)數(shù).因?yàn)檎鎸?shí)的隨機(jī)數(shù),只能從客觀真實(shí)的隨機(jī)現(xiàn)象本身產(chǎn)生出來(lái),所以產(chǎn)生理想的偽隨機(jī)數(shù)列不是一件容易的事。一般對(duì)于產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的方法,有如下幾點(diǎn)要求:1)要求偽隨機(jī)數(shù)列有較理想的隨機(jī)性和均勻性,就是對(duì)其隨機(jī)性和均勻性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)時(shí),有合乎要求的精度;2)產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的程序應(yīng)當(dāng)簡(jiǎn)短、運(yùn)算速度快,占用計(jì)算機(jī)的內(nèi)存單元少;3)偽隨機(jī)數(shù)列的循環(huán)周期應(yīng)當(dāng)盡可能地大,以滿(mǎn)足模擬的需要4)偽隨機(jī)數(shù)列中,前后之間和各子列之間,要求相互是獨(dú)立無(wú)關(guān)的。一個(gè)常用來(lái)產(chǎn)生均勻分布隨數(shù)的計(jì)算公式為:例：取M=10^4,a=100003,c=0,x(0)=12345,fori=2:10x(i)=mod(x(i-1)*a,M);u(i)=x(i)/M;[i,u(i)]；end其中modM表示模M同余。一般取a,M互素,且M足夠大。u(i)就是(0,1)區(qū)間均勻偽隨機(jī)數(shù)。許多計(jì)算機(jī)語(yǔ)言中都有隨機(jī)函數(shù)。Matlab:rand(m,n)產(chǎn)生m行n列的(0,1)區(qū)間均勻隨機(jī)數(shù)組。c語(yǔ)言：srand()rand() objectpascal:randomrandmizerandseed

2.反（逆）變換法（隨機(jī)變量的產(chǎn)生）1).反變換法反變換法基于如下定理

定理:

如果隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)單調(diào)連續(xù),則Y=F(X)確定一個(gè)新的隨機(jī)變量,它服從于(0,1)均勻分布。證明：因?yàn)镕(x)為單調(diào)連續(xù)函數(shù),故其反函數(shù)

F-１(ｙ)存在,x＝F-１(ｙ),所以當(dāng)0<y<1時(shí),P(Y<y)=P(F(x)<y)=P(x

<F-１(ｙ))=F(F-１(ｙ))=y.當(dāng)y≤0時(shí),顯然有P{Y≤y}=0,當(dāng)y≥1時(shí),也容易得到P{Y≤y}=1.定理證畢。方法:產(chǎn)生均勻分布的隨機(jī)數(shù)u，則x=F-１(u)

就是滿(mǎn)足所給分布的隨機(jī)數(shù)。

例:隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù)為求出F(x)的反函數(shù)若u是服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)，則由定理得x=F-１(u)就是服從給定分布的隨機(jī)數(shù)。

:其圖形為：2).負(fù)指數(shù)隨機(jī)變量在管理問(wèn)題的計(jì)算機(jī)模擬中,經(jīng)常會(huì)遇到具有負(fù)指數(shù)分布的隨機(jī)變量.例:港口的船只到達(dá)規(guī)律將實(shí)際到達(dá)的歷史數(shù)據(jù)按時(shí)間順序排成一個(gè)到達(dá)時(shí)點(diǎn)序列.到達(dá)一只船,就將它的到達(dá)時(shí)刻在t軸上標(biāo)上一個(gè)點(diǎn).這樣,相繼兩只船到達(dá)的間隔時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量,根據(jù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)得知,此隨機(jī)變量服從于負(fù)指數(shù)分布密度函數(shù)：分布函數(shù)：逆變換法：

u

是均勻分布的隨機(jī)數(shù)負(fù)指數(shù)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)示意圖下面用Matlab來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)r=4;u=rand(10000,1);fori=1:10000x(i)=-1/r*log(1-u(i));end3).幾何分布設(shè)有一批產(chǎn)品,已知其合格率為p,則廢品率為q=(1-p)。現(xiàn)在隨機(jī)拿出n件產(chǎn)品來(lái)檢查,則前x件產(chǎn)品都是