第三章 第四講

上節(jié)內(nèi)容回顧隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念各態(tài)歷經(jīng)性第三章隨機(jī)信號(hào)分析引入平穩(wěn)隨機(jī)過程是信號(hào)和噪聲分析時(shí)非常重要的過程，有著非常重要的性質(zhì)。第三章隨機(jī)信號(hào)分析平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度函數(shù)3.4.1平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)3.4.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度第三章隨機(jī)信號(hào)分析3.4.1平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)特別重要。其統(tǒng)計(jì)特性，可通過自相關(guān)函數(shù)來描述；自相關(guān)函數(shù)與譜特性有著內(nèi)在的聯(lián)系。設(shè)ξ(t)為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，則它的自相關(guān)函數(shù)具有下列主要性質(zhì)：

第三章隨機(jī)信號(hào)分析3.4.1平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)（1）R(0)=E[ξ2(t)]=S[ξ(t)的平均功率]（2）R(∞)=E2[ξ(t)][ξ(t)的直流功率]（3）R(τ)=R(?τ)[τ的偶函數(shù)]（4）︱R(τ)︳≤R(0)[R(τ)的上界]（5）R(0)?R(∞)=σ2[方差，ξ(t)的交流功率]當(dāng)均值為0時(shí)，有R(0)=σ2。

第三章隨機(jī)信號(hào)分析引入:在平穩(wěn)隨機(jī)過程的研究過程中,功率譜比頻譜更有意義,因?yàn)楣β首V中不再有隨機(jī)變量.功率譜密度的計(jì)算

非周期的功率型確知信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換。這種關(guān)系對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過程同樣成立，即有3.4.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度第三章隨機(jī)信號(hào)分析

以上關(guān)系稱為維納-辛欽關(guān)系。它在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。第三章隨機(jī)信號(hào)分析在維納-辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到以下結(jié)論：對(duì)功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過程的總功率： 上式從頻域的角度給出了過程平均功率的計(jì)算法。注:R(0)=E[ξ2(t)]=S[ξ(t)的平均功率]E=ST第三章隨機(jī)信號(hào)分析各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度。也就是說，每一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個(gè)過程的的譜特性。 【證】因?yàn)楦鲬B(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)等于任一樣本的自相關(guān)函數(shù)，即 兩邊取傅里葉變換： 即 式中 第三章隨機(jī)信號(hào)分析功率譜密度P

(f)具有非負(fù)性和實(shí)偶性，即有 和 這與R(

)的實(shí)偶性相對(duì)應(yīng)。

第三章隨機(jī)信號(hào)分析[例3-2]求隨機(jī)相位余弦波

(t)=Acos(

ct+

)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。 【解】在[例3-1]中，我們已經(jīng)考察隨機(jī)相位余弦波是一個(gè)平穩(wěn)過程，并且求出其相關(guān)函數(shù)為第三章隨機(jī)信號(hào)分析 因?yàn)槠椒€(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換，即有 以及由于有 所以，功率譜密度為 平均功率為第三章隨機(jī)信號(hào)分析3.5高斯隨機(jī)過程3.5.1定義3.5.2重要性質(zhì)3.5.3一維概率密度函數(shù)3.5.4誤差函數(shù)和Q函數(shù)第三章隨機(jī)信號(hào)分析3.5.1定義高斯過程，也稱正態(tài)隨機(jī)過程，是通信領(lǐng)域中最重要的一種過程。在實(shí)踐中觀察到的大多數(shù)噪聲都是高斯過程。定義：若隨機(jī)過程ξ(t)的任意n維（n=1,2,...）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過程或正態(tài)過程。其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示如下第三章隨機(jī)信號(hào)分析式中為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即

R(tj,tk)?aj

akσjσk＝第三章隨機(jī)信號(hào)分析3.5.2重要性質(zhì)a)高斯過程的n維分布完全由n個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。

因此，對(duì)于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。第三章隨機(jī)信號(hào)分析3.5.2重要性質(zhì)b)廣義平穩(wěn)的高斯過程也是狹義平穩(wěn)的。若隨機(jī)過程廣義平穩(wěn)，則a,σ為常數(shù)，R(tj,tk)只與τ有關(guān)，與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，因?yàn)閒n由這些只與一維、二維有關(guān)的量決定，所以fn只與τ有關(guān)，與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，因此是狹義平穩(wěn)的。第三章隨機(jī)信號(hào)分析3.5.2重要性質(zhì)c)如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。任意兩個(gè)隨機(jī)變量之間，如果獨(dú)立，則一定互不相關(guān)，反之，只有高斯分布隨機(jī)變量成立?；ゲ幌嚓P(guān)<=>E[X1X2]=E[X1]E[X2]<=>bx1x2=0E[X1X2]?E[X1]E[X2]

σx1σx2＝bx1x2<≠>R[X1,X2]=0

統(tǒng)計(jì)獨(dú)立<=>fn(x1,x2,…xn)=f(x1).f(x2)…f(xn)即：n維概率密度函數(shù)等于各一維概率密度函數(shù)乘積第三章隨機(jī)信號(hào)分析3.5.2重要性質(zhì)∵互不相關(guān)，∴bjk=0,B為單位矩陣，︱B︱=11j=k︱B︱jk=0j≠k∴fn中只考慮j=k即可，兩個(gè)∑可以用一個(gè)表示第三章隨機(jī)信號(hào)分析3.5.2重要性質(zhì)∴統(tǒng)計(jì)獨(dú)立第三章隨機(jī)信號(hào)分析3.5.2重要性質(zhì)d)高斯過程經(jīng)過線性變換（或線性系統(tǒng)）后的過程仍是高斯的。e)若干個(gè)高斯過程之和的過程仍是高斯型

第三章隨機(jī)信號(hào)分析3.5.3一維概率密度函數(shù)高斯過程在任一時(shí)刻上的樣值是一個(gè)一維高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)可表示為

式中a為高斯隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，σ2為方差。f(x)曲線為：第三章隨機(jī)信號(hào)分析正態(tài)分布概率密度函數(shù)（1）f(x)對(duì)稱于x=a這條直線。

(3)a表示分布中心，σ表示集中程度，f(x)圖形將隨著σ的減小而變高和變窄。當(dāng)a=0,σ